Резюме. В бележката се разглеждат приложения на свойствата и действията с квадратни корени за сравняване на ирационални изрази.

Ключови думи: ирационалeн израз, квадратен корен; училищна математика

Предложените задачи могат да се решават с ученици от 8. клас при изучаване на темите „Kвадратен корен“ и „Квадратни уравнения“, както и със зрелостници и кандидат-студенти. Те се отнасят до сравняване и подреждане по големина на изрази с квадратни корени, което може да се осъществи чрез:

– прилагане на свойството монотонност на квадратен корен

– използване на приблизителните стойности на квадратни корени

– прилагане на свойствата на числовите неравенства

– определяне на знаците на сравняваните изразите

– логически разсъждения.

Задача 1. Кои от числата са сравнени вярно?

а) \(\sqrt{0,(32)} \lt \sqrt{0,32(3)}\) б) \(\sqrt{11} \lt 2 \sqrt{3}\) в) \(\tfrac{1}{3} \gt \sqrt{0,9}\) г) \(-2 \sqrt{3} \gt -3 \sqrt{2}\)

Задача 2. На мястото на празното квадратче поставете знака \( \gt , \lt \) или \(=\) така, че полученото твърдение да е вярно:

a) \(3 \sqrt{561} \square 5 \sqrt{561}\)

б) \(\sqrt{15}+\sqrt{0,3} \quad \square \sqrt{15}+\sqrt{0,(3)}\)

в) \(\sqrt{3,14}-\sqrt{5} \square \sqrt{\pi}-\sqrt{5}\)

г) \(\tfrac{10}{\sqrt{7}} \square \tfrac{10}{\sqrt{3}}\)

д) \(2 \sqrt{5}-1\) \(2 \sqrt{3}-1\)

Задача 3. Кои от изразите не са сравнени вярно?

a) \(\sqrt{3} \lt \sqrt{5}-1\) б) \(\sqrt{2}+1 \gt \sqrt{5}\) B) \(\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}\)

г) \(\sqrt{3}-\sqrt{2} \lt 1\) д) \(\sqrt{99}-\sqrt{26} \lt \sqrt{226}-\sqrt{80}\)

Задача 4. На мястото на празното квадратче поставете знака \( \lt , \gt \) или \(=\) така, че изразите да са сравнени вярно:

a) \((3-\sqrt{5})^{2} \square 15-6 \sqrt{5}\)

б) \(2 \square \sqrt{(\sqrt{5}-3)^{2}}+\sqrt{5}\)

в) \(\tfrac{\sqrt{12}-\sqrt{15}}{\sqrt{3}}\) \(1-\sqrt{5}\)

г) \(2+\sqrt{5}+2 \sqrt{7}\) \(\square 3+\sqrt{20}+\sqrt{63}\)

Задача 5. Без да пресмятате, сравнете изразите:

a) \(\sqrt{\pi}+\sqrt{81,2}\) \(\square \sqrt{80}+\sqrt{3,1}\)

б) \(\tfrac{308}{\sqrt{19}} \square \tfrac{517}{\sqrt{5}}\)

в) \(\sqrt{10,1}-\sqrt{6,2} \square \sqrt{15}-\sqrt{2,6}\)

г) \(\sqrt{11}-2 \sqrt{3}\) \(2 \sqrt{2}+3\)

д) \(\tfrac{1}{\sqrt{2}}+\tfrac{2}{\sqrt{3}}+\tfrac{3}{\sqrt{5}}\) \(\tfrac{2}{\sqrt{2}}+\tfrac{3}{\sqrt{3}}+\tfrac{4}{\sqrt{5}}\)

Задача 6. Подредете числата по големина, като започнете от най-малкото:

a) 0,\(5 ; \sqrt{0,(3)} ; 2 \sqrt{\tfrac{1}{8}} ; \tfrac{\sqrt{5}}{5}\)

б) \(\sqrt{5}-\sqrt{3} ; 2-\sqrt{2} ; \sqrt{3}-1 ; \sqrt{2}+1\)

в) \(\sqrt{(\sqrt{7}-3)^{2}} ; \quad 3-2 \sqrt{2} ; \quad 3-\sqrt{6} ;|\sqrt{5}-3|\)

г) \(\tfrac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}+\tfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}-\sqrt{2} ; \quad \sqrt{3}-\sqrt{8} ; \quad \tfrac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}, 0 \leq a \lt b ; \quad \sqrt{2}+\sqrt{a}, a \gt 0\)

Задача 7. Кое от числата \((1-\sqrt{3})^{2} ;(1-\sqrt{3})^{3} ; \tfrac{1-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}\) и \(\tfrac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}\) е най-голямото?

Задача 8. Определете вида на триъгълника според страните му, ако те имат дължини \(a=2-\sqrt{3}, b=\tfrac{\sqrt{2}}{3}\) и \(c=\sqrt{7-4 \sqrt{3}}\).

Задача 9. Три отсечки имат дължини \(a=\sqrt{5}-\sqrt{2}, b=\sqrt{5}+\sqrt{2}\) и \(c=3 \sqrt{2}\). Могат ли те да бъдат страни на триъгълник?

Задача 10. Даден е триъгълник с дължини на страните \(a=3, b=2 \sqrt{2}\) и \(c=\sqrt{17}\). Коя страна лежи срещу най-малкия ъгъл?

Задача 11. Намерете корените на уравненията

\[ x^{2}-2 x-1=0, y^{2}-(\sqrt{2}+1) y+2 \sqrt{2}-2=0, \sqrt{2} z^{2}-z-\sqrt{2}=0 \] и ги подредете по големина, като започнете с най-малкия.

Отговори, упътвания, решения

Задача 1. Използвайте свойството монотонност на квадратен корен, т.е. ако \(0 \leq a \leq b\), то \(\sqrt{a} \leq \sqrt{b}\). За да го приложите в подусловия б), в) и г), внесете положителен множител под квадратен корен.

Отговор: Вярно са сравнени числата в подточки б) и г).

Задача 2. Двойките изрази имат равни множители, събираеми, умалител или делимо. Сравнете само другите множители, събираеми, умаляеми или делители.

Отговор:

а) \(3 \sqrt{561} \lt 5 \sqrt{561}\)

б) \(\sqrt{15}+\sqrt{0,(3)} \gt \sqrt{15}+\sqrt{0,3}\)

в) \(\sqrt{3,14}-\sqrt{5} \lt \sqrt{\pi}-\sqrt{5}\)

г) \(\tfrac{10}{\sqrt{7}} \gt \tfrac{10}{\sqrt{3}}\)

д) \(2 \sqrt{5}-1 \gt 2 \sqrt{3}-1\)

Задача 3. Използвайте приблизителните стойности на корените: \(\sqrt{2} \approx 1,4\), \(\sqrt{3} \approx 1,7\) и \(\sqrt{5} \approx 2,2\).

Ако пресмятането с приблизителни стойности не дава категоричен отговор за сравняването на числата, използвайте еквивалентни преобразувания на неравнствата до момент, в който сравнението е възможно.

Решение:

\[ \text { a) } \begin{aligned} \sqrt{3} \lt \sqrt{5}-1 & \Leftrightarrow \sqrt{3}+1 \lt \sqrt{5} \Leftrightarrow(\sqrt{3+1})^{2} \lt (\sqrt{5})^{2} \Leftrightarrow 4+2 \sqrt{3} \lt 5 \\ & \Leftrightarrow 2 \sqrt{3} \lt 1 \Leftrightarrow(2 \sqrt{3})^{2} \lt 1 \Leftrightarrow 12 \lt 1 \end{aligned} \]

Да не забравяме, че повдигането в квадрат на двете страни на неравенството е еквивалентно преобразувание само ако числата в двете му страни са неотрицателни.

Отговор: Не са сравнени вярно числата в подточки а) и в).

Задача 4. Упътване: а) Опростете левия израз.

б) Приложете свойството на квадратен корен \(\sqrt{a^{2}}=|a|\).

в) Изнесете общ множител от числителя на левия израз.

г) Изнесете множители пред корените в десния израз и сравнете събираемите почленно.

a) \((3-\sqrt{5})^{2} \lt 15-6 \sqrt{5}\)

б) \(2 \lt \sqrt{(\sqrt{5}-3)^{2}}+\sqrt{5}\)

в) \(\tfrac{\sqrt{12}-\sqrt{15}}{\sqrt{3}} \gt 1-\sqrt{5}\)

г) \(2+\sqrt{5}+2 \sqrt{7} \lt 3+\sqrt{20}+\sqrt{63}\)

Задача 5. Упътване: а) Събираемите в левия израз са по-големи от събираемите в десния.

б) В първото частно по-малко делимо се дели на по-голям делител.

в) Сравнете умаляемите.Сравнете умалителите.

г) Определете знаците на двата израза.

д) Сравнете събираемите с равни знаменатели.

Отговор:

а) \(\sqrt{\pi}+\sqrt{81,2} \gt \sqrt{80}+\sqrt{3,1}\)

б) \(\tfrac{308}{\sqrt{19}} \lt \tfrac{517}{\sqrt{5}}\)

в) \(\sqrt{10,1}-\sqrt{6,2} \lt \sqrt{15}-\sqrt{2,6}\)

г) \(\sqrt{11}-2 \sqrt{3} \lt 2 \sqrt{2}+3\)

д) \(\tfrac{1}{\sqrt{2}}+\tfrac{2}{\sqrt{3}}+\tfrac{3}{\sqrt{5}} \lt \tfrac{2}{\sqrt{2}}+\tfrac{3}{\sqrt{3}}+\tfrac{4}{\sqrt{5}}\).

Задача 6. Упътване: а) Внесете всички числа под квадратен корен.

Отговор: \(\tfrac{\sqrt{5}}{5} ; 0,5 ; \sqrt{0,(3)} ; 2 \sqrt{\tfrac{1}{8}}\).

б) Използвайте приблизителните стойности на корените.

Отговор: \(\sqrt{5}-\sqrt{3} ; 2-\sqrt{2} ; \sqrt{3}-1 ; \sqrt{2}+1\)

в) Опростете изразите. Заменете \(\sqrt{(\sqrt{7}-3)^{2}}=|\sqrt{7}-3|=3-\sqrt{7}\), \(3-2 \sqrt{2}=3-\sqrt{8}\) и \(|\sqrt{5}-3|=3-\sqrt{5}\).

Отговор: \(|\sqrt{5}-3| ; 3-\sqrt{6} ; \sqrt{(\sqrt{7}-3)^{2}} ; 3-2 \sqrt{2}\).

г) След рационализиране на знаменателите на първия израз и извършване на действията се получава \(\sqrt{2}\). Опростете израза

\[ \sqrt{3-\sqrt{8}}=\sqrt{1-2 \sqrt{2}+2}=\sqrt{(1-\sqrt{2})^{2}}=|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1 \]

При дадените условия за \(a\) и \(b\) изразът \(\tfrac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\) приема само отрицателни стойности. За всяко \(a \gt 0\) последният израз приема стойности по-големи от \(\sqrt{2}\).

Отговор: \(\tfrac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} ; \sqrt{3-\sqrt{8}} ; \tfrac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}+\tfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}-\sqrt{2} ; \sqrt{2}+\sqrt{a}\).

Задача 7. Решение: Тъй като \(1-\sqrt{3} \lt 0\), то единственото положително число \((1-\sqrt{3})^{2}\) е най-голямото.

Задача 8. Решение: Триъгълникът е равнобедрен, защото \(c=\sqrt{7-4 \sqrt{3}}=\sqrt{2^{2}-4 \sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{(2-\sqrt{3})^{2}}=|2-\sqrt{3}|=2-\sqrt{3}, a=2-\sqrt{3}\) и \(b=\tfrac{\sqrt{2}}{3}\).

Задача 9. Упътване: Докажете, че \(c=3 \sqrt{2}\) е най-голямата страна. Сравнете дължината й със сбора и разликата на другите две страни \(a\) и \(b\).

Отговор: Да.

Задача 10.

Отговор: Страната срещу най-малкия ъгъл \(b=2 \sqrt{2}\).

Задача 11. Решение: Корените на уравнението \(x^{2}-2 x-1=0\) са \(x_{1}=1-\sqrt{2}\)

и \(x_{2}=1+\sqrt{2}\). Уравнението \(y^{2}-(\sqrt{2}+1) y+2 \sqrt{2}-2=0\) има дискриминанта \(D=11-6 \sqrt{ } 2=(3-\sqrt{2})^{2}\) и корени \(y_{1}=2\) и \(y_{2}=\sqrt{2}-1\). Решенията на уравнението \(\sqrt{2} z^{2}-z-\sqrt{2}=0\) са \(z_{1}=\sqrt{2}\) и \(z_{2}=-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\). Използвайте приблизителната стойност \(\sqrt{2} \approx 1,4\).

Отговор: Подреждането на корените е: \(-\tfrac{\sqrt{2}}{2} ; 1-\sqrt{2} ; \sqrt{2}-1 ; \sqrt{2} ; 2 ; 1+\sqrt{2}\).

Задачи за самостоятелна работа

1. Кои от неравенствата са верни?

a) \(\sqrt{17}-3 \sqrt{2} \lt 2 \sqrt{2}-\sqrt{5}\)

б) \(\sqrt{65}+\sqrt{15} \lt \sqrt{80}+\sqrt{3}\)

в) \(\sqrt{3,81}+\sqrt{5,61} \gt \sqrt{2,4}+\sqrt{4,54}\)

г) \(\tfrac{\sqrt{507}}{\sqrt{31}} \gt \tfrac{\sqrt{500}}{\sqrt{41}}\)

2. Най-малкото от посочените числа е:

a) \(\sqrt{3}\) б) \(\tfrac{1}{3 \sqrt{3}}\) в) \(\tfrac{\sqrt{3}}{3}\) г) \(\tfrac{2}{\sqrt{7}}(\) Банков, 2008) (зад.1, стр.41)

3. Най-голямото от посочените числа е:

a) \(\tfrac{7}{12}\) б) \(\sqrt{0,34}\) в) \(\tfrac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}\) г) \(\tfrac{1+\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}(\) Матеева, 2008) (зад.1, стр.3. 36)

4. Ако \(a=\tfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}, b=\tfrac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}, c=\tfrac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\) и \(d=\sqrt{2}+\sqrt{3}\), , то верните неравенства са:

a) \(b \lt c \lt a \lt d\) б) \(a \lt b \lt c \lt d\) в) \(c \lt b \lt d \lt a\) г) \(d \lt a \lt c \lt b\)

5. Определете вида на триъгълника според страните му, ако те имат \(a=\sqrt{3}+1, b=\sqrt{4+2 \sqrt{3}}\) и \(c=\tfrac{2}{\sqrt{3}-1}\).

6. Кой е най-малкият ъгъл на триъгълника с дължини на страните \(a=2 \sqrt{3}\), \(b=3 \sqrt{2}\) и \(c=\sqrt{30}\) ?

ЛИТЕРАТУРА

1. Паскалева, З. и др. (2008). Математика за 8. клас. София: Архимед.

2. Рангелова, П. и др. (2009). Сборник за 8. клас – тестове и контролни работи. Математика. Пловдив: Коала прес.

3. Запрянов, З. (2008). Сборник задачи и тестове за 8. клас. Математика. София: Регалия 6.

4. Банков, К. и др. (2008). Математика – тестове за подготовка за зрелостен изпит. София: Анубис.

5. Матеева, С. и др. (2008). 20 примерни теста за зрелостен изпит – Математика. София: Регалия 6.