Задача 1. За всяко реално число \(x\) означаваме с \([x]\) най-голямото цяло число, което е по-малко или равно на \(x\). Да се намерят всички прости числа \(p\), за които числото \(\left[\tfrac{p^{2}+1}{2}\right]+\left[\tfrac{p^{2}+2}{3}\right]+\left[\tfrac{p^{2}+7}{8}\right]+\left[\tfrac{p^{2}+18}{24}\right]\) е просто.

Д-р Светлозар Дойчев

Решение: (Валери Цеков)

Нека \(f(p)=\left[\tfrac{p^{2}+1}{2}\right]+\left[\tfrac{p^{2}+2}{3}\right]+\left[\tfrac{p^{2}+7}{8}\right]+\left[\tfrac{p^{2}+18}{24}\right]\). Тогава \(f(2)=5, f(3)=1\), а по-големите от 3 прости числа имат вида \(12 k \pm 1\) за естествено \(k\) или \(12 k \pm 5\) за цяло \(k \geq 0\) и лесно се проверява, че за такива числа \(f(12 k \pm 1)=3\left(48 k^{2} \pm 8 k+1\right)\) и \(f(12 k \pm 5)=3\left(48 k^{2} \pm 40 k+9\right)\). Тъй като числото 3 дели числата \(f(12 k \pm 1)\) и \(f(12 k \pm 5)\) и очевидно е по-малко от тях, то единствените решения на задачата са \(p=2\) и \(p=3\) 。

Задача 2. Да се намерят всички цели положителни числа \(x, y\) и \(n\), y и n, за които е вярно равенството \(x^{2}+8 x y+2 x+12 y^{2}-3=p^{n}\), където \(p\) е просто число.

Д-р Светлозар Дойчев

Решение: (Валери Цеков)

Разглеждаме възможните случаи за числото \(x\) :

Първи случай: \(x\) е нечетно, т. е. \(x=2 z+1\) за някое неотрицателно цяло число \(z\). Тогава даденото равенство може да се запише във вида \(4(y+z)(3 y+z+2)=p^{n}\), откъдето следва, че \(p=2\) и \((y+z)(3 y+z+2)=2^{\mathrm{n}-2}\). В този случай:

(1) \(y+z=2^{u}\) и \(3 y+z+2=2^{v}\) за неотрицателни цели \(u\) и \(v, u \lt v, u+v=n-2 \gt 0\).

Като умножим по 3 първото от равенствата в (1) и извадим от него второто, ще получим:

(2) \(2(z-1)=3.2^{u}-2^{v}=2^{u}\left(3-2^{v-u}\right)\).

Понеже (2) очевидно не е възможно за \(z=1\), то налице са подслучаите:

1) \(\mathrm{z}=0\) и тогава \(2^{v}=3.2^{u}+2\). За \(u=1\) от последното равенство и от (1) имаме \(v=3, y=2, n=6\) и получаваме решението \(x=1, y=2, n=6\). За \(u \gt 1\) горното равенство е невъзможно, тъй като дясната му страна се дели на нечетното число \(3.2^{u-1}+1 \gt 1\).

2) \(\mathrm{z} \gt 1\) и тогава \(3 \gt 2^{v-u}\), което е възможно само за \(v-u=1\), т. е. \(v=u+1\), откъдет\(z=2^{\tfrac{n-5}{2}}+1, x=2^{\tfrac{n-3}{2}}+3, y=2^{\tfrac{n-5}{2}}-1\) о с помощта на (1) и (2) получавзааме нечетно последователно \(u=\tfrac{n-3}{2}, v=\tfrac{n-1}{2}\), ята са безбройно много: \(x=2^{\tfrac{n-3}{2}}+3, y=2^{\tfrac{n-5}{2}}-1\) \(n \gt 5\). за всякИ таок нечетноа, в случая есте решениствено \(n \gt 5\).

Втори случай: \(x\) е четно, т. е. \(x=2 z\) за някое естествено \(z\). Даденото равенство може да се запише във вида \((6 y+2 z+3)(2 y+2 z-1)=p^{n}\), откъдето следва, че \(p\) е нечетно и \(6 y+2 z+3=p^{u}\) и \(2 y+2 z-1=p^{v}\) за естествени \(u\) и \(v, u \gt v, u+v=n\). Като умножим по 3 второто от горните две равенства и го извадим от първото, ще получим равенството \(6-4 z=p^{v}\left(p^{u-v}-3\right)\). Тъй като \(p^{u-v}-3 \geq 0\), то трябва да имаме \(z=1\) и тогава \(p^{v}\left(p^{u-v}-3\right)=2\), което очевидно не е възможно за нечетно \(p\).

Следователно всичките решения на задачата са:

\[ \begin{aligned} & x=1, y=2, n=6 ; \\ & x=2^{\tfrac{n-3}{2}}+3, y=2^{\tfrac{n-5}{2}}-1 \text { за всяко нечетно естествено } \mathrm{n} \gt 5 . \end{aligned} \]

Задача 3. Да се намери най-малкото естествено число със сума от цифрите 2012 и произведение на цифрите, което е степен на числото 6.

д-р Светлозар Дойчев

Решение: (Валери Цеков) Нека произведението от цифрите на търсеното число е равно на \(6^{6 n+k}\) за някое естествено \(n\) и цяло \(k, 0 \leq k \leq 5\). Измежду всички числа, които отговарят на двете условия за цифрите им, най-малкото ще бъде това, което има най-малко на брой цифри и те са подредени във възходящ ред отляво надясно. Най-малкият брой цифри, които можем да получим от всеки множител \(6^{6}\) на произведението \(6^{6 n+k}\), е пет, а самите цифри са \(8,8,9,9,9\) и сумата им е 43. Тогава сумата на всичките получени от \(6^{6 n}\) по описания начин \(5 n\) на брой цифри 8 и 9 е равна на \(43 n\) и тъй като \(2012=43.46+34\), то \(n=46\). Лесно се съобразява, че събираемото 34 от горното равенство може да се получи за цифрите \(2,6,8\), 9, 9 при \(k=5\). Тогава търсеното най-малко естествено число ще има отляво надясно следните 235 на брой цифри: 1 брой цифрата 2, 1 брой цифрата \(6,2.46+1=93\) броя цифрата 8 и \(3.46+2=140\) броя цифрата 9. Така получаваме, че търсеното число е \(26 \underbrace{88 \ldots 8}_{93} \underbrace{99 \ldots 9}_{140}\).

Забележка: Условието на задача 1 от брой 4, 2013 г. трябва да се чете така:

а) Покажете, че ако \(x \geq-1\), то \(9 x^{3}+3 x^{2}+1 \geq 5 x\).

б) Намерете реалните стойности на \(k\), при които за всички \(a, b, c \in[-1,+\infty)\) е изпълнено неравенството \(3\left(a^{3}+b^{3}+c^{3}\right)+a^{2}+b^{2}+c^{2}+1 \geq k(a+b+c)\). (Техническата грешка е в допълнителното събираемо 1 в лявата страна на последното неравенство.)