Рубриката се води от проф. д-р Веселин Ненков

Задача 1. Да се реши уравнението \[ 2 \sin (2019 \pi x)+2 \cos (2019 \pi x)=\sqrt{2 x(2 x-3)+10,25} \]

Христо Лесов, Казанлък

Решение: тъй като \(2 x(2 x-3)+10,25=(2 x-1,5)^{2}+8 \geq 8\), то \(\sqrt{2 x(2 x-3)+10,25} \geq 2 \sqrt{2}\), като равенство се достига само когато \(2 x-1,5=0\), т.е. когато \(x=\tfrac{3}{4}\).

Нека \(y=2019 \pi x\). От равенството \(2(\sin y+\cos y)=2 \sqrt{2} \cos \left(y-\tfrac{\pi}{4}\right)\) следва, че \(2(\sin y+\cos y) \leq 2 \sqrt{2}\), като равенство се достига само когато \(\cos \left(y-\tfrac{\pi}{4}\right)=1\).

От двете неравенства следва, че даденото уравнение има решение само когато двете му страни са равни на \(2 \sqrt{2}\). В дясната страна тази стойност се достига, когато \(x=\tfrac{3}{4}\). Затова в лявата страна тя се достига точно когато \[ \cos \left(y-\tfrac{\pi}{4}\right)=\cos \left(2019 \pi x-\tfrac{\pi}{4}\right)=\cos \left(2019 \pi \cdot \tfrac{3}{4}-\tfrac{\pi}{4}\right)=\cos (1514 \pi)=\cos (757.2 \pi)=1 . \] Следоватено уравнението има само един корен \(x=\tfrac{3}{4}\).

Задача 2. Да се докаже, че в четириъгълник \(A B C D\) с перпендикулярни диагонали съществува точка \(O\), за която са изпълнени равенствата

\[ ∢ O B A=∢ D B C, ∢ O C B=∢ A C D, ∢ O D A=∢ B D C, ∢ O A B=∢ C A D . \] Хаим Хаимов, Варна Решение: означаваме пресечната точка на диагоналите \(A C\) и \(B D\) с \(T\), ортогоналните є проекции върху \(A B, B C, C D\) и \(D A\) съответно с \(M, N, P\) и \(Q\). Ще докажем, че четириъгълникът \(M N P Q\) е вписан в окръжност \(k\). Тъй като четириъгълниците \(A M T Q, B N T M, C P T N\) и \(D Q T P\) са вписани, то \(∢ Q M T=∢ Q A T, \quad ∢ N M T=∢ N B T, \quad ∢ N P T=∢ N C T\) и \(\quad ∢ Q P T=∢ Q D T\). С помощта на тези равенства получаваме последователно

\[ \begin{gathered} ∢ Q M N+∢ Q P N=(∢ Q M T+∢ N M T)+(∢ Q P T+∢ N P T)= \\ =(∢ Q A T+∢ N B T)+(∢ Q D T+∢ N C T)= \\ =(∢ Q A T+∢ Q D T)+(∢ N B T+∢ N C T)=90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ} . \end{gathered} \]

Следователно точките \(M, N, P\) и \(Q\) лежат на една окръжност \(k\).

Нека \(O_{1}\) е центърът на \(k\), а \(O\) е точката, симетрична на \(T\) спрямо \(O_{1}\). Ще докажем, точката \(O\) удовлетворява желаните свойства, описани в условието на задачата. Нека \(M_{1}\) и \(N_{1}\) са ортогоналните проекции на \(O\) съответно върху правите \(A B\) и \(B C\), а \(E\) е средата на отсечката \(M_{1} M\). Тъй като \(O_{1} E\) е средна основа в трапеца \(M_{1} O T M\), то \(O_{1} E \perp M M_{1}\) и затова \(O_{1} E\) е симетрала на \(M M_{1}\). Следователно \(O_{1} M_{1}=O_{1} M\),коетоозначава,че \(M_{1} \in k\).Аналогичносепоказва, че \(N_{1} \in k\). Сега получаваме, че \(∢ M M_{1} N_{1}=∢ M N N_{1}\) (като вписани в \(k\) ъгли). По-нататък от вписаните четириъгълници \(M_{1} B N_{1} O\) и \(M T N B\) получаваме съответно \(∢ M M_{1} N_{1}=∢ B M_{1} N_{1}=∢ B O N_{1}\) и \(∢ M N N_{1}=∢ M T B\). От последните три равенства следва, че \(∢ B O N_{1}=∢ M T B\). Но \(∢ O B C=90^{\circ}-∢ B O N_{1}\) и \(∢ D B A=90^{\circ}-∢ M T B\). Следователно \(∢ O B C=∢ D B A\). Оттук имаме , т.е. \(∢ O B A=∢ D B C\). С това е доказано първото равенство на задачата. Останалите три равенства се доказват аналогично.

Задача 3. В правилен 13-ъгълник по произволен начин са избрани два диагонала. Каква е вероятността избраните диагонали да не се пресичат?

Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм

Решение: ще определим броя на непресичащите се диагонали в произволен изпъкнал \(n\)-ъгълник при \(n \geq 5\). От всеки връх на n n-ъгълника излизат \(n-3\) диагонала. Затова общият брой диагонали \(N\) на \(n\)ъгълника е \(N=\tfrac{n(n-3)}{2}\). Следователно броят на всички двойки диагонали в \(n\)ъгълника е \(D=C_{N}^{2}=\tfrac{N(N-1)}{2}=\tfrac{n(n-3)\left(n^{2}-3 n-2\right)}{8}\). Сега ще определим броя \(D_{1}\) на всички двойки диагонали, които се пресичат. На всяка такава двойка диагонали съответстват четири върха – върховете, които са краища на тези диагонали. Обратно, на всяка четворка върхове на \(n\)-ъгълника съответства единствена двойка пресичащи се диагонали. Следователно броят на двойките пресичащи се диагонали е равен на броя на ненаредените четворки върхове на \(n\)-ъгълника. Така получаваме \(D_{1}=C_{n}^{4}=\tfrac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}\). Остава да определим броя \(D_{2}\) на двойките диагонали, излизащи от върховете на \(n\)-ъгълника. От всеки връх излизат \(C_{n-3}^{2}\) двойки диагонали. Следователно \(D_{2}=n C_{n-3}^{2}=\tfrac{n(n-3)(n-4)}{2}\). Сега за броя \(D_{0}\) на двойките непресичащи се диагонали получаваме \(D_{0}=D-D_{1}-D_{2}=\tfrac{n(n-3)(n-4)(n-5)}{12}\). Следова-диагонали получаваме \(D_{0}=D-D_{1}-D_{2}=\tfrac{n(n-3)(n-4)(n-5)}{12}\). Следователно вероятността да се избере двойка непресичащи се диагонали, е равна на \(\tfrac{D_{0}}{D}=\tfrac{2(n-4)(n-5)}{3\left(n^{2}-3 n-2\right)}\). При \(n=13\) търсената вероятност е \(\tfrac{3}{8}\).