Задача 1. Да се сравнят числата \(2^{233}\) и \(5^{100}\).

Йонуц Иванеску, Крайова, Румъния

Решение: За първото число, като използваме неравенството на Бернули, имаме:

\(2^{233}=2^{3} .2^{230}=8 .\left(2^{10}\right)^{23}=8.1024^{23}=8 .\left[1000\left(1+\cfrac{24}{1000}\right)\right]^{23} \gt 8.10^{69} \cdot\left(1+23 \cdot \cfrac{24}{1000}\right)=\) \(=8.10^{69} \cdot\left(1+\cfrac{557}{1000}\right) \gt 8.10^{69} \cdot\left(1+\cfrac{500}{1000}\right)=8.10^{69} \cdot \cfrac{3}{2}=12.10^{69} \gt 10.10^{69}=10^{70}\).

От еквивалентните неравенства \(128 \gt 125 \Leftrightarrow 2^{7} \gt 5^{3} \Leftrightarrow 2^{7} .5^{7} \gt 5^{10} \Leftrightarrow 10^{7} \gt 5^{10}\) \(\Leftrightarrow 10^{70} \gt 5^{100}\) следва, че \(2^{233} \gt 5^{100}\).

Задача 2. Точките \(E\) и \(F\) са среди съответно на диагоналите \(A C\) и \(B D\) на четириъгълника \(A B C D\). Ако \(∢ B A E=∢ A D E\) и \(∢ A B F=∢ B C F\), да се докаже, че симедианите на триъгълниците \(A B C, B C D, C D A\) и \(D A B\) съответно през върховете \(B, C, D\) и \(A\) се пресичат в една точка.

Хаим Хаимов, Варна

Решение:Нека \(L\) епресечната точка на симедианите на \(\triangle A B C\) и \(\triangle B C D\) съответно през върховете \(D\) и \(C\). Означаваме проекциите на точката \(L\) върху страните \(A B, B C, C D\) и \(D A\) съответно с \(M, N, P\) и \(Q\), а проекцията на пресечната точка на диагоналите \(T\) върху \(A B\)– с \(K\). От определението на симедиана и условието имаме \(∢ L D C=∢ A D E=∢ B A E\) и \(∢ L C D=∢ B C F=∢ A B F\). Тогава \(\triangle D L C \sim \triangle A T B\), откъдето \(∢ D L C\)

\(=∢ A T B=∢ D T C\). Следователно четириъгълникът \(D L T C\) е вписан в окръжност и \(∢ A T L=∢ L D C\). От това равенство и \(∢ L D C=∢ B A E\) следва, че \(∢ A T L=∢ B A E\), т.е. \(L T \| A B\). Следователно \(T K=L M\). От \(\triangle D L C \sim \triangle A T B\) следва \(\cfrac{T K}{A B}=\cfrac{L P}{C D}\), откъдето \(\cfrac{L M}{A B}=\cfrac{L P}{C D}\). От друга страна по свойството на симедианата имаме \(\cfrac{L P}{C D}=\cfrac{L Q}{A D}\) и затова \(\cfrac{L M}{A B}=\cfrac{L Q}{A D}\). Получаваме, че \(L\) е точка от симедианата на \(\triangle A B C\) през върха A. Аналогично се доказва, че \(L\) лежи върху симедианата на \(\triangle A B C\) през върха \(B\). Така установихме, че четирите симедиани се пресичат в една точка.

Задача 3. Вписаната в \(\triangle A B C\) окръжност \(k\) се допира до \(B C, C A\) и \(A B\) съответно в точките \(P_{a}, P_{b}\) и \(P_{c}\), Pb и Pc, а точката \(P\) е симетрична на центъра на \(k\) спрямо центъра на описаната около \(\triangle A B C\) окръжност.

а) Точките \(N_{b}, N_{c}\) и \(N_{p}\) са петите на височините на \(\triangle B C P\) съответно през върховете \(B, C\) и \(P\). Ако \(N_{b}^{\prime}, N_{c}^{\prime}\) и \(N_{p}^{\prime}\) са симетрични съответно на \(N_{b}, N_{c}\) и \(N_{p}\) спрямо съответните среди на страните, върху които лежат \(N_{b}, N_{c}\) и \(N_{p}\), Nc и Np, да се докаже, че правите \(B N_{b}^{\prime}, C N_{c}^{\prime}\) и \(P N_{p}^{\prime}\) се пресичат в една точка \(S_{a}\).

б) Ако точките \(S_{b}\) и \(S_{c}\) са определени съответно за триъгълниците \(C A P\) и \(A B P\) по същия начин, както \(S_{a}\) за \(\triangle B C P\), да се докаже, че правите \(P_{a} S_{a}, P_{b} S_{b}\) и \(P_{c} S_{c}\) минават през една точка.

Сава Гроздев, София, Деко Деков, Стара Загора

Решение: Тъй като правите \(B N_{\mathrm{b}}, C N_{\mathrm{c}}\) и \(P N_{\mathrm{p}}\) се пресичат в една точка \(H_{\mathrm{a}}\) (ортоцентър на \(\triangle B C P\) ), то правите \(B N_{b}^{\prime}, C N_{c}^{\prime}\) и \(P N_{p}^{\prime}\) се пресичат в една точка \(S_{a}\), която е изотомично спрегнатата с \(H_{a}\).

Нека \(I\) е центърът на вписаната окръжност за \(\triangle A B C\), а \(I_{a}\) е центърът на външновписаната му окръжност, допираща се до страната \(B C\) в точка \(P_{a}^{\prime}\). От свойствата на допирателните лесно се вижда, че точките \(P_{a}\) и \(P_{a}^{\prime}\) са симетрични спрямо средата на \(B C\). Според твърдение 5 от статията „Няколко хомотетично породени свойства на Фойербаховите конфигурации“, публикувана в брой 1, 2014 г. на сп. Математика и информатика, точката \(P\) лежи върху правата \(I_{a} P_{a}^{\prime}\), т.е. тази права съдържа височината на \(\Delta B C P\) през върха \(P\) (това означава, че \(P_{a}^{\prime} \equiv N_{p}\) ). Следователно изотомичната спрямо \(\triangle B C P\) на височината \(P P_{a}^{\prime}\) е \(P P_{a}\). От друга страна \(S_{a}\) е изотомична на ортоцентъра \(H_{a}\) и затова лежи върху \(P P_{a}\). Следователно точките \(P, P_{a}\) и \(S_{a}\) лежат на една права. Аналогично се вижда колинеарността на тройките точки \(P, P_{b}, S_{b}\) и \(P, P_{c}, S_{c}\). Следователно правите \(P_{a} S_{a}\), \(P_{b} S_{b}\) и \(P_{c} S_{c}\) се пресичат в точката \(P\).