Рубриката се води от доц. д-р Веселин Ненков

Задача 1. Да се намери най-малкото естествено число \(n\), при което \(n\) куба с целочислени дължини на ръбовете в сантиметри имат сума на обемите, равна на \(2018 \mathrm{~cm}^{3}\).

Христо Лесов, Казанлък

Решение: тъй като \(12^{3}=1728 \lt 2018 \lt 2197=13^{3}\), то 2018 не е куб на естествено число и затова \(n \gt 1\). Разглеждаме последователно случаите за \(n \geq 2\).

1) При \(n=2\) разглеждаме естествени числа \(x\) и \(y\), за които са изпълнени релациите \(x \geq y \geq 1\) и \(x^{3}+y^{3}=2018\). Тогава \(2 x^{3} \geq x^{3}+y^{3}=2018\), откъдето \(x^{3} \geq 1009 \gt 1000=10^{3}\), т.е. \(x \geq 11\). Освен това \(x^{3}+1 \leq x^{3}+y^{3}=2018\), откъдето \(x^{3} \leq 2017 \lt 2197=13^{3}\), т.е. \(x \leq 12\). Така получихме, че \(11 \leq x \leq 12\). Лесно се проверява, че при \(x=11\) и \(x=12\) няма естествени стойности на \(y\), за които е изпълнено равенството \(x^{3}+y^{3}=2018\).

2) При \(n=3\) разглеждаме естествени числа \(x, y\) и \(z\), , за които са изпълнени релациите \(x \geq y \geq z \geq 1\) и \(x^{3}+y^{3}+z^{3}=2018\). Тогава \(3 x^{3} \geq x^{3}+y^{3}+z^{3}=2018\), откъдето \(x^{3} \geq 672 \gt 512=8^{3}\), т.е. \(x \geq 9\). Освен това \(x^{3}+1^{3}+1^{3} \leq x^{3}+y^{3}+z^{3}=2018\), откъдето \(x^{3} \leq 2016 \lt 2197=13^{3}\), т.е. \(x \leq 12\). Така получихме, че \(9 \leq x \leq 12\). Ако \(x=9\) имаме \(y^{3}+z^{3}=1289\). Оттук \(2 y^{3} \geq y^{3}+z^{3}=1289, y^{3} \gt 644 \gt 512=8^{3}\), y3 > 644 > 512 = 83 , т.е. \(y \geq 9\). Освен това \(y^{3}+1^{3} \leq y^{3}+z^{3}=1289, y^{3} \leq 1288 \lt 1331=11^{3}\), y3 ≤ 1288 < 1331= 113 , т.е. \(y \leq 10\). Така получихме, че \(9 \leq y \leq 10\). Лесно се проверява, че при \(x=9\) и \(y=9,10\) няма естествени стойности на \(z\), за които е изпълнено равенството \(x^{3}+y^{3}+z^{3}=2018\). Ако \(\quad x=10\), имаме \(y^{3}+z^{3}=1018\). Оттук \(2 y^{3} \geq y^{3}+z^{3}=1018\), \(y^{3} \gt 509 \gt 343=7^{3}\), т.е. \(y \geq 8\). Освен това \(y^{3}+1^{3} \leq y^{3}+z^{3}=1018\), \(y^{3} \leq 1017 \lt 1331=11^{3}\), т.е. \(y \leq 10\). Така получихме, че \(8 \leq y \leq 10\). Лесно се проверява, че при \(x=10\) и \(y=8,9,10\) няма естествени стойности на \(z\), за които е изпълнено равенството \(x^{3}+y^{3}+z^{3}=2018\). Ако \(x=10\), имаме \(y^{3}+z^{3}=1018\). Оттук \(2 y^{3} \geq y^{3}+z^{3}=1018, y^{3} \gt 509 \gt 343=7^{3}\), , т.е. \(y \geq 8\). Освен това \(y^{3}+1^{3} \leq y^{3}+z^{3}=1018, y^{3} \leq 1017 \lt 1331=11^{3}\), y3 ≤ 1017 < 1331= 113 , т.е. \(y \leq 10\). Така получихме, че \(8 \leq y \leq 10\). Лесно се проверява, че при \(x=10\) и \(y=8,9,10\) няма естествени стойности на \(z\), за които е изпълнено равенството \(x^{3}+y^{3}+z^{3}=2018\). Ако \(x=12\), имаме \(y^{3}+z^{3}=290\). Оттук \(2 y^{3} \geq y^{3}+z^{3}=290, \quad y^{3} \gt 145=5^{3}, \quad\) т.е. \(\quad y \geq 6 . \quad\) Освен това \(y^{3}+1^{3} \leq y^{3}+z^{3}=290, y^{3} \leq 289 \lt 343=7^{3}\), y3 ≤ 289< 343= 73 , т.е. \(y \leq 6\). Така получихме, че \(y=6\). Лесно се проверява, че при \(x=12\) и \(y=6\) няма естествени стойности на \(z\), за които е изпълнено равенството \(x^{3}+y^{3}+z^{3}=2018\).

3) При \(n=4\) разглеждаме естествени числа \(x, y, z\) и \(t\), y , z и t , за които са изпълнени релациите \(x \geq y \geq z \geq t \geq 1\) и \(x^{3}+y^{3}+z^{3}+t^{3}=2018\). Тогава \(4 x^{3} \geq x^{3}+y^{3}+z^{3}+t^{3}=2018\), откъдето \(x^{3} \geq 504 \gt 343=7^{3}\), т.е. \(x \geq 8\). Освен това \(x^{3}+1^{3}+1^{3}+1^{3} \leq x^{3}+y^{3}+z^{3}+t^{3}=2018\), откъдето \(x^{3} \leq 2015 \lt 2197=13^{3}\), т.е. \(x \leq 12\). Така получихме, че \(8 \leq x \leq 12\). Ако \(x=12\) имаме, \(y^{3}+z^{3}+t^{3}=290\). Оттук \(3 y^{3} \geq y^{3}+z^{3}+t^{3}=290, y^{3} \gt 96 \gt 64=4^{3}\), y3 > 96> 64= 43 , т.е. \(y \geq 5\). Освен това \(y^{3}+1^{3}+1^{3} \leq y^{3}+z^{3}+t^{3}=290, y^{3} \leq 288 \lt 343=7^{3}\), y3 ≤ 288< 343= 73 , т.е. \(y \leq 6\). Така получихме, че \(5 \leq y \leq 6\). При \(y=6\) имаме \(z^{3}+t^{3}=74\), откъдето \(2 z^{3} \geq z^{3}+t^{3}=74\), \(z^{3} \geq 37 \gt 27=3^{3}\), т.е. \(z \geq 4\). От друга страна \(z^{3}+1^{3} \leq z^{3}+t^{3}=74\), \(z^{3} \leq 73 \lt 125=5^{3}\), т.е. \(z \leq 4\). Така получихме, че \(z=4\). Лесно се проверява, че при \(z=4\) равенството то \(z^{3}+t^{3}=74\) не е изпълнено за естествени стойности на \(t\). При \(y=5\) имаме \(z^{3}+t^{3}=165\), откъдето \(2 z^{3} \geq z^{3}+t^{3}=165\), \(z^{3} \gt 82 \gt 64=4^{3}\), т.е. \(z \geq 5\). Но \(z \leq y=5\). Следователно \(z=y=5\). Лесно се проверява, че при \(z=5\) равенството то \(z^{3}+t^{3}=165\) не е изпълнено за естествени стойности на \(t\). Ако \(x=11\), имаме \(y^{3}+z^{3}+t^{3}=687\). Оттук \(3 y^{3} \geq y^{3}+z^{3}+t^{3}=687, \quad y^{3} \gt 229 \gt 216=6^{3}, \quad\) т.е. \(\quad y \geq 7\). Освен това \(y^{3}+1^{3}+1^{3} \leq y^{3}+z^{3}+t^{3}=687, y^{3} \leq 685 \lt 729=9^{3}\), y3 ≤ 685 < 729 = 93 , т.е. \(y \leq 8\). Така получихме, че \(7 \leq y \leq 8\). При \(y=8\) имаме \(z^{3}+t^{3}=175\), откъдето \(2 z^{3} \geq z^{3}+t^{3}=175, \quad z^{3} \geq 87 \gt 64=4^{3}, \quad\) т.е. \(\quad z \geq 5\). От друга страна, \(z^{3}+1^{3} \leq z^{3}+t^{3}=175, z^{3} \leq 174 \lt 216=6^{3}\), z 3 ≤ 174 < 216 = 63 , т.е. \(z \leq 5\). Така получихме, че \(z=5\). Лесно се проверява, че при \(z=5\) равенството то \(z^{3}+t^{3}=175\) не е изпълнено за естествени стойности на \(t\). При \(y=7\) имаме \(z^{3}+t^{3}=344\), т.е. \(z^{3}+t^{3}=7^{3}+1^{3}\). Тъй като \(z \leq y=7\), то \(z=7\) и \(t=1\). Така стигаме до равенството \(11^{3}+7^{3}+7^{3}+1^{3}=2018\). Това означава, че \(x=11, y=7, z=7, t=1\) е решение на поставената задача и най-малкото \(n\), при което се получава решение, е \(n=4\).

Задача 2. Дадени са \(\triangle A B C\) със страни \(A B=13, B C=10\) и \(C A=5\) и окръжност \(k_{1}\) с радиус 1 , която се допира до страните \(A B\) и \(A C\) на триъгълника. Окръжност \(k_{2}\) с радиус \(R\) се допира до \(k_{1}\) и има център \(O\), лежащ на страната \(B C\) на \(\triangle A B C\). Да се намери интервалът, в който се изменят стойностите на \(R\), когато \(O\) се движи по \(B C\).

Велина Йорданова, Варна

Решение: за взаимното разположение на окръжностите \(k\) и \(k_{1}\) са възможни два случая: \(k\) и \(k_{1}\) се допират външно (фиг.1) и \(k\) и \(k_{1}\) се допират вътрешно (фиг. 2).

По-нататък ще използваме означенията върху чертежите. Триъгълникът \(A B C\) е тъпоъгълен с тъп ъгъл при върха \(C\). Затова най-малката стойност \(R_{\text {min }}\) на \(R\) се получава, когато \(R=C G\) (фиг. 3) или \(R=C G^{\prime}\) (фиг. 4).

Най-голямата стойност \(R_{\text {max }}\) на \(R\) се получава, когато \(R=B G\) (фиг. 5) или \(R=B G^{\prime}\) (фиг. 6).

От тези наблюдения следва, че е достатъчно да определим дължините на \(C Q\) и \(B Q\). Първо определяме \(A Q\) от правоъгълния триъгълник \(A E Q\) чрез равенството \(A Q=\tfrac{1}{\sin \tfrac{∢ C A B}{2}}\). От формулите на Ойлер имаме \(\sin \tfrac{∢ C A B}{2}=\sqrt{\tfrac{(p-b)(p-c)}{b c}}\) и \(\cos \tfrac{∢ C A B}{2}=\sqrt{\tfrac{p(p-a)}{b c}}\), където \(a=10\), \(b=5, c=13\) и \(p=\tfrac{a+b+c}{2}=14\). Следователно \(\sin \tfrac{∢ C A B}{2}=\tfrac{3}{\sqrt{65}}\) и \(\cos \tfrac{∢ C A B}{2}=\sqrt{\tfrac{56}{65}}\). Оттук следва, че \(A Q=\tfrac{\sqrt{65}}{3}\). Сега от косинусовата теорема за \(A Q C\) (фиг. 3, 4) получаваме \(C Q=\tfrac{\sqrt{290-60 \sqrt{14}}}{3}\). При външно допиране на \(k\) и \(k_{1}\) имаме \(R_{\min }=C Q-1=\tfrac{\sqrt{290-60 \sqrt{14}}-3}{3}\) (фиг. 3). В случай че окръжностите се допират вътрешно, имаме \(R_{\min }=C Q+1=\tfrac{\sqrt{290-60 \sqrt{14}}+3}{3}\) (фиг. 4). За да определим дължината на \(B Q\), използваме косинусовата теорема за \(\triangle A B Q\). Получаваме \(B Q=\tfrac{\sqrt{1586-156 \sqrt{14}}}{3}\). При външно допиране на \(k\) и \(k_{1}\) имаме \(R_{\max }=B Q-1=\tfrac{\sqrt{1586-156 \sqrt{14}}-3}{3}\) (фиг. 5). В случай че окръжностите се допират вътрешно, имаме \(R_{\max }=B Q+1=\tfrac{\sqrt{1586-156 \sqrt{14}}-3}{3}\) (фиг. 6).

Задача 3. Дадени са изпъкнал четириъгълник \(A B C D\) и точка \(P\) от равнината му. Да се докаже, че педалните окръжности на \(P\) спрямо триъгълниците \(A B C, B C D, C D A\) и \(D A B\) минават през една точка.

Забележка. Ако \(A B C\) е произволен триъгълник и \(P\) е точка от равнината му, окръжността (когато съществува), минаваща през ортогоналните проекции на \(P\) върху правите \(B C, C A\) и \(A B\), CA и AB , се нарича педална окръжност на \(P\) спрямо \(\triangle A B C\).

Хаим Хаимов, Варна

Решение: решението на задачата се съдържа в статията на автора „Едно твърдение за конкурентност на педални окръжности на точка в равнината на четириъгълник“, публикувана в настоящия брой на списанието.