Задача 1. Реалните числа \(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\) и \(a\) са такива, че:

\[ x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=\cfrac{n-1}{2}+a, x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}=\cfrac{n-1}{4}+a^{2}, a \gt \cfrac{1}{2} . \] Намерете най-голямата стойност на \(x_{n}\).

Лучиан Туцеску, Крайова, Румъния

Решение: От условието получаваме \(\left(x_{1}-\cfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(x_{2}-\cfrac{1}{2}\right)^{2}+\cdots+\left(x_{n}-\cfrac{1}{2}\right)^{2}=\)

\(=\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}\right)-\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}\right)+\cfrac{n}{4}=\cfrac{n-1}{4}+a^{2}-\cfrac{n-1}{2}-a+\cfrac{n}{4}=\left(a-\cfrac{1}{2}\right)^{2}\). Сле дователно \(\left(x_{n}-\cfrac{1}{2}\right)^{2} \leq\left(a-\cfrac{1}{2}\right)^{2}\). Тъй като \(a \gt \cfrac{1}{2}\), то \(x_{n}-\cfrac{1}{2} \leq a-\cfrac{1}{2}\), т.е. \(x_{n} \leq a\). Оттук следва, че най-голямата стойност на \(x_{n}\) е \(a\), като равенство се достига при \(x_{1}=x_{2}=\cdots=x_{n-1}=\cfrac{1}{2} 。\)

Задача 2. Даден е изпъкнал четириъгълник \(A B C D\), в който съществува такава точка \(K\), че са изпълнени равенствата \(∢ A K B=∢ C K D=90^{\circ}\) и \(A K . C K=B K . D K\). Страните \(A D\) и \(B C\) не са успоредни, а 0 е пресечната точка на симетралите им. Да се докаже, че ортогоналните проекции на точките 0 и \(K\) върху страните на \(A B C D\) лежат на една окръжност.

Хаим Хаимов, Варна

Решение: Нека \(E\) и \(F\) са средите съответно на \(A D\) и \(B C\), а \(L\) е симетричната на точката \(K\) спрямо \(F\). Тъй като \(K B L C\) е успоредник, то са изпълнени равенствата \(∢ L C K=180^{\circ}-∢ B K C=\left(360^{\circ}-∢ A K B-∢ C K D\right)-∢ B K C=∢ A K D\) и \(\cfrac{C K}{C L}=\cfrac{C K}{B K}=\cfrac{D K}{A K}\). Следователно \(\Delta L K C \sim \triangle A K D\) и \(∢ L K C=∢ A D K\). Означаваме пресечната точка на правите \(K L\) и \(A D\) с \(Q\). Понеже \(∢ Q K D+∢ A D K=∢ Q K D+∢ L K C=180^{\circ}-∢ D K C=90^{\circ}\), то \(K Q \perp A D\). Следователно \(Q\) е проекцията на \(K\) върху \(A D\) и тя лежи върху окръжността \(k\) с диаметър \(E F\). Аналогично се доказва, че проекцията \(N\) на \(K\) върху \(B C\) лежи върху \(k\). Нека \(M\) и \(P\) са проекциите на \(K\) съответно върху правите \(A B\) и CD. От вписаните четириъгълници \(Q K P D, P K N C\) и правоъгълния триъгълник \(C K D\) имаме \(∢ K Q P=∢ K D P=90^{\circ}-∢ K C P=∢ C K P=∢ C N P\). Следователно четириъгълникът \(Q F N P\) е вписан в окръжност, т.е. точката \(P\) лежи на окръжността през точките \(Q\), \(N\) и \(F\), а това е окръжността \(k\). По същия начин се доказва, че и точката \(M\) лежи на \(k\). Нека сега \(M_{1}\) и \(P_{1}\) са проекциите на \(O\) съответно върху правите \(A B\) и \(C D\). Тъй като \(K F \perp A D\) и \(E O \perp A D\), то \(K F \| E O\). Аналогично се получава, че \(K E \| F O\). Следователно \(O F K E\) е успоредник и средата \(G\) на отсечката \(E F\) е среда на отсечката \(O K\). Понеже средната основа на трапеца \(M K O M_{1}\) е медиана и височина в \(\Delta M_{1} G M\), то \(M_{1} G=M G\). Но \(M\) лежи върху \(k\) и следователно \(M_{1} \in k\). Аналогично се доказва, че \(P_{1} \in k\). С това е доказано, че проекциите на точките \(K\) и \(O\) върху страните на четириъгълника \(A B C D\) лежат на една окръжност \(k\).

Задача 3. В равнината са разположени два изпъкнали четириъгълника \(P\) и \(P^{\prime}\) така, че през една от общите им точки \(O\) всяка права \(l\) пресича \(P\) по отсечка, която е по-дълга от отсечката, по която \(l\) пресича \(P^{\prime}\). Възможно ли е лицето на \(P^{\prime}\) да е 1,9 пъти по-голямо от лицето на \(P\) ?

Николай Белухов, Стара Загора

Решение: Ще покажем, че е възможно лицето на \(P^{\prime}\) да бъде \(2-\varepsilon\) пъти по-голямо от лицето на \(P\) за произволно положително \(\varepsilon \lt 2\). Нека \(A B C D\) е квадрат с център \(O\), а точките \(A^{\prime}, B^{\prime}\) и \(C^{\prime}\) са симетричните на \(O\) съответно спрямо \(A, B\) и \(C\). Тогава за всяка права \(l\) през \(O\), с изключение на правата \(A C\), отсечките \(l \cap A B C D\) и \(l \cap A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}\) имат равни дължини. Нека точките \(M\) и \(N\) лежат съответно върху отсечките \(B^{\prime} A^{\prime}\) и \(B^{\prime} C^{\prime}\) по такъв начин, че \(B^{\prime} M: B^{\prime} A^{\prime}=B^{\prime} N: B^{\prime} C^{\prime}=\sqrt{\cfrac{2-\varepsilon}{2}}\). Сега разглеждаме четириъгълника \(P^{\prime}\), който е хомотетичен на \(B^{\prime} M O N\) при хомотетия с център \(O\) и коефициент \(\sqrt[4]{\cfrac{2-\varepsilon}{2}}\). Оттук следва, че четириъгълниците \(P \equiv A B C D\) и \(P^{\prime}\) удовлетворяват условието на задачата, като лицето на \(P^{\prime}\) е \(2-\varepsilon\) пъти по-голямо от лицето на \(P\).