Задача 1. Целочислените редици \(\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}\) и \(\left\{y_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}\) са дефинирани чрез равенствата \(x_{1}=a-1, y_{1}=a+1, x_{n}=a . x_{n-1}+a-1, y_{n}=a . y_{n-1}-a+1\), y1 = a +1 , x n = a.x n−1 + a − 1 , yn = a.yn−1 − a + 1, при \(n \geq 2\).

а) Да се докаже, че за всяко цяло число \(a\) точно едно от числата \(x_{n}, y_{n}\) и \(\tfrac{1}{2}\left(x_{n}+y_{n}\right)\) се дели на 3.

б) Да се определят целите числа \(a\), за които \(x_{n}\) и \(y_{n}\) са взаимно прости числа за всяко естествено число \(n\).

Христо Лесов – Казанлък

Решение: дадените рекурентни равенства представяме по следния начин: \(x_{n}+1=a\left(x_{n-1}+1\right)\) и \(y_{n}-1=a\left(y_{n-1}-1\right)\). От тях получаваме последователно \(x_{n-1}+1=a\left(x_{n-2}+1\right)\) и \(y_{n-1}-1=a\left(y_{n-2}-1\right), \ldots, x_{2}+1=a\left(x_{1}+1\right)\) и \(y_{2}-1=a\left(y_{1}-1\right)\). След почленно умножаване на съответните равенства за отделните редици намираме равенствата: \(x_{n}+1=a^{n-1}\left(x_{1}+1\right)\) и \(y_{n}-1=a^{n-1}\left(y_{1}-1\right)\). Оттук следва, че \(x_{n}=a^{n}-1\) и \(y_{n}=a^{n}+1\). Нека \(a\) е цяло число. Тъй като \(x_{n}, \tfrac{1}{2}\left(x_{n}+y_{n}\right)\) и \(y_{n}\) са три последователни числа, точно едно от тях се дели на 3 . С това твърдение а) е доказано. По-нататък от получените за \(x_{n}\) и \(y_{n}\) равенства следва, че ако \(a\) е нечетно число, то \(x_{n}\) и \(y_{n}\) са четни за всяко естествено число \(n\). Ако \(a\) е четно, то \(x_{n}\) и \(y_{n}\) са нечетни и е изпълнено равенството \(x_{n}-y_{n}=2\). Оттук следва, че най-големият общ делител на \(x_{n}\) и \(y_{n}\) е делител на 2 . Тъй като тези числа са нечетни, то най-големият им общ делител е 1. Затова при всяко естествено число \(n\) и всяко четно число \(a\) числата \(x_{n}\) и \(y_{n}\) са взаимно прости. С това задачата е решена.

Задача 2. Един изпъкнал четириъгълник се нарича хармоничен, ако е вписан в окръжност и произведенията на срещуположните му страни са равни помежду си. Нека \(A B C D E F\) е изпъкнал шестоъгълник, в който четириъгълниците \(A B D F\) и \(A C D E\) са хармонични. Да се докаже, че средите \(M, N\), \(P\) съответно на диагоналите \(A D, B E, C F\) и пресечната точка \(Q\) на \(B E\) и \(C F\) лежат на една окръжност.

Хаим Хаимов – Варна

Решение: в решението на задачата ще използваме следната

Лема. Ако \(A B C D\) е хармоничен четириъгълник и \(U\) е средата на диагонала \(A C\), то са изпълнени равенствата: 1) \(∢ A U B=∢ A U D ; 2)\) \(B U \cdot D U=\tfrac{1}{4} \cdot A C^{2}\).

Доказателство. От теоремата на Птолемей \(A B . C D+B C . D A=A C . B D\) за вписан четириъгълник и равенството \(A B . C D=B C . D A\) от определението следва \(2 . A B . C D=A C . B D\), което е еквивалентно с \(\tfrac{A B}{A U}=\tfrac{B D}{C D}\). Освен това \(∢ B A U=∢ B D C\) (вписани ъгли). Следователно \(\triangle A B U \sim \triangle D B C\).

Оттук \(∢ A U B=∢ D C B\) и \(\tfrac{A U}{B U}=\tfrac{C D}{B C}\). Аналогично се получава, че \(\Delta U A D \sim \triangle C B D\), откъдето \(\stackrel{B U}{∢ A U D}=\stackrel{B C}{∢ D C B}\) и \(\tfrac{A U}{D U}=\tfrac{B C}{C D}\). От равенствата \(\Delta U A D \sim \triangle C B D\), откъдето \(\stackrel{B U}{∢ A U D}=\stackrel{B C}{∢ D C B}\) и \(\tfrac{A U}{D U}=\tfrac{B C}{C D}\). От равенствата между ъглите следва \(∢ A U B=∢ A U D\), а от равенствата на отношенията се получава \(B M \cdot D M=A M^{2}=\tfrac{1}{4} \cdot A C^{2}\). С това лемата е доказана.

Преминаваме към решение на задачата. Прилагаме 1) от лемата към хармоничните четириъгълници \(A B D F\) и \(A C D E\) и получаваме съответно равенствата \(∢ A M B=∢ A M F\) и \(∢ C M D=∢ E M D\). След почленно събиране на тези равенства следва, че \(∢ A M B+∢ C M D=∢ A M F+∢ E M D\).

Оттук \(\quad ∢ B M C=∢ F M E\). Използвайки това равенство, получаваме \(\quad ∢ B M E=∢ B M F+∢ F M E=∢ B M F+∢ B M C=∢ F M E, \quad\) т.е.

\(∢ B M E=∢ F M E\). Сега прилагаме 2) от лемата към \(A B D F\) и \(A C D E\) и по-\(\underset{B M}{\text { лучаваме съответно }} B M \cdot F M=\tfrac{1}{4} A D^{2}\) и \(E M \cdot C M=\tfrac{1}{4} A D^{2}\). Следователно \(\tfrac{B M}{C M}=\tfrac{E M}{F M}\). От това равенство и последното равенство между ъгли следва, че \(\triangle B M E \sim \triangle C M F\). Тъй като \(M N\) и \(M P\) са съответни медиани в двата по-добни триъгълника, то \(∢ M N E=∢ M P F\), т.е. \(∢ M N E=∢ M P Q\). Оттук следва, че \(∢ M N Q+∢ M P Q=180^{\circ}\). Последното равенство означава, че точките \(M, N, P\) и \(Q\) лежат на една окръжност.

Задача 3. Да се намери множеството от точки \(M\), двете допирателни през които към дадена елипса са перпендикулярни.

Милен Найденов – Варна

Решение: спрямо каноничната си координатна система \(O x y\) елипсата има уравнение \(\tfrac{x^{2}}{a^{2}}+\tfrac{y^{2}}{b^{2}}=1\). Нека точката \(M(\xi, \eta)\) е от търсеното геометрично място и лежи върху допирателна \(l\) с уравнение \(y=k x+n\). От двете уравнения следва квадратното уравнение \(\left(a^{2} k^{2}+b^{2}\right) x^{2}+2 a^{2} k n x+a^{2}\left(n^{2}-b^{2}\right)=0\). Правата \(l\) е допирателна тогава и само тогава, когато дискриминантата на последното уравнение е нула. Следователно е изпълнено равенството \(n^{2}=a^{2} k^{2}+b^{2}\). Тъй като \(M \in l\), то \(\eta=k \xi+n\). Затова \(\eta-k \xi= \pm \sqrt{a^{2} k^{2}+b^{2}}\). След повдигане в квадрат на двете страни на последното равенство стигаме до квадратното спрямо \(k\) уравнение \(\left(a^{2}-\xi^{2}\right) k^{2}+2 \xi \eta k+b^{2}-\eta^{2}=0\).

Ако \(k_{1}\) и \(k_{2}\) са корените на това уравнение, от формулите на Виет следва, че \(k_{1} k_{2}=\tfrac{b^{2}-\eta^{2}}{a^{2}-\xi^{2}}\). Тъй като \(k_{1}\) и \(k_{2}\) са ъгловите коефициенти на двете допирателни през \(M\) и тези допирателни трябва да са перпендикулярни, то \(k_{1} k_{2}=-1\). Оттук следва, координатите на \(M\) удовлетворяват равенството \(\xi^{2}+\eta^{2}=a^{2}+b^{2}\). Последното е уравнение на окръжност с център \(O\) и радиус \(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\). Следователно търсеното геометрично място е окръжността, описана около правоъгълника, определен от върховите допирателни на елипсата.