Образователни технологии
РАВНОЛИЦЕВИ ТРИЪГЪЛНИЦИ, ОПРЕДЕЛЕНИ ОТ ДВЕ ПРЕОБРАЗУВАНИЯ В РАВНИНАТА НА ТРИЪГЪЛНИК
Резюме. Статията е ученическа разработка под ръководството на доц. д-р Веселин Ненков. Новите резултати в нея получиха отлична оценка по време на представянето ѝ в международния конкурс „Методология и информационни технологии в образованието“ през 2018 г. и разработката получи първа награда. Тя е посветена на една известна задача за лица на триъгълници и четириъгълници, определени от секущи в триъгълника. Намерена е обща формула за лицето на един от триъгълниците. Определени са лицата на триъгълници, получени чрез изотомичното и изогоналното съответствие в равнината на даден триъгълник. Изследван е и въпросът за равнолицевост на получените триъгълници с пораждащите ги триъгълници.
Ключови думи: triangle; area; isotomic transformation; isogonal transformation; polynomial root
1. Триъгълник, определен от секущи, делящи страните на даден триъгълник в постоянно отношение. Една известна задача има следната формулировка: Ако страните на триъгълник се разделят с точки по на три равни части и първите (вторите) точки, взети по посока на часовниковата стрелка (или противоположната), се свържат с отсечки със срещуположните им върхове, триъгълникът се разделя на седем части, лицето на всяка от които е кратно на \(\tfrac{1}{21}\) част от лицето на триъгълника (фиг. 1).
Фигура 1
В тази задача лицето на централния триъгълник се оказва, че е равно на \(\tfrac{3}{21}=\tfrac{1}{7}\) част от лицето на дадения триъгълник. Аналогично се разглежда случаят, при който страната на триъгълника се разделя на \(n \geq 3\) равни части. В този случай Хауърд Гросман е получил, че лицето на централния триъгълник е равно на \(\tfrac{(n-2)^{2}}{n^{2}-n+1}\) част от лицето на дадения.
Любопитният резултат, получен от Гросман, дава основание за поставяне на следната обща задача: Даден е ∆ABC . Точките \(A_1\) , \(B_1\) и \(C_1\) лежат съответно върху правите BC , CA и AB така, че \(\overline{B A_{1}}:\overline{C A_{1}}=\overline{C B_{1}}: \overline{A B_{1}}=\overline{A C_{1}}: \overline{B C_{1}}=\lambda\) \((\lambda \neq \pm 1,0)\). Ако \(A_{0}=B B_{1} \cap C C_{1}, B_{0}=C C_{1} \cap A A_{1}\) и \(C_{0}=A A_{1} \cap B B_{1}\), да се определи лицето на \(\Delta A_{0} B_{0} C_{0}\) (фиг. 2).
Фигура 2
За да решим тази задача, ще използваме барицентрични координати спрямо \(\triangle A B C\), като \(A(1,0,0), B(0,1,0)\) и \(C(0,0,1)\).
От дефиницията на точките \(A_{1}, B_{1}\) и \(C_{1}\) следва, че техните координати се изразяват по следния начин:
(1)\(A_{1}\left(0, \tfrac{1}{1-\lambda},-\tfrac{\lambda}{1-\lambda}\right), B_{1}\left(-\tfrac{\lambda}{1-\lambda}, 0, \tfrac{1}{1-\lambda}\right), C_{1}\left(\tfrac{1}{1-\lambda},-\tfrac{\lambda}{1-\lambda}, 0\right)\).
Като използваме координатите \((1)\) , представяме правите \(A A_{1}, B B_{1}\) и \(C C_{1}\) с помощта съответно на следните параметрични уравнения:
\(A A_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=1+(1-\lambda) t_{a}, \\ y=-t_{a}, \\ z=\lambda t_{a},\end{array} \quad B B_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=\lambda t_{b}, \\ y=1+(1-\lambda) t_{b},, C C_{1} \\ z=-t_{b},\end{array}:\left\{\begin{array}{l}x=-t_{c}, \\ y=\lambda t_{c}, \\ z=1+(1-\lambda) t_{c} .\end{array}\right.\right.\right.\)
След решаване на системите, образувани от уравненията на двойките прави, се получават координатите на точките \(A_{0}, B_{0}\) и \(C_{0}\) във вида:
(2)\[ \begin{aligned} & A_{0}\left(-\tfrac{\lambda}{\lambda^{2}-\lambda+1}, \tfrac{\lambda^{2}}{\lambda^{2}-\lambda+1}, \tfrac{1}{\lambda^{2}-\lambda+1}\right), \\ & B_{0}\left(\tfrac{1}{\lambda^{2}-\lambda+1},-\tfrac{\lambda}{\lambda^{2}-\lambda+1}, \tfrac{\lambda^{2}}{\lambda^{2}-\lambda+1}\right), \\ & C_{0}\left(\tfrac{\lambda^{2}}{\lambda^{2}-\lambda+1}, \tfrac{1}{\lambda^{2}-\lambda+1},-\tfrac{\lambda}{\lambda^{2}-\lambda+1}\right) . \end{aligned} \]
(Координатите (2) са валидни и в случая, когато \(\lambda=-1\), т.е когато \(A_{1}, B_{1}\) и \(C_{1}\) са средите съответно на \(B C, C A\) и \(A B\). В този случай, както трябва да се очаква, точките \(A_{0}, B_{0}\) и \(C_{0}\) съвпадат с медицентъра на \(\triangle A B C\).)
Ориентираното лице на триъгълника с върхове \(M\left(x_{M}, y_{M}, z_{M}\right)\), \(N\left(x_{N}, y_{N}, z_{N}\right)\) и \(P\left(x_{P}, y_{P}, z_{P}\right)\) се определя по формулата
(3)\[ \tilde{S}_{M N P}=\left|\begin{array}{lll} x_{M} & y_{M} & z_{M} \\ x_{N} & y_{N} & z_{N} \\ x_{P} & y_{P} & z_{P} \end{array}\right| \cdot S \]
където \(S\) е лицето на \(\triangle A B C\).
От (2) и (3) следва, че \(\tilde{S}_{A_{0} B_{0} C_{0}}=\tfrac{(\lambda+1)^{2}}{\lambda^{2}-\lambda+1} \cdot S\). Тъй като коефициентът пред \(S\) е винаги положително число, то \(\Delta A_{0} B_{0} C_{0}\) е винаги еднакво ориентиран с \(\triangle A B C\). Затова в тази формула \(\tilde{S}_{A_{0} B_{0} C_{0}}=S_{A_{0} B_{0} C_{0}}\). Като вземем предвид и факта, че \(\lambda \neq-1\), горната формула може да се запише така:
(4)\[ S_{A_{0} B_{0} C_{0}}=\tfrac{(\lambda+1)^{3}}{\lambda^{3}+1} \cdot S \]
Формулата на Гросман се получава от (4) при \(\lambda=-\tfrac{1}{n-1}\) и \(\lambda=-(n-1)\). При \(\lambda=-\tfrac{1}{2}\) и \(\lambda=-2\) от (4) получаваме резултата, потвърждаващ твърдението на първоначалната задача, който е илюстриран на фиг. 1.
2. Изотомично съответствие в равнината на триъгълник. Две прави през един и същи връх на \(\triangle A B C\) се наричат изотомични, когато пресичат срещуположната на върха страна в точки, симетрични спрямо средата на тази страна (фиг. 3). Ако \(P\left(x_{P}, y_{P}, z_{P}\right)\) е точка в равнината на \(\triangle A B C\), изотомичните на правите \(A P, B P\) и \(C P\) се пресичат в една точка \(P^{\prime \prime}\). Точката \(P^{\prime \prime}\) се нарича изотомична на \(P\) спрямо \(\triangle A B C\) (фиг. 4). Координатите на \(P^{\prime \prime}\) се изразяват по следния начин:
(5)\(P^{\prime \prime}\left(\tfrac{y_{P} z_{P}}{y_{P} z_{P}+z_{P} x_{P}+x_{P} y_{P}}, \tfrac{z_{P} x_{P}}{y_{P} z_{P}+z_{P} x_{P}+x_{P} y_{P}}, \tfrac{x_{P} y_{P}}{y_{P} z_{P}+z_{P} x_{P}+x_{P} y_{P}}\right)\).
Фигура 3
Фигура 4
3. Изогонално съответствие в равнината на триъгълник. Две прави през един и същ връх на \(\triangle A B C\) се наричат изогонални, когато са симетрични спрямо ъглополовящата на триъгълника през този връх (фиг. 5). Ако \(P\left(x_{P}, y_{P}, z_{P}\right)\) е точка в равнината на \(\triangle A B C\), изогоналните на правите \(A P\), \(B P\) и \(C P\) се пресичат в една точка \(P^{\prime}\). Точката \(P^{\prime}\) се нарича изогонална на \(P\) спрямо \(\triangle A B C\) (фиг. 6). Координатите на \(P^{\prime}\) се изразяват по следния начин:
(6) \(P^{\prime}\left(\tfrac{a^{2} y_{P} z_{P}}{a^{2} y_{P} z_{P}+b^{2} z_{P} x_{P}+c^{2} x_{P} y_{P}}, \tfrac{b^{2} z_{P} x_{P}}{a^{2} y_{P} z_{P}+b^{2} z_{P} x_{P}+c^{2} x_{P} y_{P}}, \tfrac{c^{2} x_{P} y_{P}}{a^{2} y_{P} z_{P}+b^{2} z_{P} x_{P}+c^{2} x_{P} y_{P}}\right)\)
Фигура 5
Фигура 6
4. Триъгълници, определени от изотомичните изогонално спрегнати точки на \(A_{0}, B_{0}\) и \(C_{0}\) спрямо \(\triangle A B C\). Ако \(A_{0}^{\prime \prime}, B_{0}^{\prime \prime}\) и \(C_{0}^{\prime \prime}\) са точките, които са изотомични съответно на \(A_{0}, B_{0}\) и \(C_{0}\) спрямо \(\triangle A B C\) (фиг. 7), а точките \(A_{0}^{\prime}, B_{0}^{\prime}\) и \(C_{0}^{\prime}\) са изогонално спрегнатите на същите точки спрямо \(\triangle A B C\) (фиг 8), възниква въпросът за определяне на лицата на триъгълниците \(A_{0}^{\prime \prime} B_{0}^{\prime \prime} C_{0}^{\prime \prime}\) и \(A_{0}^{\prime} B_{0}^{\prime} C_{0}^{\prime}\) (фиг. 7, 8).
Фигура 7
Фигура 8
От (2), (5) и (6) за координатите на точките \(A_{0}^{\prime \prime}, B_{0}^{\prime \prime}, C_{0}^{\prime \prime}, A_{0}^{\prime}, B_{0}^{\prime}\) и \(C_{0}^{\prime}\) намираме
(7) \(\begin{gathered} A_{0}^{\prime \prime}\left(\cfrac{-\lambda}{\lambda^{2}-\lambda+1}, \cfrac{1}{\lambda^{2}-\lambda+1}, \cfrac{\lambda^{2}}{\lambda^{2}-\lambda+1}\right) \\ B_{0}^{\prime \prime}\left(\cfrac{\lambda^{2}}{\lambda^{2}-\lambda+1}, \cfrac{-\lambda}{\lambda^{2}-\lambda+1}, \cfrac{1}{\lambda^{2}-\lambda+1}\right) \\ C_{0}^{\prime \prime}\left(\cfrac{1}{\lambda^{2}-\lambda+1}, \cfrac{\lambda^{2}}{\lambda^{2}-\lambda+1}, \cfrac{-\lambda}{\lambda^{2}-\lambda+1}\right) \\ \end{gathered}\)
(8) \(\begin{gathered} A_{0}^{\prime}\left(\cfrac{-\lambda a^{2}}{-\lambda a^{2}+b^{2}+\lambda^{2} c^{2}}, \cfrac{b^{2}}{-\lambda a^{2}+b^{2}+\lambda^{2} c^{2}}, \cfrac{\lambda^{2} c^{2}}{-\lambda a^{2}+b^{2}+\lambda^{2} c^{2}}\right) \\ B_{0}^{\prime}\left(\cfrac{\lambda^{2} a^{2}}{\lambda^{2} a^{2}-\lambda b^{2}+c^{2}}, \cfrac{-\lambda b^{2}}{\lambda^{2} a^{2}-\lambda b^{2}+c^{2}}, \cfrac{c^{2}}{\lambda^{2} a^{2}-\lambda b^{2}+c^{2}}\right) \\ C_{0}^{\prime}\left(\cfrac{a^{2}}{a^{2}+\lambda^{2} b^{2}-\lambda c^{2}}, \cfrac{\lambda^{2} b^{2}}{a^{2}+\lambda^{2} b^{2}-\lambda c^{2}}, \cfrac{-\lambda c^{2}}{a^{2}+\lambda^{2} b^{2}-\lambda c^{2}}\right) \end{gathered}\)
От (3) и (7) следва, че лицето на \(\Delta A_{0}^{\prime \prime} B_{0}^{\prime \prime} C_{0}^{\prime \prime}\) се определя по формулата
(9)\[ S_{A_{0}^{\prime \prime} B_{0}^{\prime \prime} C_{0}^{\prime \prime}}=\tfrac{(\lambda+1)^{3}}{\lambda^{3}+1} \cdot S \]
От последната формула се вижда, че \(\Delta A_{0}^{\prime \prime} B_{0}^{\prime \prime} C_{0}^{\prime \prime}\) е винаги еднакво ориентиран с \(\triangle A B C\), а от (4) и (9) следва, че триъгълниците \(A_{0}^{\prime \prime} B_{0}^{\prime \prime} C_{0}^{\prime \prime}\) и \(A_{0} B_{0} C_{0}\) са равнолицеви.
От (3) и (8) се получава, че ориентираното лице на \(\Delta A_{0}^{\prime} B_{0}^{\prime} C_{0}^{\prime}\) може да се пресметне по формулата
(10)\(\tilde{S}_{A_{0}^{\prime} B_{0}^{\prime} C_{0}^{\prime}}=\tfrac{\left(\lambda^{3}+1\right)^{2} a^{2} b^{2} c^{2}}{\left(-\lambda a^{2}+b^{2}+\lambda^{2} c^{2}\right)\left(\lambda^{2} a^{2}-\lambda b^{2}+c^{2}\right)\left(a^{2}+\lambda^{2} b^{2}-\lambda c^{2}\right)} S\).
От (10) се вижда, че триъгълниците \(A_{0}^{\prime} B_{0}^{\prime} C_{0}^{\prime}\) и \(A B C\) са противоположно ориентирани (фиг. 9), когато имаме едно или три от неравенствата \(-\lambda a^{2}+b^{2}+\lambda^{2} c^{2} \lt 0, \quad \lambda^{2} a^{2}-\lambda b^{2}+c^{2} \lt 0\) и \(a^{2}+\lambda^{2} b^{2}-\lambda c^{2} \lt 0\). Ако допуснем, че съществува стойност на \(\lambda\), при която са изпълнени едновременно първите две неравенства, след почленното им събиране се получава \(\left(c^{2}+a^{2}\right) \lambda^{2}-\left(a^{2}+b^{2}\right) \lambda+\left(b^{2}+c^{2}\right) \lt 0\). За дискриминантата на квадратния относно \(\lambda\) тричлен имаме неравенството \(-16 S^{2}-\left(5 a^{4}+2 b^{2} c^{2}+2 c^{2} a^{2}\right) \lt 0\). Но това означава, че квадратният тричлен приема положителни стойности за всички \(\lambda\), което противоречи на полученото неравенство. Следователно триъгълниците \(A_{0}^{\prime} B_{0}^{\prime} C_{0}^{\prime}\) и \(A B C\) са противоположно ориентирани, когато е изпълнено точно едно от горните три неравенства. Това означава, че тези случаи определят множество от триъгълници, в което съществуват триъгълници \(A_{0}^{\prime} B_{0}^{\prime} C_{0}^{\prime}\), противоположно ориентирани с пораждащите ги триъгълници \(A_{0} B_{0} C_{0}\) (фиг. 9).
Трябва да се отбележи още, че е възможно квадратните тричлени \(-\lambda a^{2}+b^{2}+\lambda^{2} c^{2}, \lambda^{2} a^{2}-\lambda b^{2}+c^{2}\) и \(a^{2}+\lambda^{2} b^{2}-\lambda c^{2}\) да приемат едновременно положителни стойности при всички реални значения на \(\lambda\). Такъв е случаят, когато са изпълнени едновременно неравенствата \(a^{2}-2 b c \lt 0\), \(b^{2}-2 c a \lt 0\) и \(c^{2}-2 a b \lt 0\). Тези неравенства са в сила, когато съответните дискриминанти на квадратните тричлени са отрицателни. Един триъгълник, за който са изпълнени едновременно последните неравенства, е триъгълникът със страни \(a=3, b=4\) и \(c=4,5\) (имаме \(a^{2}-2 b c=-27, b^{2}-2 c a=-11\) и \(c^{2}-2 a b=-3,75\) ). Следователно за този триъгълник не съществуват триъгълници \(A_{0}^{\prime} B_{0}^{\prime} C_{0}^{\prime}\), които са противоположно ориентирани с него. Това означава, че съществува множество от триъгълници, в което всеки триъгълник \(A_{0}^{\prime} B_{0}^{\prime} C_{0}^{\prime}\) е еднакво ориентиран с пораждащия го триъгълник \(A_{0} B_{0} C_{0}\). Лесно се забелязва, че равностранните триъгълници принадлежат на това множество.
Фигура 9
5. Равнолицевост на триъгълниците \(A_{0} B_{0} C_{0}\) и \(A_{0}^{\prime} B_{0}^{\prime} C_{0}^{\prime}\). Беше отбелязано, че триъгълниците \(A_{0}^{\prime \prime} B_{0}^{\prime \prime} C_{0}^{\prime \prime}\) и \(A_{0} B_{0} C_{0}\) винаги са равнолицеви. Така възниква въпросът за определяне на стойностите на \(\lambda\), при които триъгълниците \(A_{0}^{\prime} B_{0}^{\prime} C_{0}^{\prime}\) и \(A_{0} B_{0} C_{0}\) са равнолицеви. Възможни са два основни случая.
5.1. Триъгълниците \(A_{0} B_{0} C_{0}\) и \(A_{0}^{\prime} B_{0}^{\prime} C_{0}^{\prime}\) са еднакво ориентирани. От (4) и (10) следва, че стойностите на \(\lambda\), при които \(\tilde{S}_{A_{0}^{\prime} B_{0}^{\prime} C_{0}^{\prime}}=S_{A_{0} B_{0} C_{0}}\), са корени на полинома
(11)\[ \varphi(\lambda)=M \lambda^{4}-2 N \lambda^{3}+K \lambda^{2}-2 M \lambda+N, \]
където
(12)\[ \begin{gathered} M=a^{4} b^{2}+b^{4} c^{2}+c^{4} a^{2}-3 a^{2} b^{2} c^{2}, N=a^{2} b^{4}+b^{2} c^{4}+c^{2} a^{4}-3 a^{2} b^{2} c^{2}, \\ K=a^{6}+b^{6}+c^{6}-3 a^{2} b^{2} c^{2} . \end{gathered} \]
Оказва се, че за всички реални стойности на \(a, b, c\) и \(\lambda\) е изпълнено неравенството \(\varphi(\lambda) \geq 0\), като равенство се достига само при \(a=b=c\). Следователно еднакво ориентираните триъгълници \(A_{0} B_{0} C_{0}\) и \(A_{0}^{\prime} B_{0}^{\prime} C_{0}^{\prime}\) са равнолицеви само когато \(\triangle A B C\) е равностранен. Нещо повече, в този случай \(A_{0} B_{0} C_{0}\) и \(A_{0}^{\prime} B_{0}^{\prime} C_{0}^{\prime}\) са еднакви равностранни триъгълници с обща описана окръжност (фиг. 10).
Фигура 10
5.2. Триъгълниците \(A_{0} B_{0} C_{0}\) и \(A_{0}^{\prime} B_{0}^{\prime} C_{0}^{\prime}\) са противоположно ориентирани. От \((4)\) и \((10)\) следва, че стойностите на \(\lambda\), при които \(\tilde{S}_{A_{0}^{\prime} B_{0}^{\prime} C_{0}^{\prime}}=-S_{A_{0} B_{0} C_{0}}\), са корени на полинома
(13)\[ \psi(\lambda)=T \lambda^{6}-U \lambda^{5}+2 V \lambda^{4}-W \lambda^{3}+2 U \lambda^{2}-V \lambda+T \]
където
(14)\[ \begin{gathered} T=2 a^{2} b^{2} c^{2}, U=a^{4} b^{2}+b^{4} c^{2}+c^{4} a^{2}+3 a^{2} b^{2} c^{2} \\ V=a^{2} b^{4}+b^{2} c^{4}+c^{2} a^{4}+3 a^{2} b^{2} c^{2}, W=a^{6}+b^{6}+c^{6}+11 a^{2} b^{2} c^{2} \end{gathered} \]
Оказва се, че в зависимост от \(a, b, c\) полиномът \(\psi(\lambda)\) има най-много четири реални корена. Това означава, че има следните възможности.
1) Съществуват триъгълници \(A B C\), които притежават по четири двойки равнолицеви триъгълници \(A_{0} B_{0} C_{0}\) и \(A_{0}^{\prime} B_{0}^{\prime} C_{0}^{\prime}\) (фиг. 11).
Фигура 11
2) Съществуват триъгълници \(A B C\), които притежават по две двойки равнолицеви триъгълници \(A_{0} B_{0} C_{0}\) и \(A_{0}^{\prime} B_{0}^{\prime} C_{0}^{\prime}\) (фиг. 12).
Фигура 12
3) Съществуват триъгълници \(A B C\), които не притежават нито една двойка равнолицеви триъгълници \(A_{0} B_{0} C_{0}\) и \(A_{0}^{\prime} B_{0}^{\prime} C_{0}^{\prime}\). Такъв е триъгълникът \(A B C\) със страни \(a=3,31, b=2,02\) и \(c=0,97\).
Освен споменатите случаи е възможно \(\psi(\lambda)=0\) да има корен при \(\lambda=1\). Нека представим \(\psi(\lambda)\) във вида \(\psi(\lambda)=\psi_{1}(\lambda)(\lambda-1)+U+V-W+2 T\), където
\[ \begin{aligned} & \psi_{1}(\lambda)=T \lambda^{5}-(U-T) \lambda^{4}+(2 V-U+T) \lambda^{3}- \\ & -(U-2 V+W-T) \lambda^{2}+(U+2 V-W+T) \lambda+V+U-W+T \end{aligned} \]
Ако \(r=0\), то \(\lambda=1\) е корен на \(\psi(\lambda)=0\), който няма геометричен смисъл. Тогава според казаното за \(\psi(\lambda)\) полиномът от пета степен \(\psi_{1}(\lambda)\) има най-много три реални корена. Следователно имаме следните възможности.
4) Съществуват триъгълници \(A B C\), които притежават по три двойки равнолицеви триъгълници \(A_{0} B_{0} C_{0}\) и \(A_{0}^{\prime} B_{0}^{\prime} C_{0}^{\prime}\) (фиг. 13).
Фигура 13
5) Съществуват триъгълници \(A B C\), които притежават по една двойка равнолицеви триъгълници \(A_{0} B_{0} C_{0}\) и \(A_{0}^{\prime} B_{0}^{\prime} C_{0}^{\prime}\) (фиг. 14).
Фигура 14
6. Основни изводи
1) Триъгълникът \(A_{0} B_{0} C_{0}\) е еднакво ориентиран с \(\triangle A B C\) за всички реални стойности на \(\lambda(\lambda \neq \pm 1,0)\).
2) Триъгълниците \(A_{0}^{\prime \prime} B_{0}^{\prime \prime} C_{0}^{\prime \prime}\) и \(A_{0} B_{0} C_{0}\) са еднакво ориентирани и равнолицеви за всички реални стойности на \(\lambda(\lambda \neq \pm 1,0)\).
3) Ако триъгълниците \(A_{0}^{\prime} B_{0}^{\prime} C_{0}^{\prime}\) и \(A_{0} B_{0} C_{0}\) са еднакво ориентирани, те са равнолицеви тогава и само тогава, когато \(A B C\) е равностранен триъгълник.
4) Множеството на триъгълниците \(A B C\), в което съществуват триъгълници \(A_{0}^{\prime} B_{0}^{\prime} C_{0}^{\prime}\), противоположно ориентирани с пораждащите ги триъгълници \(A_{0} B_{0} C_{0}\) според броя на двойките равнолицеви триъгълници \(A_{0}^{\prime} B_{0}^{\prime} C_{0}^{\prime}\) и \(A_{0} B_{0} C_{0}\), се разлага на пет непресичащи се подмножества:
- подмножество на триъгълниците \(A B C\), които не притежават нито една двойка равнолицеви триъгълници \(A_{0}^{\prime} B_{0}^{\prime} C_{0}^{\prime}\) и \(A_{0} B_{0} C_{0}\);
- подмножество на триъгълниците \(A B C\), които притежават точно една двойка равнолицеви триъгълници \(A_{0}^{\prime} B_{0}^{\prime} C_{0}^{\prime}\) и \(A_{0} B_{0} C_{0}\);
- подмножество на триъгълниците \(A B C\), които притежават точно две двойки равнолицеви триъгълници \(A_{0}^{\prime} B_{0}^{\prime} C_{0}^{\prime}\) и \(A_{0} B_{0} C_{0}\);
- подмножество на триъгълниците \(A B C\), които притежават точно три двойки равнолицеви триъгълници \(A_{0}^{\prime} B_{0}^{\prime} C_{0}^{\prime}\) и \(A_{0} B_{0} C_{0}\);
- подмножество на триъгълниците \(A B C\), които притежават точно четири двойки равнолицеви триъгълници \(A_{0}^{\prime} B_{0}^{\prime} C_{0}^{\prime}\) и \(A_{0} B_{0} C_{0}\).
REFERENCES/ЛИТЕРАТУРА
Gardner, M. (1980). Mathematical recreations (In Bulgarian). Tom 3. Sofia: Nauka i Izkustvo. [Гарднер, М. (1980). Математически развлечения. Том 3. София: Наука и изкуство.]
Paskalev, G. & P. Penchev (1983). Problems for mathematical Olympiad preparation (In Bulgarian). Sofia: Narodna Prosveta. [Паскалев, Г. & П. Пенчев. (1983). Задачи за подготовка за математически олимпиади. София: Народна просвета.]
Paskalev, G. & I. Chobanov (1985). Notable points in the triangle (In Bulgarian). Sofia: Narodna Prosveta. [Паскалев, Г. & И. Чобанов. (1985). Забележителни точки в триъгълника. София: Народна прос вета.]
Grozdev, S. (2007). For High Achievements in Mathematics. The Bulgarian Experience (Theory and Practice). Sofia: ADE. (ISBN 978-954-92139-1-1), 295 pages
Grozdev, S. & Nenkov V. (2012). Three notable points on the medians of a triangle (In Bulgarian). Sofia: Arhimedes 2000. [Гроздев, С. & В. Ненков. (2012). Три забележителни точки върху медианите на триъгълника. София: Архимед 2000.]
Grozdev, S. & V. Nenkov (2012). Around the orthocenter in the plain and the space (In Bulgarian). Sofia: Arhimedes 2000. [Гроздев, С. & В. Ненков. (2012). Около ортоцентъра в равнината и пространството. София: Архимед 2000.]
Malcheski, R., S. Grozdev & K. Anevska, K. (2015). Geometry of complex numbers, Sofia: Arhimedes 2000. (ISBN 978-954-779-1886)
Grozdev, S. & V. Nenkov (2017). Some constructions, generated by the duality principle (In Bulgarian). Mathematics and informatics, 4, 391 – 400. [Гроздев, С. & В. Ненков. (2017). Няколко конструкции, породени от принципа за дуалност, Математика и информатика, 4, 391 – 400.]
Grozdev, S. & V. Nenkov (2018). Second degree curves and triangles generated by isogonality (In Bulgarian). Mathematics Plus, 1. [Гроздев, С. & В. Ненков. (2018). Криви от втора степен и триъгълници, породени от изогоналност, Математика плюс, 1.]
Grozdev, S. & V. Nenkov (2018). Counting real zeroes of polynomials by Sturm’s method. Mathematics Plus, 1. [Гроздев, С. & В. Ненков. (2018). Преброяване на реалните корени на полиноми по метода на Щурм, Математика плюс, 1.]