НАЦИОНАЛНА ПРИРОДО-МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ „АКАД. Л. ЧАКАЛОВ”

Задача 1. Да се пресметне числената стойност на израза \(A=(2 x-1)^{2}-(1-x)^{2}(x+1)^{2}+\left(x^{2}-1\right)^{2}-4(-x+2)^{2}\) при \(x=\tfrac{10^{6} .2^{7}-25^{3} .8^{4}}{5^{6} .2^{11}}\).

Задача 2. Да се реши уравнението \(\left|4 x^{2}+2-(2 x+1)^{2}\right|-3|1-4 x|=-6\).

Задача 3. Да се реши уравнението \(x^{3}-x^{2}-4 x+4=0\).

Задача 4. При кои стойности на параметъра \(a\) неравенствата \((3 x-1)^{2}+3(x+2) \lt 3 x(2 x-1)\) и \(\tfrac{2 a-1}{3} . x \lt -3\) са еквивалентни?

Задача 5. В \(\triangle A B C\) е построена ъглополовящата \(A L(L \in B C)\). Правата през \(L\), която е успоредна на \(A C\), пресича страната \(A B\) в точка \(P\). Да се намери \(∢ A L C\), ако \(∢ A P L=130^{0}\) и \(∢ A P L: ∢ A B C=3: 2\).

Задача 6. От две гари едновременно тръгнали един срещу друг два влака. Да се намери след колко часа те ще се срещнат, ако е известно, че единият влак може да измине разстоянието между двете гари за 2 h 20 min, а другият – за 3 h 30 min.

Задача 7. За да изработи една поръчка машинни детайли в определен срок, бригада трябва да изработва по 25 детайла дневно. След три дни работа бригадата увеличила дневната си производителност с 5 детайла, поради което изработила 100 детайла над плана за определения срок. Да се намери колко детайла е изработила бригадата и за колко дни.

Задача 8. Точките \(P\) и \(Q\) са съответно средите на бедрата \(A C\) и \(B C\) на равнобедрения \(\triangle A B C\), а \(C M\) е височина в същия триъгълник. Нека \(∢ B A C: ∢ P M Q=5: 2\). Да се намери разстоянието от точката \(Q\) до правата \(M P\), ако \(A C=8\) см.

Задача 9. Даден е триъгълникът ABC, в който \(∢ A C B=60^{0}\). Ъглополовящите \(A D(D \in B C)\) и \(B E(E \in A C)\) се пресичат в точката \(I\). Да се докаже, че \(\mathrm{AE}+\mathrm{BD}=\mathrm{AB}\).

Задача 10. Да се реши в цели числа уравнението \(x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=y^{2}\).

ПРИМЕРНИ РЕШЕНИЯ

Задача 1. След еквивалентни преобразувания получаваме

Пресмятаме стойността на \(x=\tfrac{(2.5)^{6} .2^{7}-5^{6} .2^{12}}{5^{6} .2^{11}}=\tfrac{5^{6} .2^{12}(2-1)}{5^{6} .2^{11}}=2(\mathbf{1 , 5}\) т.) , откъдето A = 24 −15 = 9. (0,5 т.)

Задача 2. \(\left|4 x^{2}+2-4 x^{2}-4 x-1\right|-3|1-4 x|=-6\) (1 т.) , коетое еквивалентно с \(|1-4 x|=3(\mathbf{1} \boldsymbol{\text { т. }})\).

І сл.) \(1-4 x=3\), т.е. \(x_{1}=-\tfrac{1}{2}\left(\mathbf{1}\right.\) т.) ; \(\quad\) ІІ сл.) \(1-4 x=-3\), т.е. \(x_{2}=1(\mathbf{1}\) т.) .

Задача 3. След подходящо разлагане на множители даденото уравнението става \((x-1)(x-2)(x+2)=0\left(\mathbf{2 , 5 ~ т . ) .}\right.\) Оттук \(x_{1}=1\left(\mathbf{0 , 5}\right.\) т.) , \(x_{2}=2\left(\mathbf{0 , 5}\right.\) т.) и \(x_{3}=-2(\mathbf{0 , 5}\) т.) .

Задача 4. След еквивалентни преобразувания неравенството \((3 x-1)^{2}+3(x+2) \lt 3 x(2 x-1)\) добива вида \(0 x \lt -7\), което няма решение. (2 т.) . За да бъдат еквивалентни двете неравенства, трябва и второто неравенство да няма решение, т.е. \(\tfrac{2 a-1}{3}=0(\mathbf{1}\) т.) . Следователно неравенствата са еквивалентни при \(a=\tfrac{1}{2}(\mathbf{1}\) т.) .

Задача 5. Нека \(∢ A C B=3 x\), а \(∢ A B C=2 x\). Тогава от \((A C \| P L) \times A B\) следва, че \(∢ C A B+130^{\circ}=180^{\circ}\), т.е. \(∢ C A B=50^{\circ}\) (2 т.) . От теоремата за сбор на ъглите в \(\triangle A B C\) имаме, че \(5 x+50^{\circ}=180^{\circ}\), откъдето \(x=26^{\circ}\) (1 т.) . Следователно \(∢ A C B=78^{\circ}\) \(\boldsymbol{(} \mathbf{0 , 5}\) т.) и \(∢ A L C=77^{\circ}(\mathbf{0 , 5}\) т.) .

Задача 6. Нека \(S(S \gt 0)\) е разстоянието между двете гари. Тъй като единият влак изминава разстоянието между двете гари за 2 ч. 20 мин. \(=\tfrac{7}{3}\) часа \((\mathbf{0 , 5}\) т.) , то скоростта на този влак \(v=3 S / 7 \mathrm{~km} / \mathrm{h}(\mathbf{0 , 5}\) т.) . Другият влак изминава разстоянието между двете гари за \(\tfrac{7}{2}\) часа \(\left(\mathbf{0 , 5}\right.\) т.) със скорост \(v_{I I}=\tfrac{2 S}{7} k m / h(\mathbf{0 , 5}\) т.) . Нека \(t(t \gt 0)\) е времето до срещата. Тогава съставяме уравнението \(\tfrac{3 S}{7} \cdot t+\tfrac{2 S}{7} \cdot t=S(\mathbf{1}\) т.) , откъдето получаваме че двата влака ще се срещнат след 1 ч. 24 мин. (1 т.) .

Задача 7. Нека срокът за изпълнение на поръчката \(x(x \gt 0)\) дни. ( (0,5 т.) Тогава поръчката е за \(25 x\) детайла (\(\mathbf{0 , 5}\) т.) . През първите 3 дни бригадата е изработила 75 детайла (0,5 т.) , а през останалите (\(x-3\) ) дни – съответно \(30(x-3)\) детайла (x - 3) детайла (0,5 т.) . Като използваме условието, получаваме уравнението \(75+30(x-3)=25 x+100(\mathbf{1}\) т.) . Оттук \(x=23(\mathbf{0 , 5}\) т.) . Така намираме, че бригадата е изработила \(25.23+100=675\) детайла за 23 дни (0,5 т.) .

Задача 8. От това, че \(\triangle A B C\) е равнобедрен, следва, че \(∢ B A C=∢ A B C=5 x\). Тогава \(∢ P M Q=2 x .(\mathbf{0 , 5}\) т.) От това, че \(M Q\) е медиана в правоъгълния \(\triangle B M C\), следва, че \(M Q=B Q=C Q=\tfrac{1}{2} B C=\tfrac{1}{2} A C=4 c m\). (1 т.) Тогава \(\triangle B M Q\) е равнобедрен и \(∢ Q M B=5 x\). Аналогично \(∢ A M P=5 x\). (0,5 т.) Така имаме, че \(12 x=180^{\circ}\), т.е. \(x=15^{\circ}\) и \(∢ P M Q=30^{\circ}\). (1 т.) Нека \(Q H \perp P M\) е търсеното разстояние. Тогава от правоъгълния \(\triangle H M Q\) с \(∢ H M Q=30^{\circ}\) имаме, че \(H Q=\tfrac{1}{2} M Q=2 .(\mathbf{1}\) т. .)

Задача 9. Нека \(A P=A E(P \in A B)\). (1 т.) Разглеждаме \(\triangle A E I\) и \(\triangle A I P\) :

1) \(A E=A P\) (по построение);

2) \(A I\)– обща страна;

3) \(∢ E A I=∢ I A P\). От първи признак за еднаквост на триъгълници, следва че \(\triangle A E I \cong \triangle A I P . \mathbf{( 0 , 5}\) т. .) Следователно \(∢ E I A=∢ A I P\), като съответни ъгли в еднакви триъгълници. (0,5 т.) Тъй като \(∢ A I B=90^{\circ}+\tfrac{∢ A C B}{2}=120^{\circ}\), то \(∢ E I A=∢ A I P=60^{\circ}\). \(\boldsymbol{(} \mathbf{0 , 5}\) т.) Тогава \(∢ B I D=∢ E I A=60^{\circ}\) като връхниъгли. Оттук \(∢ P I B=180^{\circ}-2.60^{\circ}=60^{\circ}\). Разглеждаме \(\triangle B I P\) и \(\triangle B I D:\)

1) \(∢ B I P=∢ B I D=60^{\circ}\); 2) \(B I-\) обща страна; 3) \(∢ P B I=∢ D B I\). По втори признак за еднаквост на триъгълници следва, че \(\Delta B I P \cong \Delta B I D .(\mathbf{0 , 5}\) т. .) Тогава \(B D=B P\), като съответни страни в еднакви триъгълници. (0,5 т.) Следователно \(A B=A B+P B=A E+B D .(\mathbf{0 , 5}\) т. .)

Задача 10. Записваме даденото уравнение във вида \(\left(x^{3}+1\right)\left(x^{2}+x+1\right)=y^{2}\) (0,5 т.) .

Тъй като \(x^{2}+x+1=\left(x+\tfrac{1}{2}\right)^{2}+\tfrac{3}{4} \gt 0\), то уравнението няма решение при \(x \leq-2\). Очевидно двойките \((-1 ; 0)\), (\(0 ;-1\) ) и (\(0 ; 1\) ) са решения на уравнението. (1 т.) Нека \(x \gt 0\). Понеже \(x^{3}+1=(x-1)\left(x^{2}+x+1\right)+2\), то най-големият общ делител на \(x^{3}+1\) и \(x^{2}+x+1\) дели 2, т.е. е 1 или 2. (0,5 т.) Но \(x^{2}+x+1=x(x+1)+1\) е нечетно число, следователно числата \(x^{3}+1\) и \(x^{2}+x+1\) са взаимно прости и за да бъде произведението им точен квадрат, е необходимо всяко от тях да е точен квадрат. ( \(\mathbf{1}\) т.) Но при \(x \gt 0\) са изпълнени неравенствата \(x^{2} \lt x^{2}+x+1 \lt (x+1)^{2}\). Следователно \(x^{2}+x+1\) не може да бъде точен квадрат. Ето защо даденото уравнение няма други решения освен посочените по-горе. (\(\mathbf{1}\) т.)

Темата е предложена от Илия Костов, преподавател по математика и информатика в НПМГ “Акад. Л. Чакалов”