Резюме. В статията са разгледани примерни приложения на изучавани математически знания в гимназиален етап на обучение по математика. Предложените задачи са по формата на PISA и формират умения за моделиране на различни ситуации.

Ключови думи: problem; problem solving; practice-applicable problem; PISA

Във всички действащи учебници по математика се използват задачи с практикоприложен характер с цел мотивиране на учениците за придобиване на математически знания и умения и показване на практическата им приложимост.

От 2012 г. практикоприложни задачи се използват и в Националното външно оценяване в края на VII клас с цел подобряване на приложните умения на учениците и резултатите им в PISA \({ }^{1)}\). Съгласно учебно-изпитната програма по математика за Национално външно оценяване в края на VII клас вторият модул на изпитния тест съдържа 2 задачи с практикоприложен характер със свободен отговор. По този начин се реализира идеята за проверка на способността на учениците да използват и прилагат знания, умения и опит, придобити в училище, в ситуации от реалния живот с различен контекст.

В действащата учебно-изпитна програма за държавен зрелостен изпит по математика не е заложено изрично изискването за оценяване чрез практикоприложни задачи. Съгласно нея изпитният тест съдържа 28 задачи от три типа:

– 20 задачи от затворен тип с четири възможни отговора (от които само един е верен);

– 5 задачи със свободен отговор;

– 3 задачи, изискващи обосновани аналитико-синтетични решения.

В темите за зрелостен изпит по математика обикновено се използват практикоприложни задачи от лихви, диаграми и др. с цел оценяване на ученическите умения за използване на математически методи на мислене и представяне чрез формули, модели, конструкции, графики, диаграми, т.е. за „работа с данни“.

Задачи, подобни на разгледаните в тази статия, могат да бъдат използвани в изпитни материали за проверка на математическата компетентност на учениците, а защо не и в математически състезания. Положителна тенденция е използването на практикоприложни задачи от учителите при оценяване постиженията на учениците чрез работа по проекти.

Задача 1. Тяло с тегло от \(30 N\) се удържа от две пружини \(A C\) и \(B C\) (черт. 1а). Намерeте големината на силите, действащи върху пружините, ако \(\angle A C B=120^{\circ}, \angle D B C=\angle A D B=90^{\circ}\).

Решение: в точката \(C\) действат три сили (черт. 1б): \(\overrightarrow{F_{1}}\)– действаща на \(B C\), \(\overrightarrow{F_{2}}\)– действаща на \(A C\), и \(\overrightarrow{F_{3}}\)– теглото на тялото. Избираме правоъгълна координатна система \(O x y\), където координатното начало \(O \equiv C\), оста \(O x\) съвпада с противоположния лъч на лъча \(C B \rightarrow\), а оста \(O y \perp B C\) и лежи в полуравнината на правата \(C B\), съдържаща точката \(A\).

Силата \(\overrightarrow{F_{2}}=\overrightarrow{C A_{1}}+\overrightarrow{C A_{2}}\), където \(\overrightarrow{C A_{1}}=\left|\overrightarrow{F_{1}}\right|\) и \(\left|\overrightarrow{C A_{2}}\right|=\left|\overrightarrow{F_{3}}\right|=30 N\).

От \(\tfrac{\overrightarrow{\mid \overrightarrow{C A_{2} \mid}}}{\mid \overrightarrow{F_{2} \mid}}=\cos 30^{\circ}=\tfrac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow\left|\overrightarrow{F_{2}}\right|=\tfrac{2 \cdot\left|\overrightarrow{C A_{2}}\right|}{\sqrt{3}}=\tfrac{2.30}{\sqrt{3}}=20 \sqrt{3} \mathrm{~N}\).

OT \(\tfrac{\overrightarrow{\left|\overrightarrow{C A_{1}}\right|}}{\left|\overrightarrow{F_{2}}\right|}=\sin 30^{\circ}=\tfrac{1}{2} \Rightarrow\left|\overrightarrow{C A_{1}}\right|=\tfrac{\overrightarrow{F_{2}}}{2}=10 \sqrt{3} N \Rightarrow\left|\overrightarrow{F_{1}}\right|=10 \sqrt{3} N\).

Задача 2. Тяло с тегло от \(60 N\) се удържа от две пружини \(A B\) и \(B C\) (черт. 2а). Намерeте големината на силите, действащи върху пружините, ако \(\angle A C B=90^{0}\), \(\angle A B C=30^{0}\). (Тази задача е подходяща за самостоятелна работа.)

Решение: в точката \(B\) действат три сили (черт. 2б): \(\overrightarrow{F_{1}}\)– действаща на \(C B, \overrightarrow{F_{2}}\)-действаща на \(A B\), и \(\overrightarrow{F_{3}}\)– теглото на тялото. Избираме правоъгълна координатна система \(O x y\), където координатното начало \(O \equiv B\), оста \(O x\) съвпада с противоположния лъч на лъча \(B C^{\rightarrow}\), а оста \(O y \perp B C\) и лежи в полуравнината на правата \(C B\), съдържаща точката \(A\).

Силата \(\overrightarrow{F_{2}}=\overrightarrow{B A_{1}}+\overrightarrow{B A_{2}}\), където \(\overrightarrow{B A_{1}}=\overrightarrow{F_{1}}\) и \(\left|\overrightarrow{B A_{2}}\right|=\left|\overrightarrow{F_{3}}\right|=60 N\).

Oт \(\left.\tfrac{\overrightarrow{\left|\overrightarrow{B A_{2}}\right|}}{\overrightarrow{\left|F_{2}\right|}}=\sin 30^{\circ}=\tfrac{1}{2} \Rightarrow\left|\overrightarrow{F_{2}}\right|=2 \cdot \overrightarrow{B A_{2}} \right\rvert\,=2.60=120 \mathrm{~N}\). Oт \(\tfrac{\overrightarrow{\left|B A_{1}\right|}}{\left|\overrightarrow{F_{2}}\right|}=\cos 30^{\circ}=\tfrac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow\left|\overrightarrow{B A_{1}}\right|=\tfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot\left|\overrightarrow{F_{2}}\right|=60 \cdot \sqrt{3} \mathrm{~N} \Rightarrow\left|\overrightarrow{F_{1}}\right|=60 \sqrt{3} \mathrm{~N}\).

Задача 3. Намерете височината \(h\) на ведро, ако околната му повърхнина е изработена от част от кръгов венец с радиуси \(R=90 c m\) и \(r=60 c m\) и градусна мярка на дъгите на развивката \(a=75^{0}\) (черт. 3а). Разходите на материал за шевове не се отчитат.

Решение: нека \(l_{1}=\overparen{A B}, \quad l_{2}=\overparen{C D}\). От \(\quad l_{1}=\tfrac{2 \pi \cdot 60}{360^{0}} \cdot 75^{0}=25 \pi c m\) и \(l_{1}=2 \pi r_{1} \Rightarrow 25 \pi=2 \pi r_{1} \Rightarrow r_{1}=12,5 c m\left(r_{1}-\right.\) радиус на дъното на ведрото). От \(l_{2}=\tfrac{2 \pi \cdot 90}{360^{0}} \cdot 75^{0}=37,5 \pi \mathrm{~cm} \quad\) и \(\quad l_{2}=2 \pi r_{2} \Rightarrow 37,5 \pi=2 \pi r_{2} \Rightarrow r_{2}=18,75 \mathrm{~cm}\) ( \(r_{2}\)– радиус на отвора на ведрото). Следователно

\[ h=\sqrt{(90-60)^{2}-(18,75-12,5)^{2}}=\sqrt{30^{2}-6,25^{2}} \approx 29 c m \text { (черт. 3б). } \]

Задача 4. Височината на ведро е \(h=25 c m\), а диаметрите на отвора и основата му са съответно \(d_{2}=30 c m\) и \(d_{1}=22 c m\) (черт. 4а). Изчислете размерите на заготовката за изработване на ведрото: градусната мярка \(\alpha\) и радиусите \(R\) и \(r\) на дъгите на развивката на околната повърхнина на ведрото. Разходите на материал за шевове не се отчитат. (Тази задача е подходяща за самостоятелна работа.)

Решение: образуващата \(l=\sqrt{h^{2}+\left(\tfrac{d_{2}}{2}-\tfrac{d_{1}}{2}\right)^{2}}=\sqrt{25^{2}+(15-11)^{2}} \approx 25,3 \mathrm{~cm}\).

Нека \(l_{1}=\overparen{A B}, l_{2}=\overparen{C D}\) (черт. 4б) \(\Rightarrow l_{1}=\pi \cdot d_{1}=22 \pi c m, l_{2}=\pi \cdot d_{2}=30 \pi c m(1)\)

Ho \(\tfrac{R}{r}=\tfrac{l_{2}}{l_{1}} \Leftrightarrow \tfrac{r+25,3}{r}=\tfrac{30 \pi}{22 \pi} \Leftrightarrow \tfrac{r+25,3}{r}=\tfrac{15}{11} \Rightarrow r=69,575 \approx 70 \mathrm{~cm}\) \(\Rightarrow R \approx 69,6+25,3 \approx 95 \mathrm{~cm} \Rightarrow l_{2}=\tfrac{2 \pi \cdot 95}{360^{0}} \cdot \alpha^{0}=\tfrac{19 \pi \cdot \alpha^{0}}{36^{0}} \mathrm{~cm}, l_{1}=\tfrac{2 \pi \cdot 70}{360^{0}} \cdot \alpha^{0}=\tfrac{7 \pi \cdot \alpha^{0}}{18^{0}} \mathrm{~cm}(2)\)

От (1) и (2) следва, че \(a=56,6^{0} \approx 57^{0}\).

Задача 5. Каква част от площта на земното кълбо е площта на кълбовия слой, определен от Екватора и паралела с \(45^{0}\) северна географска ширина (черт. 5a).

Решение:лицето на сферичната зонасе пресмята по формулата \(S=2 \pi . r . h\), където \(h, \rho_{1}, \rho_{2}\) са съответно височина и радиуси на основите на кълбовия слой, а \(r\)– радиус на земното кълбо. При \(45^{0}\) северна географска ширина \(h=r . \sin 45^{0}=\tfrac{r \sqrt{2}}{2} \Rightarrow S=2 \pi . r . \tfrac{r \sqrt{2}}{2}=\sqrt{2} . \pi . r^{2}\) (черт. 5б). Площта на земното кълбо е \(S_{1}=4 \pi r^{2} \Rightarrow \tfrac{S}{S_{1}}=\tfrac{\sqrt{2}}{4} \approx 0,354 \Rightarrow S \approx 0,354 . S_{1}\).

Задача 6. Каква част от площта на земното кълбо е площта на кълбовия отрез (сегмент), определен в Северното полукълбо от паралела с \(60^{0}\) географска ширина (черт. 6 а).

Решение: лицето на сферичен отрез се пресмята по формулата \(S=2 \pi . r . h\), където \(h\) и \(\rho\) са съответно височина и радиус на основата на отреза, а \(r\)– радиус на земното кълбо. При \(60^{0}\) северна географска ширина \(h=r-r . \sin 60^{\circ}=\tfrac{r .(2-\sqrt{3})}{2} \Rightarrow S=2 \pi . r . \tfrac{r .(2-\sqrt{3})}{2}=(2-\sqrt{3}) \pi . r^{2}\). Площта на земното кълбо е \(S_{1}=4 \pi r^{2} \Rightarrow \tfrac{S}{S_{1}}=\tfrac{(2-\sqrt{3})}{4} \approx 0,067 \Rightarrow S \approx 0,067 . S_{1}\).

Задача 7. Конична фуния трябва да има диаметър \(d=10 c m\) и височина \(h=12 c m\). Изчислете размерите на заготовката ѝ: радиуса \(R\) и градусната мярка \(\alpha\) на дъгата на развивката. Разходите на материал за шевове не се отчитат (черт. 7).

Решение: образуващата \(l=R=\sqrt{h^{2}+\left(\tfrac{d}{2}\right)^{2}}=\sqrt{12^{2}+\left(\tfrac{10}{2}\right)^{2}}=\sqrt{169}=13 \mathrm{~cm}\). Нека \(l_{1}\) е дължината на отвора на фунията. От \(l_{1}=\tfrac{2 \pi \cdot 13}{360^{0}} \cdot \alpha^{0} c m\) и \(l_{1}=\pi . d=\pi .10 c m \Rightarrow \alpha \approx 138^{0}\).

Задача 8. Конична фуния има диаметър \(d\), равен на радиуса \(R\) на развивката, необходима за нейната изработка (черт. 8). Изчислете градусната мярка \(\alpha\) на дъгата на развивката. Колко е диаметърът \(d\) на фунията, ако за изработването ѝ са необходими \(120 c m^{2}\) материал (без отчитане на разходите на материал за шевове).

Решение: нека \(l_{1}\) е дължината на отвора на фунията, а \(S\)– лицето на площта назаготовката. От \(l_{1}=\tfrac{2 \pi \cdot R}{360^{0}} \cdot \alpha^{0}, l_{1}=\pi \cdot d\) и \(d=R \Rightarrow \alpha=180^{0} \Rightarrow S=\tfrac{1}{2} \cdot \pi \cdot R^{2}\).

От \(S=\tfrac{1}{2} \cdot \pi \cdot R^{2}=120 \mathrm{~cm}^{2} \Rightarrow R=\sqrt{\tfrac{240}{\pi}} \approx 8,7 \mathrm{~cm} \Rightarrow d=R \approx 8,7 \mathrm{~cm}\).

Задача 9. За изработване на конична фуния е изрязан кръгов сектор с ъгъл \(\alpha=200^{0}\) и радиус \(R=10 c m\) (черт. 9). Изчислете височината \(h\) и диаметъра \(d\) на фунията. Разходите на материал за шевове не се отчитат. (Тази задача е подходяща за самостоятелна работа.)

Решение: нека \(l_{1}=\overparen{A B}\). От \(l_{1}=\tfrac{2 \pi \cdot 10}{360^{0}} \cdot 200^{0}=\tfrac{100 \cdot \pi}{9} \mathrm{~cm}\)

и \(l_{1}=\pi . d c m \Rightarrow d=\tfrac{100}{9} \approx 11 c m\).

Следователно \(h=\sqrt{l^{2}-\left(\tfrac{d}{2}\right)^{2}}=\sqrt{R^{2}-\left(\tfrac{d}{2}\right)^{2}}=\sqrt{10^{2}-\left(\tfrac{100}{18}\right)^{2}} \approx 8,3 \mathrm{~cm}\).

Задача 10. За (изработване на конична фуния е изрязан кръгов сектор с дължина на дъгата \(\overparen{A B}=30 c m\) и ъгъл \(\alpha=210^{0}\) (черт.10). Изчислетевисочината \(h\) и диаметъра \(d\) на фунията. Разходите на материал за шевове не се отчитат. (Тази задача е подходяща за самостоятелна работа.)

Решение: нека \(l_{1}=\overparen{A B}, l-\) образуваща. От \(l_{1}=\pi . d=30 c m \Rightarrow\) \(d=\tfrac{30}{\pi}=30: \tfrac{22}{7} \approx 9,5 \mathrm{~cm}\). \(\mathrm{O}_{\mathrm{T}} l_{1}=\tfrac{2 \pi \cdot R}{360^{0}} \cdot \alpha^{0}=\tfrac{2 \pi \cdot R}{360^{0}} \cdot 210^{0}=\tfrac{7 \cdot \pi \cdot R}{6}=30 \mathrm{~cm} \Rightarrow\) \(R \approx 8,2 c m\), , но \(R \equiv l \Rightarrow l \approx 8,2 c m\)

\(\Rightarrow h=\sqrt{l^{2}-\left(\tfrac{d}{2}\right)^{2}}=\sqrt{8,2^{2}-\left(\tfrac{9,5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{67,24-22,56}=\sqrt{44,68} \approx 6,7 \mathrm{~cm}\).

Задача 11. В планината се намира кула с височина \(a m\). От точка \(A\) върхът и основата на кулата се виждат съответно под ъгли \(\alpha\) и \(\beta\) (черт. 11). Изразете чрез \(a\), α и \(\beta\) височината на планината.

Решение: височината на планината \(h=A B \cdot \operatorname{tg} \beta\), но \(A B=(a+h) \cdot \cot g \alpha\) \(\Rightarrow h=(a+h) \cdot \cot g \alpha \cdot \operatorname{tg} \beta=(a+h) \cdot \tfrac{\operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg} \alpha} \Rightarrow h=\tfrac{a \cdot \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta}\).

Задача 12. Намерете разстоянието от дадена точка \(A\) до строеж, ако от тази точка \(A\) горният край на един от прозорците на строежа се вижда под ъгъл \(\alpha\), а долният край на този прозорец се вижда под ъгъл \(\beta\) (черт. 12). (Подходяща за самостоятелна работа).

Решение: разстоянието от долния край на прозореца до земята е

\(h=A B \cdot \operatorname{tg} \beta\), но \(A B=(a+h) \cdot \cot g \alpha \Rightarrow h=(a+h) \cdot \cot g \alpha \cdot \operatorname{tg} \beta=(a+h) \cdot \tfrac{\operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg} \alpha}\) \(\Rightarrow h=\tfrac{a \cdot \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta} \Rightarrow\) разстоянието до строежа е \(A B=(a+h) \cdot \cot g \alpha=\left(a+\tfrac{a \cdot \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta}\right) \cdot \cot g \alpha=\tfrac{a}{\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta}\).

Задача 13. На 12.04.1961 г. космическият кораб „Восток“ с космонавта Юрий Гагарин прелетял над Земята на височина \(327 k m\). Колко е било в това време разстоянието от кораба до най-отдалечения видим от него участък от повърхността на Земята? (Радиусът на Земята \({ }^{2)}\) е приблизително 6371 km.)

Решение: от правоъгълния \(\triangle A B O\) следва, че търсеното разстояние е

\[ A B=\sqrt{A O^{2}-B O^{2}}=\sqrt{(6371+327)^{2}-6371^{2}} \approx 2067 \mathrm{~km} \] (черт. 13).

Задачи за самостоятелна работа

Задача 14. Изграждането на Международната космическа станция \({ }^{3)}\) (МКС) започва през 1998 г. Станцията е на ниска околоземна орбита и може да бъде видяна от Земята с невъоръжено око. Височината ѝ варира от \(319,6 \mathrm{~km}\) до \(346,9 \mathrm{~km}\) над земната повърхност. Колко е минималното ѝ максималното разстоянието от МКС до най-отдалечения видим от нея участък от повърхността на Земята? (Радиусът на Земята е приблизително 6371 km. Отг. \(A B_{\text {min }} \approx 2043 \mathrm{~km} ; A B_{\text {max }} \approx 2131 \mathrm{~km}\).)

Задача 15. Арктика \({ }^{4)}\) е северната полярна област на Земята. За южна граница на Арктика се приема Северният полярен кръг (\(\approx 66,6\) северна ширина).

a) Изчислете площта на Арктика (с точност до 1 mln.).

б) Намерете (с точност до 0,1 ) какъв процент от площта на Арктика е максималната площ на ледената ѝ покривка, ако тя е достигнала през март 2017 година 14,4 mln. \(k m^{2}\) по данни на американския NSIDC \({ }^{5}\) ) (Национален център за данни за снега и леда).

в) Каква е била максималната площ на северната полярна шапка от лед преди 30 години, ако знаете, че за изминалия период от време тя е намаляла с около \(11,7 \%\) според данните от спътниците?

Отг. а) \(\approx 21 \mathrm{mln} . \mathrm{km}{ }^{2}\); б) \(\approx 68,6\); в). \(\approx 21 \mathrm{mln} . \mathrm{km}^{2}\).

Разгледаните задачи и подобни на тях подпомагат реализирането на специфичната цел на обучението по математика, а именно: формиране на умения за моделиране на различни ситуации (реални или теоретични), изследване на моделите и интерпретиране на получените резултати, прилагане на математически разсъждения за решаване на проблеми от други предметни области и ежедневието. Чрез практико-приложните задачи изучаваното учебно съдържание съгласно действащите учебни програми се осмисля и усвоява по-задълбочено, изграждат се практически умения, постигат се изискванията за резултатите от обучението по учебния предмет математика, фиксирани в Приложение № 3 към чл. 6, ал. 1, т. 3 от Наредба № 5 от 30.11.2015 г. за общообразователната подготовка и Приложение № 3 към чл. 4, ал. 1, т. 3 от Наредба № 7 от 11.08.2016 г. за профилираната подготовка. По този начин подготовката на учениците за решаване на задачи от формàта на PISA не приключва след VII клас, а продължава и в гимназиален етап с цел постигане на добра фундаментална подготовка, критично мислене и ключови умения за реализация в обществото.

БЕЛЕЖКИ/NOTES

1. Програмата за международно оценяване PISA(The Program for International Student Assessment) на Организацията за икономическо сътрудничество и развитие OECD (Organisation for Economic Co-operation and Development) изследва грамотността на учениците в областите четене, математика и природни науки от 2000 г. през тригодишни периоди.

2. https://bg.wikipedia.org/wiki/Земен_радиус

3. https://bg.wikipedia.org/wiki/Международна_космическа_станция

4. https://bg.wikipedia.org/wiki/Арктика

5. http://nsidc.org/arcticseaicenews/charctic-interactive-sea-ice-graph/

REFERENCES/ЛИТЕРАТУРА

Gusev, V., G. Maslova, Z. Skopets & М. Yagodovski (1976). Didactic materials in Geometry for \(10^{\text {th }}\) grade (pp. 57, 59, 101, 107, 115, 117, 131). Moscow: Prosveshtenie. [Гусев, В., Г. Маслова, З. Скопец & М. Ягодовский (1976). Дидактические материалы по геометрии для X класса (с. 57, 59, 101, 107, 115, 117, 131). Москва: Просвещение.]

Gusev, V. & A. Medyanik (1976). Geometric problems for \(7^{\text {th }}\) grade (p. 41). Moscow: Prosveshtenie. [Гусев, В. & А. Медяник (1986). Задачи по геометрии для VII класса (с. 41). Москва: Просвещение.]

Grozdev, S. (2017). Towards the reader. Mathematics and Informatics, 1,
[Гроздев, С. (2017). Към читателя. Математика и информатика, 1 (7 – 10).]