Резюме. Разгледана е една обща идея за намиране на зависимости между радиусите на допиращи се окръжности в равнината на даден триъгълник. В основата си тази идея съдържа формулата на Ойлер за разстоянието между центровете на описаната и вписаната окръжност на триъгълника и други връзки между радиусите на тези окръжности. Основните резултати са обединени във формулировката и доказателството на съответна лема.

Ключови думи: triangle, circle, circum-circle, in-circle, Sangaku

1. Увод. Много геометрични задачи в равнината на даден триъгълник са свързани с комбинации от окръжности. Такива комбинации често се съдържат в японските теореми „Сангаку“. Някои от тези теореми, публикувани в рубриката „Задачата на броя“ на списание „Математика и информатика“, са следните четири:

Теорема 1. В окръжност \(\Gamma\) е вписан правоъгълен триъгълник. Окръжността \(k_{1}\) с радиус \(r_{1}\) се допира до катетите на триъгълника и вътрешно до \(\Gamma\). Ако вписаната в триъгълника окръжност има радиус \(r\), то е изпълнено равенството \(r_{1}=2 . r\) (фиг. 1) . (Табов, 1990, 1990 а).

Теорема 2. Триъгълник \(A B C(B C \lt B A)\) е вписан в окръжност Γ . Точката \(C^{\prime}\) е от страната \(C A\) и \(B C^{\prime}=B C\). Окръжността \(k_{1}\) с радиус \(r_{1}\) се допира до раменете на \(\Delta B C^{\prime} A\) и вътрешно до \(\Gamma\). Ако вписаната в \(\Delta B C^{\prime} A\) окръжност \(k_{2}\) има радиус \(r_{2}\), то е изпълнено равенството \(r_{1}=2 . r_{2}\) (фиг. 2) . (Табов, 1998), (Михайлов, 1999).

Теорема 3. Окръжността \(\Gamma_{c}\) минава през върховете \(A\) и \(B\) на \(\triangle A B C\) така, че върхът \(C\) да лежи вътре в \(\Gamma_{c}\). Точката \(M\) е средата на \(A B\), а точката \(N\) е средата на дъгата \(A B\). Окръжността \(k^{\prime}\) с радиус \(x\) се допира до страните \(A C\) и \(B C\) на \(\triangle A B C\) и вътрешно до \(\Gamma_{c}\). Ако \(B C=a, C A=b\), \(A B=c, p=\tfrac{a+b+c}{2}, M N=d\), а вписаната в \(\triangle A B C\) окръжност \(k\) има радиус \(r\), то е изпълнено равенството \(x=r+\tfrac{2 d(p-a)(p-b)}{c p}\) (фиг. 3) . (Табов, 1999), (Цеков, 2000).

Теорема 4. Точките \(A, B, C\) и \(D\) лежат в този ред на окръжност \(\Gamma(O, r)\), а \(E\) е пресечната точка на \(A C\) и \(B D\). Окръжността \(k_{1}\left(O_{1}, r_{1}\right)\) е вписана в \(\triangle A B E\), а окръжността \(k_{2}\left(O_{2}, r_{2}\right)\) е вписана в \(\triangle C D E\). Ако окръжността \(k_{3}\left(O_{3}, r_{3}\right)\) се допира до отсечките \(A E\) и \(B E\) и до дъгата \(\overparen{A B}\), а окръжността \(k_{4}\left(O_{4}, r_{4}\right)\) се допира до отсечките \(C E\) и \(D E\) и до дъгата \(\overparen{C D}\) , то е изпълнено равенството \(\cfrac{1}{r_{1}}+\cfrac{1}{r_{4}}=\cfrac{1}{r_{2}}+\cfrac{1}{r_{3}}\) (фиг. 4) . (Табов, 1999 а), (Антонов, 2000).

Ако направим известен анализ на конфигурациите от окръжности, които се съдържат във формулираните японски теореми, ще установим, че във всяка тях участва по една окръжност, която минава през поне два върха на триъгълник, и една окръжност, която се допира поне до две от страните на същия триъгълник. Окръжност, която минава през два върха на \(\triangle A B C\), ще наричаме полуописана за \(\triangle A B C\), а окръжност, която се допира до две от правите \(B C\), \(C A\) и \(A B\), ще наричаме полувписана за \(\triangle A B C\). Всяка от горните теореми се отнася до полувписани и полуописани окръжности и изисква определена изобретателност, за да се открие съответното є доказателство. Оказва се обаче, че съществува обща идея, която може да се използва при доказване на зависимости между радиуси на окръжности от вида, в който присъстват във формулираните теореми „Сангаку“. Тази идея се съдържа в една основна лема, която дава възможност не само да докажем формулираните четири теореми, но и да покажем интересни обобщения на някои от тях. От своя страна, тези обобщения позволяват да се получат други интересни частни случаи.

Преди да формулираме и докажем въпросната лема, ще се уговорим, че за елементите на даден \(\triangle A B C\) ще използваме стандартните означения за неговите елементи, т. е. \(|B C|=a,|C A|=b,|A B|=c, p=\tfrac{a+b+c}{2}, \measuredangle B A C=\alpha\), \(\measuredangle A B C=\beta, \measuredangle A C B=\gamma, R\)– радиус на описаната окръжност, \(r\)– радиус на вписаната окръжност, \(r_{a}, r_{b}, r_{c}\)– радиуси на външновписаните окръжности, допиращи се съответно до страните \(B C, C A, A B\). Освен това центровете на описаната окръжност \(\Gamma\) и на вписаната окръжност \(k\) на \(\triangle A B C\) ще означаваме съответно с \(O\) и \(I\).

2. Основна помощна теорема. Едно общо твърдение, което свързва радиусите на допиращи се полувписани и полуописани окръжности за даден \(\triangle A B C\), ще докажем в следващата лема. Тази лема се намира в основата на всички следващи доказателства и я формулираме по следния начин:

Лема. Окръжност \(\Gamma_{c}\left(\Omega_{c}, R_{c}\right)\) минава през върховете \(A\) и \(B\) на даден триъгълник \(A B C\), описаната окръжност на който има за център точката \(O\). Ако окръжността \(k_{c}\left(O_{c}, \rho_{c}\right)\) се допира до правите \(A C\) и \(B C\) и до \(\Gamma_{c}\left(\Omega_{c}, R_{c}\right)\), Rc ) , то е изпълнено равенството:

\[ \begin{aligned} & \sin \tfrac{\alpha}{2} \sin \tfrac{\beta}{2} \cos ^{2} \tfrac{\gamma}{2} \rho_{c}^{2}- \\ (*) & -\varepsilon^{\prime}\left[\cos \tfrac{\alpha-\beta}{2}\left(r \cos ^{2} \tfrac{\gamma}{2}-\tfrac{1}{2} T\right)+2 \varepsilon^{\prime} \varepsilon^{\prime \prime} R_{c} \sin \tfrac{\alpha}{2} \sin \tfrac{\beta}{2} \sin ^{2} \tfrac{\gamma}{2}\right] \rho_{c}+ \\ & +r \cos \tfrac{\alpha}{2} \cos \tfrac{\beta}{2}(r \cos \gamma-T)=0, \end{aligned} \] където

1) \(T=\varepsilon_{1} \varepsilon_{2} \sqrt{16 R_{c}^{2} \sin ^{2} \tfrac{\alpha}{2} \sin ^{2} \tfrac{\beta}{2} \sin ^{2} \tfrac{\gamma}{2}-r^{2} \sin ^{2} \gamma}\);

2) \(\varepsilon_{1}=1\), когато \(O\) и \(\Omega_{c}\) лежат в една полуравнина спрямо \(A B\) или когато \(O\) лежи на \(A B\), или когато \(\Omega_{c} \equiv O\);

3) \(\varepsilon_{1}=-1\), когато \(O\) и \(\Omega_{c}\) лежат в различни полуравнини спрямо \(A B\);

4) \(\varepsilon_{2}=1\), когато \(\gamma \lt \tfrac{\pi}{2}\) или когато \(\gamma=\tfrac{\pi}{2}\) и \(\Omega_{c}\) и \(C\) са в една и съща полуравнина спрямо \(A B\), или когато \(\Omega_{c} \equiv O\);

5) \(\varepsilon_{2}=-1\), когато \(\gamma \gt \tfrac{\pi}{2}\) или когато \(\gamma=\tfrac{\pi}{2}\) и \(\Omega_{c}\) и С са в различни полуравнини спрямо \(A B\);

6) \(\varepsilon^{\prime}=1\), когато \(k_{c}\) лежи в \(\measuredangle A C B\);

7) \(\varepsilon^{\prime}=-1\), когато \(k_{c}\) лежи в ъгъла, противоположен на \(\measuredangle A C B\);

8) \(\varepsilon^{\prime \prime}=1\), когато \(k_{c}\) се допира външно до \(\Gamma_{c}\);

9) \(\varepsilon^{\prime \prime}=-1\), когато \(k_{c}\) се допира вътрешно до \(\Gamma_{c}\).

Доказателство. Ще използваме означенията от фиг. 5. Когато \(L \equiv M\), т. е. когато \(A C=B C\), разсъжденията са прости, а и твърдението в този случай следва от съображения за непрекъснатост в общия случай, когато \(L \neq M\). Затова по-нататък ще предполагаме, че \(L \neq M\).

Доказателството ще проведем в следната последователност:

1) От правоъгълните триъгълници \(A I L, C I N\) и \(C O_{1} N_{1}\) се получават съответно следващите три равенства:

(1) \(A I=\tfrac{r}{\sin \tfrac{\alpha}{2}}, C I=\tfrac{r}{\sin \tfrac{\gamma}{2}}, C O_{c}=\tfrac{\rho_{c}}{\sin \tfrac{\gamma}{2}}\).

2) От правоъгълните триъгълници \(A M O\) и \(A M \Omega_{c}\) и синусовата теорема за \(\triangle A B C\) получаваме съответно следващите две равенства:

(2) \(O M^{2}=R^{2}-\tfrac{c^{2}}{4}=R^{2} \cos \gamma, \Omega_{c} M^{2}=R_{c}^{2}-\tfrac{c^{2}}{4}=R_{c}^{2}-R^{2} \sin ^{2} \gamma\).

3) Тъй като \(M L=\tfrac{|a-b|}{2}\), от правоъгълния триъгълник \(M I L\) получаваме

(3) \(I M^{2}=\tfrac{(a-b)^{2}}{4}+r^{2}\).

4) Нека \(\Omega_{c} \neq M\) и \(\measuredangle I M \Omega_{c}=\psi\). Ако \(O \neq M\), то \(\measuredangle I M O=\psi\), когато \(O\) и \(\Omega_{c}\) са от една и съща страна на \(M\) или \(\Omega_{c} \equiv O\) и \(\measuredangle I M O=\pi-\psi\), когато \(O\) и \(\Omega_{c}\) са от различни страни на \(M\). От косинусовата теорема за \(\triangle I O M\) имаме \(I O^{2}=I M^{2}+O M^{2}-2 . \varepsilon_{1} . O M . I M . \cos \psi\), където \(\varepsilon_{1}=1\), ако \(\measuredangle I M O=\psi\) и \(\varepsilon_{1}=-1\), ако \(\measuredangle I M O=\pi-\psi\). Сега, след заместване в последното равенство на (3) , на второто равенство от (2) и използване на формулата на Ойлер \(O I^{2}=R^{2}-2 R r\), формулите

(4) \( (p-a)(p-b)=r^{2} c \operatorname{ctg} \tfrac{\alpha}{2} c \operatorname{ctg} \tfrac{\beta}{2}, \) ,

(5) \( r=4 R \sin \tfrac{\alpha}{2} \sin \tfrac{\beta}{2} \sin \tfrac{\gamma}{2} \)

получаваме последователно равенствата:

\(\begin{aligned} & I M \cdot \cos \psi=\varepsilon_{1} \tfrac{O M^{2}+I M^{2}-O I^{2}}{2 . O M}=\varepsilon_{1} \tfrac{-(p-a)(p-b)+r^{2}+2 R r}{2 R|\cos \gamma|}=\varepsilon_{1} \tfrac{-r^{2} \operatorname{ctg} \tfrac{\alpha}{2} \operatorname{ctg} \tfrac{\beta}{2}+r^{2}+2 R r}{2 R|\cos \gamma|}= \\ & =\varepsilon_{1} \tfrac{-r^{2} \sin \tfrac{\gamma}{2}+2 R r \sin \tfrac{\alpha}{2} \sin \tfrac{\beta}{2}}{2 R|\cos \gamma| \sin \tfrac{\alpha}{2} \sin \tfrac{\beta}{2}}=\varepsilon_{1} \tfrac{-r^{2} \sin \tfrac{\gamma}{2}+\tfrac{r^{2}}{2 \sin \tfrac{\gamma}{2}}}{2 R|\cos \gamma| \sin \tfrac{\alpha}{2} \sin \tfrac{\beta}{2}}=\varepsilon_{1} \tfrac{r^{2}\left(1-2 \sin ^{2} \tfrac{\gamma}{2}\right)}{4 R|\cos \gamma| \sin \tfrac{\alpha}{2} \sin \tfrac{\beta}{2} \sin \tfrac{\gamma}{2}}= \\ & =\varepsilon_{1} \tfrac{r^{2} \cos \gamma}{r|\cos \gamma|}=\varepsilon_{1} \varepsilon_{2} r \end{aligned}\)

където \(\varepsilon_{2}=1\), когато \(\gamma \lt \tfrac{\pi}{2}\) и \(\varepsilon_{2}=-1\), когато \(\gamma \gt \tfrac{\pi}{2}\).

Ако \(O \equiv M\), то \(\psi=\tfrac{\pi}{2}-\measuredangle A M I\), когато \(\Omega_{c}\) и \(C\) са в една и съща полуравнина спрямо \(A B\), и \(\psi=\tfrac{\pi}{2}-\measuredangle A M I\), когато \(\Omega_{c}\) и \(C\) са в различни полуравнини спрямо \(A B\).

От синусовата теорема за \(\triangle A M I\) получаваме равенството \(\tfrac{\sin \measuredangle A M I}{A I}=\tfrac{\sin \tfrac{\alpha}{2}}{I M}\), което, комбинирано с първото равенство (1) , води до \(I M \cos \psi=\varepsilon_{2} r\). В този случай полагаме \(\varepsilon_{1}=1\). Така получаваме, че при произволно положение на

\(O\) в равнината на \(\triangle A B C\) е изпълнено равенството

(6) \(I M \cos \psi=\varepsilon_{1} \varepsilon_{2} r\).

5) Ако \(\Omega_{c} \neq M\), то от (3) , (6) , второто равенство от (2) и косинусовата теорема за \(\Delta I \Omega_{c} M\) се получава равенството

(7) \(I \Omega_{c}^{2}=r^{2}+R_{c}^{2}-(p-a)(p-b)-2 \varepsilon_{1} \varepsilon_{2} r \sqrt{R_{c}^{2}-R^{2} \sin ^{2} \gamma}\).

Ако \(\Omega_{c} \equiv M\), то \(R_{c}=\tfrac{c}{2}\) и подкоренната величина в (7) е равна на нула . Освен това от правоъгълния триъгълник \(I L M\) и (3) следва \(I \Omega_{c}{ }^{2}=I M^{2}=I L^{2}+M L^{2}=r^{2}+\tfrac{(a-b)^{2}}{4}\).

От друга страна, \(R_{c}^{2}-(p-a)(p-b)=\tfrac{c^{2}}{4}-(p-a)(p-b)=\tfrac{(a-b)^{2}}{4}\).

Следователно равенството (7) е в сила и когато \(\Omega_{c} \equiv M\). Това означава, че равенството (7) е изпълнено при всички положения на \(\Omega_{c}\) в равнината на \(\triangle A B C\).

6) Нека \(\Omega_{c} \neq M\) и \(\measuredangle C M \Omega_{c}=\vartheta\). Ако \(O \neq M\), то \(\measuredangle C M O=\vartheta\), когато \(O\) и \(\Omega_{c}\) са от една и съща страна на \(M\), или \(\Omega_{c} \equiv O\) и \(\measuredangle C M O=\pi-\vartheta\), когато \(O\) и \(\Omega_{c}\) са от различни страни на \(M\). От косинусовата теорема за \(\triangle C M O\) имаме \(C O^{2}=C M^{2}+O M^{2}-2 . \varepsilon_{1} . O M . C M . \cos \vartheta\), където \(\varepsilon_{1}=1\), ако \(\measuredangle C M O=\vartheta\) и \(\varepsilon_{1}=-1\), ако \(\measuredangle C M O=\pi-\vartheta\). Сега, след заместване в последното равенство на първото равенство от (2) и използване на известните формули

(8) \(\sin ^{2} \alpha+\sin ^{2} \beta-\sin ^{2} \gamma=2 \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma\) ,

(9) \(C M^{2}=\tfrac{1}{4}\left(2 a^{2}+2 b^{2}-c^{2}\right)\),

както в 4) получаваме равенството:

(10) \(C M \cdot \cos \vartheta=2 \varepsilon_{1} \varepsilon_{2} R \sin \alpha \sin \beta\),

където \(\varepsilon_{2}=1\), когато \(\gamma \lt \tfrac{\pi}{2}\) и \(\varepsilon_{2}=-1\), когато \(\gamma \gt \tfrac{\pi}{2}\).

Ако \(O \equiv M\), то \(\vartheta=\tfrac{\pi}{2}-\measuredangle A M C\), когато \(\Omega_{c}\) и \(C\) са в една и съща полуравнина спрямо \(A B\), и \(\vartheta=\tfrac{\pi}{2}-\measuredangle A M C\), когато \(\Omega_{c}\) и \(C\) са в различни по-луравнини спрямо \(A B\). От синусовата теорема за \(\triangle A M C\) получаваме равенството \(\tfrac{\sin \measuredangle A M C}{A C}=\tfrac{\sin \alpha}{C M}\), което, комбинирано със синусовата теорема \(A C=2 R \sin \beta\) за \(\triangle A B C\), води до \(C M \cos \vartheta=2 \varepsilon_{2} R \sin \alpha \sin \beta\). В този случай полагаме \(\varepsilon_{1}=1\) и отново се получава равенството (10). Следователно \((10)\) е изпълнено при произволно положение на \(O\) в равнината на \(\triangle A B C\).

7) Ако \(\Omega_{c} \neq M\), то от (8) , (9) , (10) , второто равенство от (2) , синусовата теорема за \(\triangle A B C\) и косинусовата теорема за \(\Delta C \Omega_{c} M\) се получава равенството

(11) \[ C \Omega_{c}^{2}=R_{c}^{2}+4 R^{2} \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma-4 \varepsilon_{1} \varepsilon_{2} \sin \alpha \sin \beta \sqrt{R_{c}^{2}-R^{2} \sin \gamma} . \]

Ако \(\Omega_{c} \equiv M\), то \(R_{c}=\tfrac{c}{2}\) и подкоренната величина в ( 7) е равна на нула . Освен това от (8) , (9) и синусовата теорема за \(\triangle A B C\) следва \(C \Omega_{c}{ }^{2}=C M^{2}=\tfrac{c^{2}}{4}+\tfrac{1}{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)=R_{c}^{2}+4 R^{2} \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma\). Следователно равенството (11) е в сила и когато \(\Omega_{c} \equiv M\). Трябва да се отбележи и случаят, при който \(\Omega_{c} \equiv C\). Това означава, че равенството (11) е изпълнено при всички положения на \(\Omega_{c}\) в равнината на \(\triangle A B C\).

8) Нека \(\measuredangle I C \Omega_{c}=\varphi\). Тогава \(\measuredangle O_{c} C \Omega_{c}=\varphi\), ако точката \(O_{c}\) лежи в \(\measuredangle A C B\) и \(\measuredangle O_{c} C \Omega_{c}=\pi-\varphi\), ако точката \(O_{c}\) лежи в ъгъла, противоположен на \(\measuredangle A C B\). От косинусовата теорема за триъгълниците \(C I \Omega_{c}\) и \(C O_{1} \Omega_{c}\) се получават съответно равенствата \(I \Omega_{c}{ }^{2}=C I^{2}+C \Omega_{c}{ }^{2}-2 . C I . C \Omega_{c}{ }^{2} . \cos \varphi\) и \(\mathrm{O}_{c} \Omega_{c}{ }^{2}=C O_{1}^{2}+C \Omega_{c}{ }^{2}-2 . \varepsilon^{\prime} . C O_{1} . C \Omega_{c} \cos \varphi\), където \(\varepsilon^{\prime}=1\), ако \(\measuredangle O_{c} C \Omega_{c}=\varphi\) и \(\varepsilon^{\prime}=-1\), ако \(\measuredangle O_{c} C \Omega_{c}=\pi-\varphi\). След елиминиране на \(\cos \varphi\) от последните

равенства получаваме

(12) \(C I . O_{c} \Omega_{c}{ }^{2}-\varepsilon^{\prime} . C O_{c} . I \Omega_{c}{ }^{2}=\left(C \Omega_{c}{ }^{2}-\varepsilon^{\prime} . C O_{c} . C I\right)\left(C I-\varepsilon^{\prime} . C O_{c}\right)\).

9) Разстоянието между \(O_{c}\) и \(\Omega_{c}\) се намира по формулата

(13) \(O_{c} \Omega_{c}=R_{c}+\varepsilon^{\prime \prime} \cdot \rho_{c}\), където \(\varepsilon^{\prime \prime}=1\), когато \(k_{c}\) се допира външно до

\(\Gamma_{c}\), и \(\varepsilon^{\prime \prime}=-1\), когато \(k_{c}\) се допира вътрешно до \(\Gamma_{c}\).

Заместваме (1) , 5 , 7 , 11 и (13) в 12 и след известни преобразувания получаваме равенството

\[ \begin{aligned} & \sin \tfrac{\alpha}{2} \sin \tfrac{\beta}{2} \cos ^{2} \tfrac{\gamma}{2} \rho_{c}^{2}-\varepsilon^{\prime}\left[\cos \tfrac{\alpha-\beta}{2}\left(r \cos ^{2} \tfrac{\gamma}{2}-\tfrac{1}{2} T\right)+2 \varepsilon^{\prime} \varepsilon^{\prime \prime} R_{c} \sin \tfrac{\alpha}{2} \sin \tfrac{\beta}{2} \sin ^{2} \tfrac{\gamma}{2}\right] \rho_{c}+ \\ & +r \cos \tfrac{\alpha}{2} \cos \tfrac{\beta}{2}(r \cos \gamma-T)=0, \\ & \text { където } T=\varepsilon_{1} \varepsilon_{2} \sqrt{16 R_{c}^{2} \sin ^{2} \tfrac{\alpha}{2} \sin ^{2} \tfrac{\beta}{2} \sin ^{2} \tfrac{\gamma}{2}-r^{2} \sin ^{2} \gamma} . \end{aligned} \]

С това лемата е напълно доказана.

3. Полувписани окръжности, допиращи се до описаната окръжност на триъгълника. Общността, която се съдържа във формулировката на лемата, позволява в теорема 1 да заменим правоъгълния триъгълник с произволен. Тогава в лемата имаме \(\Gamma_{c} \equiv \Gamma, \Omega_{c} \equiv O, R_{c}=R, \varepsilon_{1}=\varepsilon^{\prime}=1, \varepsilon^{\prime \prime}=-1\). От (5) получаваме, че \(T=r . \varepsilon_{2} \cdot|\cos \gamma|=r . \cos \gamma\). Сега от лемата след елементарни преобразувания следва равенството \(\sin \tfrac{\alpha}{2} \sin \tfrac{\beta}{2} \cos ^{2} \tfrac{\gamma}{2} \rho_{c}^{2}-\sin \tfrac{\alpha}{2} \sin \tfrac{\beta}{2} \cdot r \rho_{c}=0\). Единственото решение на това уравнение, което има геометричен смисъл, е \(\rho_{c}=\tfrac{r}{\cos ^{2} \tfrac{\gamma}{2}}\). Така получаваме обобщение на теорема 1, което е съдържанието на следната

Теорема 5. Ако \(A B C\) е произволен триъгълник, а окръжността \(k_{c}\) с радиус \(\rho_{c}\) се допира до страните \(A C\) и \(B C\) и вътрешно до описаната около \(\triangle A B C\) окръжност \(\Gamma\), то е изпълнено равенството \(\rho_{c}=\tfrac{r}{\cos ^{2} \tfrac{\gamma}{2}}\) (фиг. 6) . (Нен ков, 1991).

Ако в теорема 5 заменим вътрешнодопиращата се до \(\Gamma\) окръжност \(k_{c}\left(O_{c}, \rho_{c}\right)\) с външнодопираща се окръжност \(k_{c}^{\prime}\left(O_{c}^{\prime}, \rho_{c}^{\prime}\right)\), в лемата имаме \(\Gamma_{c} \equiv \Gamma, R_{c}=R, \varepsilon_{1}=\varepsilon^{\prime}=\varepsilon^{\prime \prime}=1\). От (5 ) отново получаваме, че \(T=r . \varepsilon_{2} .|\cos \gamma|=r . \cos \gamma\) Сега от лемата след елементарни преобразувания следва равенството \(\sin \tfrac{\alpha}{2} \sin \tfrac{\beta}{2} \cos ^{2} \tfrac{\gamma}{2} \rho_{c}^{\prime 2}-\cos \tfrac{\alpha}{2} \cos \tfrac{\beta}{2} \cdot r \rho_{c}^{\prime}=0\). Като вземем предвид, че е изпълнено равенството \(r_{c}=r . \operatorname{ctg} \tfrac{\alpha}{2} \operatorname{ctg} \tfrac{\beta}{2}\), получаваме \(\cos ^{2} \tfrac{\gamma}{2} \rho_{c}^{\prime 2}-r_{c} \cdot \rho_{c}^{\prime}=0\). Единственото решение на това уравнение, което има геометричен смисъл, \(\mathrm{e}^{\rho_{c}^{\prime}}=\tfrac{r_{c}}{\cos ^{2} \tfrac{\gamma}{2}}\). Така получаваме и следната

Теорема 6. Ако \(ABC\) е произволен триъгълник, а окръжността \(k_{c}^{\prime}\) с радиус \(\rho_{c}^{\prime}\) се допира до раменете на \(\measuredangle A C B\) и външно до описаната около ΔABC окръжност Γ , то е изпълнено равенството \(=\tfrac{r_{c}}{\cos ^{2} \tfrac{\gamma}{2}}\) (фиг. 7) . (Ненков, 1991) .

От теорема 6 при \(\gamma=\tfrac{\pi}{2}\) и \(\gamma=\tfrac{\pi}{3}\) се получават съответно равенствата \(\rho_{c}^{\prime}=2 . r_{c}\) и \(\rho_{c}^{\prime}=\tfrac{4}{3} r_{c}\). Първото от тези равенства е аналог на теорема 1.

4. Полувписани окръжности, породени от върхови секущи на триъгълника. Втората японска теорема се отнася до окръжност, която е по-лувписана в \(\Delta B C^{\prime} A\), който, от своя страна, е част от дадения \(\triangle A B C\). Допълнението на \(\triangle B C^{\prime} A\) до \(\triangle A B C\) е равнобедреният триъгълник \(C C^{\prime} B\), за който \(\measuredangle B C C^{\prime}=\pi-2 \gamma\). Тук можем да разгледаме по-общия случай, в който \(\measuredangle B C C^{\prime}=\omega\) и \(0 \leq \omega \lt \beta\). Тогава ъглите на \(\triangle B C^{\prime} A\) са \(\measuredangle C^{\prime} A B=\alpha\), \(\measuredangle A C C^{\prime}=\beta-\omega\) и \(\measuredangle B C^{\prime} C=\gamma+\omega\).

Означаваме вписаната в \(\Delta B C^{\prime} A\) окръжност с \(k(\omega)\), а нейния радиус с \(\rho(\omega)\). Разглеждаме окръжностите \(k_{c}(\omega)\) и \(k_{c}^{\prime}(\omega)\), допиращи се съответно вътрешно и външно до \(\Gamma\) и до раменете на \(\measuredangle A C^{\prime} B\) (фиг. 8, 9). Радиусите на \(k_{c}(\omega)\) и \(k_{c}^{\prime}(\omega)\) означаваме съответно с \(\rho_{c}(\omega)\) и \(\rho_{c}^{\prime}(\omega)\).

От синусовата теоремаза \(\Delta B C^{\prime} A\) се получаватравенствата \(C^{\prime} A=\tfrac{\sin (\beta-\omega)}{\sin (\gamma+\omega)} . c\), \(B C^{\prime}=\tfrac{\sin \alpha}{\sin (\gamma+\omega)} . c\). Освен това от синусовата теорема за \(\triangle A B C\) имаме \(c=2 R \sin \gamma\). От тези три равенства за полупериметъра \(p^{\prime}=\tfrac{B C^{\prime}+C^{\prime} A+A B}{2}\) на \(\triangle B C^{\prime} A\) намираме \(p^{\prime}=2 R \tfrac{\cos \tfrac{\alpha}{2} \cos \tfrac{\beta-\omega}{2} \sin \gamma}{\sin \tfrac{\gamma+\omega}{2}}\). От друга страна, от геометрията на триъгълника е известно, че за \(p^{\prime}\) е изпълнено равенството \(p^{\prime}=\rho(\omega) \operatorname{ctg} \tfrac{\alpha}{2} \operatorname{ctg} \tfrac{\beta-\omega}{2} \operatorname{ctg} \tfrac{\gamma+\omega}{2}\). Сега от последните две равенства получаваме

(14) \[ R=\tfrac{\rho(\omega) \cdot \cos \tfrac{\gamma+\omega}{2}}{2 \sin \gamma \sin \tfrac{\alpha}{2} \sin \tfrac{\beta-\gamma}{2}} \]

Прилагаме лемата за \(\Delta BC'A\) при \(\Gamma_{c} \equiv \Gamma, \Omega_{c} \equiv O, R_{c}=R, r=\rho(\omega)\). От (5) и(14) получаваме, че \(T=\varepsilon_{1} . \varepsilon_{2} . \rho(\omega) \sin (\gamma+\omega)|\operatorname{ctg} \gamma|=\rho(\omega) \sin (\gamma+\omega) \operatorname{ctg} \gamma\). Разглеждаме случаите за окръжностите \(k_{c}(\omega)\) и \(k_{c}^{\prime}(\omega)\) едновременно. Затова с \(t\) ще означаваме общо радиусите на тези окръжности. Сега заместваме в (*) и след елементарни преобразувания получаваме квадратното относно \(t\) уравнение

(15) \[ \begin{aligned} & \sin \tfrac{\beta-\omega}{2} \sin \tfrac{\alpha}{2} \sin \gamma \cos ^{2} \tfrac{\gamma+\omega}{2} t^{2}- \\ & -\varepsilon^{\prime} \cos \tfrac{\gamma+\omega}{2}\left(\cos \tfrac{\beta-\alpha-\omega}{2} \cdot \sin \tfrac{\gamma-\omega}{2}+\varepsilon^{\prime} \varepsilon^{\prime \prime} \sin ^{2} \tfrac{\gamma+\omega}{2}\right) \rho(\omega) t- \\ & -\cos \tfrac{\beta-\omega}{2} \cos \tfrac{\alpha}{2} \sin \omega \rho(\omega)=0 \end{aligned} \]

Сега да отбележим, че са изпълнени следните равенства:

(16) \(\begin{aligned} & \cos \tfrac{\beta-\alpha-\omega}{2} \cdot \sin \tfrac{\gamma-\omega}{2}-\sin ^{2} \tfrac{\gamma+\omega}{2}= \\ & =2 \cdot\left(\sin \tfrac{\beta-\omega}{2} \sin \tfrac{\alpha}{2} \sin \tfrac{\gamma}{2} \cos \tfrac{\omega}{2}-\cos \tfrac{\beta-\omega}{2} \cos \tfrac{\alpha}{2} \sin \tfrac{\omega}{2} \cos \tfrac{\gamma}{2}\right) \\ \end{aligned}\) ,

(17) \(\begin{aligned} & \cos \tfrac{\beta-\alpha-\omega}{2} \cdot \sin \tfrac{\gamma-\omega}{2}-\sin ^{2} \tfrac{\gamma+\omega}{2}= \\ & =2 \cdot\left(\cos \tfrac{\beta-\omega}{2} \cos \tfrac{\alpha}{2} \sin \tfrac{\gamma}{2} \cos \tfrac{\omega}{2}-\sin \tfrac{\beta-\omega}{2} \sin \tfrac{\alpha}{2} \sin \tfrac{\omega}{2} \cos \tfrac{\gamma}{2}\right) \end{aligned}\)

За окръжността \(k_{c}(\omega)\) имаме \(\varepsilon^{\prime}=1, \varepsilon^{\prime \prime}=-1\) и \(t=\rho_{c}(\omega)\). Като вземем предвид равенството (16) , установяваме, че единственото решение на уравнението (15) , което има геометричен смисъл, е \(\rho_{c}(\omega)=\tfrac{\rho(\omega) \cos \tfrac{\omega}{2}}{\cos \tfrac{\gamma}{2} \cos \tfrac{\gamma+\omega}{2}}\). Така по-лучаваме обобщение на теорема 1, което е съдържанието на следната

Теорема 7. Точката \(C^{\prime}\) от страната \(C A\) на \(\triangle A B C\) е такава, че \(\measuredangle C B C^{\prime}=\omega \quad(0 \leq \omega \lt \beta)\). Окръжността \(k_{c}(\omega)\) с радиус \(\rho_{c}(\omega)\) се допира до раменете на \(\measuredangle B C^{\prime} A\) и вътрешно до описаната около \(\triangle A B C\) окръжност \(\Gamma\). Ако радиусът на вписаната в \(\triangle A B C^{\prime}\) окръжност е \(\rho(\omega)\), то е изпълнено равенството \(\rho_{c}(\omega)=\tfrac{\rho(ω) \cos \tfrac{\omega}{2}}{\cos \tfrac{\gamma}{2} \cos \tfrac{\gamma+ω}{2}}\) (фиг. 8) .

За окръжността \(k_{c}^{\prime}(\omega)\) имаме \(\varepsilon^{\prime}=1, \varepsilon^{\prime \prime}=1\) и \(t=\rho_{c}^{\prime}(\omega)\). Като вземем предвид равенството (17) , установяваме, че единственото решение на уравнението (15) , което има геометричен смисъл е

\[ \rho_{c}^{\prime}(\omega)=\tfrac{\rho(\omega) \operatorname{ctg} \tfrac{\alpha}{2} \operatorname{ctg} \tfrac{\beta-\omega}{2} \cos \tfrac{\omega}{2}}{\cos \tfrac{\gamma}{2} \cos \tfrac{\gamma+\omega}{2}} \]

Ако радиусът на външновписаната за \(\Delta A B C^{\prime}\) окръжност, която се допира до страната му \(A B\), е \(\bar{\rho}(\omega)\), то от геометрията на триъгълника е известно, че \(\bar{\rho}(\omega)=\rho(\omega) \operatorname{ctg} \tfrac{\alpha}{2} \operatorname{ctg} \tfrac{\beta-\omega}{2}\). Така получаваме следната

Теорема 8. Точката \(C^{\prime}\) от страната \(C A\) на \(\triangle A B C\) е такава, че \(\measuredangle C B C^{\prime}=\omega \quad(0 \leq \omega \lt \beta)\). Окръжността \(k_{c}^{\prime}(\omega)\) с радиус \(\rho_{c}^{\prime}(\omega)\) се допира до раменете на \(\measuredangle B C^{\prime} A\) и външно до описаната около \(\triangle A B C\) окръжност Γ . Ако радиусът на външновписаната за \(\triangle A B C^{\prime}\) окръжност, която се допира до страната му \(A B\), е \(\bar{\rho}(\omega)\), то е изпълнено равенството \(\rho_{c}^{\prime}(\omega)=\tfrac{\bar{\rho}(\omega) \cos \tfrac{\omega}{2}}{\cos \tfrac{\gamma}{2} \cos \tfrac{\gamma+\omega}{2}}\) (фиг. 9) .

Сега теорема 2 лесно се получава като частен случай на теорема 7 при \(\omega=\pi-2 \gamma\). Интересно е обаче да се отбележи, че има друг случай, в който \(\Delta C C^{\prime} B\) е равнобедрен. Това се случва, когато \(C C^{\prime}=B C^{\prime}\), т. е. когато \(\measuredangle C B C^{\prime}=\omega=\gamma\). В този случай от теорема 7 получаваме следното

Следствие 1. Ако \(C^{\prime}\) е такава точка от страната \(C A\), че \(B C^{\prime}=B C\), то \(\rho_{c}(\omega)=\tfrac{\rho(\omega)}{\cos \gamma}\). Аналогично от теорема 8 се получават аналози на теорема 2 и следствие 1, които формулираме по следния начин.

Следствие 2. Ако \(C^{\prime}\) е такава точка от страната \(C A\), че \(B C^{\prime}=B C\), то \(\rho_{c}^{\prime}(\omega)=2 \bar{\rho}(\omega)\).

Следствие 3. Ако \(C^{\prime}\) е такава точка от страната \(C A\), че \(C C^{\prime}=B C^{\prime}\), mo \(\rho_{c}^{\prime}(\omega)=\tfrac{\bar{\rho}(\omega)}{\cos \gamma}\).

Освен формулираните следствия трябва да се отбележи, че теореми 5 и 6 се получават като частни случаи съответно на теореми 7 и 8 при \(\omega=0\).

5. Няколко връзки между допиращи се полуописани и полувписани окръжности. Като се вземе предвид особеното положение на върха \(C\) в теорема 4, тя може се включи в един от случаите на основната лема. Това ни дава основание да обобщим теорема 4 и за останалите случаи, които не присъстват в нейната формулировка. Обобщението на Сангаку теоремата изглежда по следния начин:

Теорема 9. Окръжността \(\Gamma_{c}\) минава през върховете \(A\) и \(B\) на \(\triangle A B C\) така, че върхът \(C\) да лежи вътрев \(\Gamma_{c}\). Точката \(M\) е средата на \(\measuredangle A B\), а точката \(N\) е средата на дъгата \(\overparen{A B}\), като \(M N=d\). Тогава

а) ако окръжността \(k^{\prime}\) с радиус \(x\) се допира до раменете на ACB \(u\) вътрешно до \(\Gamma_{c}\), то \(x=r+\tfrac{2 d(p-a)(p-b)}{c p}\) (фиг. 3) ;

б) ако окръжността \(k^{\prime \prime}\) с радиус \(y\) се допира до раменете на \(\measuredangle A C B\) и външно до \(\Gamma_{c}\), то \(y=r_{c}+\tfrac{2 d(p-a)(p-b)}{c(p-c)}\) (фиг. 10) ;

в) ако окръжността \(k_{1}\) с радиус \(u\) се допира до раменете на ъгъла, противоположен на \(\measuredangle A C B, u\) вътрешно до \(\Gamma_{c}\), то \(u=-r+\tfrac{c(p-a)(p-b)}{2 d p}\) ( фиг. 11) ;

г) ако окръжността \(k_{2}\) с радиус \(v\) се допира до раменете на ъгъла, противоположен на \(\measuredangle A C B\), и външно до \(\Gamma_{c}\), то \(v=-r_{c}+\tfrac{c(p-a)(p-b)}{2 d(p-c)}\) ( фиг. 12) .

От метричната зависимост между пресичащи се хорди в окръжност, приложена за диаметъра през \(M\) и хордата \(A B\) в окръжността \(\Gamma_{c}\), се получава равенството

\(R_{c}=\tfrac{c^{2}+4 d^{2}}{8 d}\) (фиг. 3).

Оттук и синусовата теорема за \(\triangle A B C\) следва \(R_{c}=\tfrac{R \sin ^{2} \gamma+d^{2}}{2 d}\).

Сега за израза \(T\) в лемата намираме

\[ T=\tfrac{\varepsilon_{1} \varepsilon_{2}\left|R^{2} \sin \gamma-d^{2}\right| r}{2 R d}=\tfrac{\left(R^{2} \sin \gamma-d^{2}\right) r}{2 R d} . \]

Ще използваме \(t\) като общо означение за радиусите \(x\) и \(v\) на окръжностите \(k^{\prime}\) и \(k_{2}\). Заместваме намерените изрази за \(R_{c}, T\) и \(\varepsilon^{\prime} . \varepsilon^{\prime \prime}=-1\) в \((*)\) и след елементарни преобразувания получаваме квадратното относно \(t\) уравнение

\(\begin{aligned} &2 R d \sin \tfrac{\alpha}{2} \sin \tfrac{\beta}{2} \cos ^{2} \tfrac{\gamma}{2} t^{2}-\\ & -\varepsilon^{\prime} . r .\left[d \sin \tfrac{\alpha}{2} \sin \tfrac{\beta}{2}\left(d+2 R \cos ^{2} \tfrac{\gamma}{2}\right)+2 R \cos \tfrac{\alpha}{2} \cos \tfrac{\beta}{2} \cos ^{2} \tfrac{\gamma}{2}\left(d-2 R \sin ^{2} \tfrac{\gamma}{2}\right)\right] t+ \\ & +r^{2} \cos \tfrac{\alpha}{2} \cos \tfrac{\beta}{2}\left(d+2 R \cos ^{2} \tfrac{\gamma}{2}\right)\left(d-2 R \sin ^{2} \tfrac{\gamma}{2}\right)=0 . \end{aligned}\) Решенията на това уравнение са следните: \(t_{1}=\varepsilon^{\prime}\left(r+\tfrac{r d}{2 R \cos ^{2} \tfrac{\alpha}{2}}\right)\) и \(t_{2}=\varepsilon^{\prime} \cfrac{r}{d} \operatorname{ctg} \cfrac{\alpha}{2} \operatorname{ctg} \cfrac{\beta}{2}\left(d-2 R \sin ^{2} \cfrac{\gamma}{2}\right)=\varepsilon^{\prime} \cfrac{r_{c}}{d}\left(d-2 R \sin ^{2} \cfrac{\gamma}{2}\right)\) (тъй като \(r \cdot \operatorname{ctg} \cfrac{\alpha}{2} \operatorname{ctg} \cfrac{\beta}{2}=r_{c}\) ).

Ако \(N^{\prime}\) е средата на дъгата \(\overparen{A B}\) от описаната за \(\triangle A B C\) окрьжност \(\Gamma\), то \(d^{\prime}=M N^{\prime} \gt M N=d\) и \(d^{\prime}=\tfrac{c}{2} \operatorname{tg} \tfrac{\gamma}{2}\left(C\right.\) лежи в \(\left.\Gamma_{c}\right)\). Тогава \(d-2 R \sin ^{2} \tfrac{\gamma}{2}=d-d^{\prime} \lt 0\). Когато \(\varepsilon^{\prime}=1\), получаваме, че \(t_{1} \gt 0\) и \(t_{2} \lt 0\). Следователно вътрешнодопиращата се до \(\Gamma_{c}\) окръжност \(k^{\prime}\) има радиус \(x=t_{1}\). Като вземем предвид формулите на Ойлер, изразяващи тригонометричните функции на ъглите на \(\triangle A B C\) чрез страните му, и равенството (5) , получаваме \(x=r+\tfrac{2 d(p-a)(p-b)}{c p}\). Когато \(\varepsilon^{\prime}=-1\), получаваме, че \(t_{1} \lt 0\) и \(t_{2} \gt 0\). Следователно външнодопиращата се до \(\Gamma_{c}\) окръжност \(k_{2}\) има радиус \(y=t_{2}\). Както в предишния случай получаваме \(v=-r_{c}+\tfrac{c(p-a)(p-b)}{2 d(p-c)}\). Така доказахме твърдения а) и г) на теорема 9.

Нека сега \(z\) е общо означение за радиусите \(y\) и \(u\) на окръжностите \(k^{\prime \prime}\) и \(k_{1}\). Заместваме изразите за \(R_{c}, T\) и \(\varepsilon^{\prime} . \varepsilon^{\prime \prime}=1\) в \((*)\) и след елементарни преобразувания получаваме квадратното относно \(z\) уравнение

Корените на това уравнение са следните

\(z_{1}=\varepsilon^{\prime}\left(r-\cfrac{r R \sin ^{2} \tfrac{\gamma}{2}}{2 d}\right)\) и \(z_{2}=\varepsilon^{\prime} r \cdot \operatorname{ctg} \cfrac{\alpha}{2} \operatorname{ctg} \cfrac{\beta}{2}\left(1+\cfrac{d}{2 R \cos ^{2} \tfrac{\gamma}{2}}\right)=\varepsilon^{\prime}\left(r_{c}+\cfrac{d r \operatorname{ctg} \tfrac{\alpha}{2} \operatorname{ctg} \tfrac{\beta}{2}}{2 R \cos ^{2} \tfrac{\gamma}{2}}\right)\) .

Както в предишния случай намираме, че ако \(\varepsilon^{\prime}=-1\), то \(u=z_{1}=-r+\tfrac{c(p-a)(p-b)}{2 d p}\), а при \(\varepsilon^{\prime}=1\) имаме \(y=z_{2}=r_{c}+\tfrac{2 d(p-a)(p-b)}{c(p-c)}\).

С това теорема 9 е напълно доказана, като нейното твърдение а) съвпада с теорема 3.

6. Доказателство на теорема 4. Сега, като използваме основно съдържанието на две от твърденията на теорема 9, ще покажем едно доказателство на Сангаку твърдението, формулирано в началото като теоремата 4.

Пресечната точка на хордите \(A C\) и \(B D\) означаваме с \(E\) (фиг. 3). Нека \(p_{a b}\) и \(p_{c d}\) са полупериметрите съответно на триъгълниците \(A B E\) и \(C D E\). Освен това с \(d_{a b}\) означаваме разстоянието между средата на по-малката дъга \(\overparen{A B}\) и средата на отсечката \(A B\), а с \(d_{c d}\)– разстоянието между средата на по-малката дъга \(\overparen{C D}\) и средата на отсечката \(C D\).

От твърдения а) и в) на теорема 9, приложени към \(\triangle A B E\), следват съответно равенствата: \(r_{3}=r_{1}+\tfrac{2 \cdot d\left(p_{a b}-|B E|\right)\left(p_{a b}-|A E|\right)}{c \cdot p_{a b}}\) и \(r_{4}=-r_{1}+\tfrac{c \cdot\left(p_{a b}-|B E|\right)\left(p_{a b}-|A E|\right)}{2 \cdot d \cdot p_{a b}}\). Оттук получаваме, че е изпълнено следното равенство:

(18) \[ \left(r_{3}-r_{1}\right)\left(r_{4}+r_{1}\right)=\left(p_{a b}-|B E|\right)^{2}\left(p_{a b}-|A E|\right)^{2} . \]

Тъй като \(\quad \triangle C D E \sim \triangle B A E, \quad\) то \(\quad \tfrac{|C E|}{|B E|}=\tfrac{|D E|}{|A E|}=\tfrac{|C D|}{|A B|}=\tfrac{p_{c d}}{p_{a b}}=\tfrac{r_{2}}{r_{1}}\). Сега твърдения а) и в) на теорема 9, приложени към \(\Delta C D E\), водят съответно до равенствата:

\[ \begin{aligned} & r_{3}=-r_{2}+\tfrac{|C D|\left(p_{c d}-|C E|\right)\left(p_{c d}-|D E|\right)}{2 d^{\prime} p_{c d}}=-r_{2}+\tfrac{r_{2}^{2}\left(p_{a b}-|A E|\right)\left(p_{a b}-|B E|\right)}{r_{1}^{2} d^{\prime} p_{a b}} \\ & r_{4}=r_{2}+\tfrac{2 d^{\prime}\left(p_{c d}-|C E|\right)\left(p_{c d}-|D E|\right)}{|C D| p_{c d}}=r_{2}+\tfrac{d^{\prime} r_{2}^{2}\left(p_{a b}-|A E|\right)\left(p_{a b}-|B E|\right)}{2 r_{1}^{2} p_{a b}} \end{aligned} \]

От последните две равенства получаваме следната зависимост:

(19) \[ \left(r_{4}-r_{2}\right)\left(r_{3}+r_{2}\right)=\tfrac{r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}}\left(p_{a b}-|B E|\right)^{2}\left(p_{a b}-|A E|\right)^{2} \]

След почленно деление на (19) и (18) се получава \(r_{1}^{2}\left(r_{4}-r_{2}\right)\left(r_{3}+r_{2}\right)=r_{2}^{2}\left(r_{4}+r_{1}\right)\left(r_{3}-r_{1}\right)\). След известни преобразувания на последното равенство получаваме \(\tfrac{1}{r_{1}}+\tfrac{1}{r_{4}}=\tfrac{1}{r_{2}}+\tfrac{1}{r_{3}}\).

С това теорема 4 е доказана с помощта на теорема 9.

7. Полувписани окръжности, допиращи се до Ойлеровата окръжност на триъгълника. Сега ще разгледаме едно твърдение, което е в стила на теоремите Сангаку. В него основната лема се прилага три пъти. Това твърдение се формулира по следния начин.

Теорема 10. Ако всяка от трите окръжности \(k_{a}\left(\rho_{a}\right), k_{b}\left(\rho_{b}\right), k_{c}\left(\rho_{c}\right)\) се допира до две от страните на \(\triangle A B C\) и външно до Ойлеровата му окръжност (фиг. 13) , то е изпълнено равенството:

(20) \(\sqrt{\left(r-2 \rho_{b}\right)\left(r-2 \rho_{c}\right)}+\sqrt{\left(r-2 \rho_{c}\right)\left(r-2 \rho_{a}\right)}+\sqrt{\left(r-2 \rho_{a}\right)\left(r-2 \rho_{b}\right)}=r .\)

Нека точките \(A_{1}, B_{1}\) и \(C_{1}\) са средите съответно на страните \(B C, C A\) и \(A B\) (фиг. 13), а \(k_{c}\left(\rho_{c}\right)\) се допира до страните \(A C\) и \(B C\). Прилагаме лемата за \(\Delta A_{1} B_{1} C\), Ойлеровата окръжност на \(\triangle A B C\) и \(k_{c}\left(\rho_{c}\right)\). Тъй като \(\Delta A_{1} B_{1} C\) е хомотетичен на \(\triangle A B C\) с коефициент на хомотетия \(-\tfrac{1}{2}\), то в лемата заместваме \(\alpha\), \(\beta, \gamma, R_{c}\) и \(r\) съответнос \(\alpha, \beta, \gamma, \tfrac{R}{2}\) и \(\tfrac{r}{2}\). Освентова, тъй като \(\gamma \lt \tfrac{\pi}{2}\) и \(k_{c}\left(\rho_{c}\right)\) се допира до Ойлеровата окръжност на \(\triangle A B C\), то \(\varepsilon_{1}=-1, \varepsilon_{2}=\varepsilon^{\prime}=\varepsilon^{\prime \prime}=1\). Сега от равенството (*) след известни преобразувания получаваме

\[ 2 \sin \tfrac{\alpha}{2} \sin \tfrac{\beta}{2} \cos ^{2} \tfrac{\gamma}{2} \rho_{c}^{2}-\left(2 \cos \tfrac{\alpha}{2} \cos \tfrac{\beta}{2} \cos ^{2} \tfrac{\gamma}{2}+\sin \tfrac{\alpha}{2} \sin \tfrac{\beta}{2} \cos \gamma\right) r \rho_{c}+r^{2} \cos \tfrac{\alpha}{2} \cos \tfrac{\beta}{2} \cos \gamma=0 \] В това равенство заместваме \(r=r_{c} \cdot \operatorname{tg} \tfrac{\alpha}{2} \operatorname{tg} \tfrac{\beta}{2}\) и го преобразуваме до следното равенство: \[ 2 \cos \tfrac{\alpha}{2} \cos \tfrac{\beta}{2} \cos ^{2} \tfrac{\gamma}{2} \rho_{c}^{2}-\left(2 \cos \tfrac{\alpha}{2} \cos \tfrac{\beta}{2} \cos ^{2} \tfrac{\gamma}{2}+\sin \tfrac{\alpha}{2} \sin \tfrac{\beta}{2} \cos \gamma\right) r_{c} \rho_{c}+r_{c}^{2} \sin \tfrac{\alpha}{2} \sin \tfrac{\beta}{2} \cos \gamma=0 \]

Последното равенство, разглеждано като уравнение относно \(\rho_{c}\), има следните решения: \(\rho_{c}^{\prime}=r_{c}\) и \(\rho_{c}^{\prime \prime}=\tfrac{r_{c} \operatorname{tg} \tfrac{\alpha}{2} \operatorname{tg} \tfrac{\beta}{2} \cos \gamma}{2 \cos ^{2} \tfrac{\gamma}{2}}=\tfrac{\cos \gamma}{2 \cos ^{2} \tfrac{\gamma}{2}}\). .

Следователно съществуват две окрьжности \(k^{\prime 2}\left(\rho_{c}^{\prime}\right)\) и \(k_{c}^{\prime \prime}\left(\rho_{c}^{\prime \prime}\right)\), допиращи се до раменете на \(\measuredangle A C B\) и външно до Ойлеровата окръжност на \(\triangle A B C\).

Тъй като \(\rho_{c}^{\prime}=r_{c}\), то \(k^{\prime}\left(\rho_{c}^{\prime}\right)\) е външновписана окръжност за \(\triangle A B C\), която се допира до продълженията на страните \(A C\) и \(B C\). Следователно \(k_{c}\left(\rho_{c}\right) \neq k_{c}^{\prime}\left(\rho_{c}^{\prime}\right)\). (Току-що показахме, че външновписаната окрьжност \(\triangle A B C\), допираща се до страната му \(A B\), се допира до Ойлеровата окръжност на \(\triangle A B C\). По същия начин при \(\varepsilon^{\prime \prime}=-1\) се показва, че вписаната в \(\triangle A B C\) окръжност също се допира до Ойлеровата окръжност на \(\triangle A B C\). Така получаваме още едно доказателство на известната теорема на Фойербах, която твърди, че вписаната и външновписаните окръжности на даден триъгълник се допират до Ойлеровата окръжност на \(\triangle A B C\).)

От друга страна, тъй като \(\tfrac{\cos \gamma}{\cos ^{2} \tfrac{\gamma}{2}}=1-\operatorname{tg}^{2} \tfrac{\gamma}{2}=\tfrac{2 \rho_{c}^{\prime \prime}}{r}\), то \(2 \rho_{c}^{\prime \prime} \lt r\), т. е. \(k_{c}^{\prime \prime}\left(\rho_{c}^{\prime \prime}\right)\) сe съдържа в криволинейния триъгълник, образуван от страните \(A C\) и \(B C\) и вписаната окръжност \(k(r)\). Следователно \(k_{c}\left(\rho_{c}\right) \equiv k_{c}^{\prime \prime}\left(\rho_{c}^{\prime \prime}\right)\) и \(\rho_{c} \equiv \rho_{c}^{\prime \prime}\), т. е. \(\rho_{c}=\tfrac{\cos \gamma}{2 \cos ^{2} \tfrac{\gamma}{2}} . r\). . (Ако \(\gamma \gt \tfrac{\gamma}{2}\) и \(k_{c}\left(\rho_{c}\right)\) е окръжността, допираща се до раменете на ъгъла, противоположен на \(\measuredangle A C B\) и вътрешно до Ойлеровата окръжност на \(\triangle A B C\), то по същия начин се показва, че \(\rho_{c}=-\tfrac{\cos \gamma}{2 \cos ^{2} \tfrac{\gamma}{2}} . r\).)

Сега от израза за \(\rho_{c}\) получаваме \(\operatorname{tg}^{2} \tfrac{\gamma}{2}=\tfrac{r-2 \rho_{c}}{r}\).

Ако \(k_{a}\left(\rho_{a}\right)\) се допира до страните \(C A\) и \(B A\), а \(k_{b}\left(\rho_{b}\right)\) се допира до страните \(A B\) и \(C B\), то по аналогичен начин се получават равенствата \(\operatorname{tg}^{2} \tfrac{\alpha}{2}=\tfrac{r-2 \rho_{a}}{r}, \operatorname{tg}^{2} \tfrac{\beta}{2}=\tfrac{r-2 \rho_{b}}{r}\).

Сега, като използваме равенството \(\operatorname{tg} \tfrac{\alpha}{2} \operatorname{tg} \tfrac{\beta}{2}+\operatorname{tg} \tfrac{\beta}{2} \operatorname{tg} \tfrac{\gamma}{2}+\operatorname{tg} \tfrac{\gamma}{2} \operatorname{tg} \tfrac{\alpha}{2}=1\), по-лучаваме

\[ \sqrt{\left(r-2 \rho_{b}\right)\left(r-2 \rho_{c}\right)}+\sqrt{\left(r-2 \rho_{c}\right)\left(r-2 \rho_{a}\right)}+\sqrt{\left(r-2 \rho_{a}\right)\left(r-2 \rho_{b}\right)}=r . \]

8. Полуописани окръжности, допиращи се до вписаната окръжност на триъгълника. Сега ще покажем как се получават някои зависимости между радиуси на допиращи се окръжности с частично използване на лемата. Поточно, като използваме част от доказателството є, ще покажем, че е в сила следната

Теорема 11. Ако окръжност \(\Gamma_{c}\) с радиус \(R_{c}\) минава през върховете \(A\) \(u\) в на \(\triangle A B C\) и B на ΔABC и се допира до вписаната окръжност \(k(r)\) ( фиг. 14) , то е изпълнено равенството

\[ R_{c}=\tfrac{r\left(\cos ^{2} \tfrac{\alpha}{2} \cos ^{2} \tfrac{\beta}{2}+\cos ^{2} \tfrac{\gamma}{2}\right)}{\sin \alpha \cdot \sin \beta} \]

От пункт 5) е известно, че разстоянието между центровете \(I\) и \(\Omega_{c}\) на окръжностите \(k(r)\) и \(\Gamma_{c}\left(\Omega_{c}\right)\) се намира чрез равенството (7) . Тъй като \(k(r)\) се допира вътрешнодо \(\Gamma_{c}\left(\Omega_{c}\right)\), тоеизпълненоравенството \(\left|I \Omega_{c}\right|=R_{c}-r\). Сегаот (7) следва \(\left(R_{c}-r\right)^{2}=r^{2}+R_{c}^{2}-(p-a)(p-b)-2 \varepsilon_{1} \varepsilon_{2} r \sqrt{R_{c}^{2}-R^{2} \sin ^{2} \gamma}\), което е еквивалентно с равенството \(2 r \cdot R_{c}-(p-a)(p-b)=2 \varepsilon_{1} \varepsilon_{2} r \sqrt{R_{c}^{2}-R^{2} \sin ^{2} \gamma}\). След използване на (4) последното се преобразува в \(2 r \cdot R_{c}-r \operatorname{ctg} \tfrac{\alpha}{2} \operatorname{ctg} \tfrac{\beta}{2}=2 \varepsilon_{1} \varepsilon_{2} r \sqrt{R_{c}^{2}-R^{2} \sin ^{2} \gamma}\). След повдигане в квадрат на двете страни на това равенство и извършване на някои преобразувания получаваме \(R_{c}=\cfrac{r\left( \cos^{2}\cfrac{\alpha}{2}\cos^{2}\cfrac{\beta}{2} + \cos^{2}\cfrac{\gamma}{2}\right)}{sin\alpha .\sin \beta }\) . С това теорема 11 е доказана.

По аналогичен начин се получава и следната

Теорема 12. Ако окръжност \(\Gamma_{c}^{\prime}\) с радиус \(R_{c}^{\prime}\) минава през върховете \(A\) и B на \(\triangle A B C\) и се допира до външновписаната окръжност \(k_{c}\left(r_{c}\right)\) ( фиг. 15) , то е изпълнено равенството

\[ R_{c}^{\prime}=\tfrac{r_{c}\left(\sin ^{2} \tfrac{\alpha}{2} \sin ^{2} \tfrac{\beta}{2}+\cos ^{2} \tfrac{\gamma}{2}\right)}{\sin \alpha \cdot \sin \beta} . \] 9. Заключение. С разгледаните теореми показахме един общ подход за доказване на твърдения, които са подобни на тези теореми. Разбира се, разгледаните теореми могат да се докажат и по други начини. Няколко доказателства на теорема 1 се съдържат в (Табов, 1990а), а доказателства на теореми 2, 3 и 4, различни от приведените по-горе, се съдържат съответно в (Михайлов, 1999), Цеков, 2000) и (Антонов, 2000).

Тъй като лемата описва всички случаи, в които могат да попаднат разглежданите окръжности, нейната формулировка изглежда много сложна. Но в конкретна ситуация може да се приложи само онази нейна част, която е подходяща за случая. Основното е, че в лемата е разработена една обща идея за доказване на определен вид задачи. Също така, както е показано в теореми 11 и 12, могат да се използват елементи от доказателството на лемата при решаването на някои задачи.

ЛИТЕРАТУРА

Антонов, А. (2000). Мозайка от два триъгълника и пет окръжности. Математика и информатика, (4) , 75 – 78.

Михайлов, Б. (1999). Решение на задачата от кн. 2, 1998. Математика и информатика, (2) , 79.

Ненков, В. (1991). Отношение на радиусите на две окръжности. Обучението по математика и информатика, (1) , 63 – 64.

Табов, Й. (1990). Задачата на броя. Обучението по математика и информатика, (1) .

Табов, Й. (1990 а). Общ коментар на решенията на задачата от брой 1, 1990 г. Обучението по математика и информатика, (1) , 61 – 62.

Табов, Й. (1998). Задачата на броя. Математика и информатика, (2) .

Табов, Й. (1999). Задачата на броя. Математика и информатика, (3).

Табов, Й. (1999 а). Задачата на броя. Математика и информатика, (4) .

Цеков, В. (2000). За задачата на брой 3, 1999. Математика и информатика, (2 – 3), 108 – 109.

Grozdev, S., V . Nenkov (2010). T wo Remarkable Points of the Triangle Geometry. Research and Education in Mathematics, Informatics and their Applications (REMIA 2010), Proceedings of the Anniversary International Conference Dedicated to the 40-th Anniversary of the Faculty of Mathematics and Informatics, Plovdiv University , 10 – 12 December, 2010, Plovdiv, 349 – 354.

REFERENCE

Antonov, A. (2000). Mozayka ot dva triagalnika i pet okrazhnosti. Matematika i informatika, (4). 75 – 78.

Mihaylov, B. (1999). Reshenie na zadachata ot kn. 2, 1998. Matematika i informatika, (2). 79.

Nenkov, V. (1991). Otnoshenie na radiusite na dve okrazhnosti. Obuchenieto po matematika i informatika, (1), 63 – 64.

Tabov, Y. (1990). Zadachata na broya. Obuchenieto po matematika i informatika, (1).

Tabov, Y. (1990 a). Obsht komentar na resheniyata na zadachata ot broy 1, 1990 g. Obuchenieto po matematika i informatika, (1), 61 – 62.

Tabov, Y. (1998). Zadachata na broya. Matematika i informatika (2).

Tabov, Y. (1999). Zadachata na broya. Matematika i informatika (3).

Tabov, Y. (1999 a). Zadachata na broya. Matematika i informatika (4).

Tsekov, V. (2000). Za zadachata na broy 3, 1999. Matematika i informatika, (2 – 3), 108 – 109.

Grozdev, S., V . Nenkov (2010). T wo Remarkable Points of the Triangle Geometry. Research and Education in Mathematics, Informatics and their Applications (REMIA 2010), Proceedings of the Anniversary International Conference Dedicated to the 40-th Anniversary of the Faculty of Mathematics and Informatics, Plovdiv University, 10-12 December, 2010, Plovdiv, 349 – 354.