Резюме. Статията е посветена на обобщения на задачата: \(B\) е точка от отсечката \(A C\), а \(X\) и \(Y\) са точки, лежащи в една и съща полуравнина относно страната \(A C\) на триъгълник \(A B C\), така че триъгълниците \(A B X\) и \(B C Y\) са равностранни. Да се докаже или опровергае равенството \(A Y=C X\).

Ключови думи: triangle; co-ordinate system; curve of second degree; polarity

В (Rosillo, 2018) е поставена следната задача: \(B\) е точка от отсечката \(A C\), а \(X\) и \(Y\) са точки, лежащи в една и съща полуравнина относно страната \(A C\) на \(\triangle A B C\), така че триъгълниците \(A B X\) и \(B C Y\) са равностранни. Да се докаже или опровергае равенството \(A Y=C X\).

В цитираното съобщение е потвърдено равенството, като с помощта на Derive 6.10 е изведено равенството \(A Y=C X=\sqrt{(b-a)^{2}+a b}\), където \(A(0 ; 0), B(a ; 0)\) и \(C(b ; 0)\) в съответната координатна система. Кореспондентът отбелязва, че твърдението остава в сила, когато \(B\) е произволна точка от правата \(A C\). Анализът на различните аспекти в условието на тази задача по-казва разнообразни възможности за нейното обобщаване в различни посоки. Тук ще разгледаме две идеи за обобщения. Освен това ще потърсим геометричните места на някои точки, които са естествено свързани с разглежданите геометрични конфигурации.

1. Множество от точки върху постоянна права, определящи равно отдалечени върхове от неподвижните върхове на равнобедрени триъгълници. Едно естествено обобщение на горната задача трябва да се очаква, ако заменим равностранните триъгълници \(A B X\) и \(B C Y\) с равнобедрени. Освен това вместо по \(A C\) можем да оставим точката \(B\) да се движи по права \(l\), успоредна на \(A C\). Така стигаме до формулировката на следната:

Задача 1. Нека \(A, B\) и \(C\) са три произволни точки в равнината. Отсечките \(A B\) и \(B C\) са основи на равнобедрени триъгълници \(A B X\) и \(B C Y\) с ъгли при основите съответно a и \(\beta\). Ако точката \(B\) се движи по права \(l\), успоредна на \(A C\), да се определи множеството на точките \(B\), при които е изпълнено равенството \(A Y=C X\).

За да решим тази задача, разглеждаме Декартова координатна система \(A x y\) с абсцисна ос по правата \(A C\), спрямо която \(A(0,0), B(b, d)\) и \(C(c, 0)\). Означаваме с \(k_{A B}, k_{C B}, k_{A X}\) и \(k_{C Y}\) ъгловите коефициенти съответно на правите \(A B, C B, A X\) и \(C Y\). Известно е, че ъгълът \(\varphi\) между две прави с ъглови коефициенти \(k_{1}\) и \(k_{2}\) се определя чрез формулата \(\operatorname{tg} \varphi=\cfrac{k_{2}-k_{1}}{k_{1} k_{2}+1}\). Тьй като \(k_{A B}=\cfrac{b}{d}\) и \(k_{C B}=\cfrac{b-c}{d}\), от тази формула се получават \(k_{A X}=\cfrac{b \operatorname{tg} \alpha+d}{b-d \operatorname{tg} \alpha}\) и \(k_{C Y}=\cfrac{(c-b) \operatorname{tg} \beta+b}{b-c+d \operatorname{tg} \beta}\). С помощта на ъгловите коефициенти намираме уравненията на правите \(A X\) и \(C Y\) във вида:

\[ A X: y=\cfrac{b \operatorname{tg} \alpha+d}{b-d \operatorname{tg} \alpha} \cdot x, C Y: y=\cfrac{(c-b) \operatorname{tg} \beta+d}{b-c+d \operatorname{tg} \beta} \cdot x-\cfrac{(c-b) \operatorname{tg} \beta+d}{b-c+d \operatorname{tg} \beta} \cdot c . \]

Освен това уравненията на симетралите \(s_{A B}\) и \(s_{C B}\) съответно на отсечките \(A B\) и \(C B\) са следните:

\[ s_{A B}: 2 b x+2 d y-b^{2}-d^{2}=0, s_{C B}: 2(b-c) x+2 d y-b^{2}+c^{2}-d^{2}=0 \]

От последните четири уравнения получаваме координатите на \(X\) и \(Y\)

(1)\(X\left(\cfrac{b-d \operatorname{tg} \alpha}{2}, \cfrac{b \operatorname{tg} \alpha+d}{2}\right), Y\left(\cfrac{b+c+d \operatorname{tg} \beta}{2}, \cfrac{(c-b) \operatorname{tg} \beta+d}{2}\right)\).

За пълното изследване на поставената задача е необходимо да разгледаме и точките \(X^{\prime}\) и \(Y^{\prime}\), които са симетрични съответно на \(X\) и \(Y\) спрямо \(A B\) и \(C B\). От \((1)\) лесно се вижда, че техните координати са следните:

(2)\(X^{\prime}\left(\cfrac{b+d \operatorname{tg} \alpha}{2}, \cfrac{d-b \operatorname{tg} \alpha}{2}\right), Y^{\prime}\left(\cfrac{b+c-d \operatorname{tg} \beta}{2}, \cfrac{d-(c-b) \operatorname{tg} \beta}{2}\right)\).

От координатите \((1)\) и \((2)\) на точките \(X, Y, X^{\prime}\) и \(Y^{\prime}\) следват равенствата:

\[ \begin{gathered} C X^{2}=\cfrac{\left(1+\operatorname{tg}^{2} \alpha\right)\left(b^{2}+d^{2}\right)+4 c(c-b+d \operatorname{tg} \alpha)}{4} \\ A Y^{2}=\cfrac{\left(1+\operatorname{tg}^{2} \beta\right)\left(b^{2}+d^{2}\right)+c\left[\left(1+\operatorname{tg}^{2} \beta\right) c+2\left(1-\operatorname{tg}^{2} \beta\right) b+4 d \operatorname{tg} \beta\right]}{4} \end{gathered} \]

\[ \begin{gathered} C X^{\prime 2}=\cfrac{\left(1+\operatorname{tg}^{2} \alpha\right)\left(b^{2}+d^{2}\right)-4 c(c-b+d \operatorname{tg} \alpha)}{4} \\ A Y^{\prime 2}=\cfrac{\left(1+\operatorname{tg}^{2} \beta\right)\left(b^{2}+d^{2}\right)+c\left[\left(1+\operatorname{tg}^{2} \beta\right) c-2\left(1-\operatorname{tg}^{2} \beta\right) b-4 d \operatorname{tg} \beta\right]}{4} \end{gathered} \]

От горното следва, че равенствата \(A Y=C X, A Y^{\prime}=C X^{\prime}, A Y^{\prime}=C X\) и \(A Y=C X^{\prime}\) са еквивалентни съответно със следващите равенства:

(3)\(\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha-\operatorname{tg}^{2} \beta\right) b^{2}-2\left(3-\operatorname{tg}^{2} \beta\right) c \cdot b+\left(3-\operatorname{tg}^{2} \beta\right) c^{2}+\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha-\operatorname{tg}^{2} \beta\right) d^{2}+2(\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta) c d=0\),

(4)\(\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha-\operatorname{tg}^{2} \beta\right) b^{2}-2\left(3-\operatorname{tg}^{2} \beta\right) c \cdot b+\left(3-\operatorname{tg}^{2} \beta\right) c^{2}+\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha-\operatorname{tg}^{2} \beta\right) d^{2}-2(\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta) c d=0\),

(5)\(\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha-\operatorname{tg}^{2} \beta\right) b^{2}-2\left(3-\operatorname{tg}^{2} \beta\right) c \cdot b+\left(3-\operatorname{tg}^{2} \beta\right) c^{2}+\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha-\operatorname{tg}^{2} \beta\right) d^{2}+2(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta) c d=0\),

(6)\(\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha-\operatorname{tg}^{2} \beta\right) b^{2}-2\left(3-\operatorname{tg}^{2} \beta\right) c \cdot b+\left(3-\operatorname{tg}^{2} \beta\right) c^{2}+\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha-\operatorname{tg}^{2} \beta\right) d^{2}-2(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta) c d=0\).

Изследванията върху тези квадратни уравнения относно \(b\) водят до следните резултати.

1) Равенствата (3) и (4) се превръщат в тъждества тогава и само тогава, когато \(\alpha=\beta=60^{\circ}\). Затова равенствата \(A Y=C X\) и \(A Y^{\prime}=C X^{\prime}\) са изпълнени за всяка точка \(B\) от правата \(l\) тогава и само тогава, когато триъгълниците \(A B X, B C Y, A B X^{\prime}\) и \(B C Y^{\prime}\) са равностранни (фиг. 1).

Равенствата (5) и (6) се превръщат в тъждества тогава и само тогава, когато \(\alpha=\beta=60^{\circ}\) и \(d=0\). Затова равенствата \(A Y^{\prime}=C X\) и \(A Y=C X^{\prime}\) са изпълнени за всяка точка \(B\) от правата \(l\) тогава и само тогава, когато триъгълниците \(A B X, B C Y, A B X^{\prime}\) и \(B C Y^{\prime}\) са равностранни и \(l \equiv A C\) (фиг. 2).

Четирите равенства \(A Y=C X, A Y^{\prime}=C X^{\prime}, A Y^{\prime}=C X\) и \(A Y=C X^{\prime}\) са изпълнени едновременно за всяка точка от правата \(l\) тогава и само тогава, когато триъгълниците \(A B X, B C Y, A B X^{\prime}\) и \(B C Y^{\prime}\) са равностранни и \(l \equiv A C\) (фиг. 2). Този извод дава отговор на първоначално поставената задача, получаваща се при \(l \equiv A C\).

2) Нека \(\beta=\alpha \neq 60^{\circ}\). Равенствата (3) и (4) определят едно линейно уравнение спрямо \(b\) с единствен корен \(b_{0}=\cfrac{c}{2}\). Това означава, че когато \(B\) е пресечната точка \(B_{0}\) на правата \(l\) и симетралата на отсечката \(A C\), са изпълнени равенствата \(A Y=C X\) и \(A Y^{\prime}=C X^{\prime}\) (фиг. 3).

Равенствата (5) и (6) определят линейни уравнения спрямо \(b\), корените на които са съответно \(b_{0}^{\prime}=\cfrac{\left(3-\operatorname{tg}^{2} \alpha\right) c+8 d \operatorname{tg} \alpha}{2\left(3-\operatorname{tg}^{2} \alpha\right)}\) и \(b_{0}^{\prime \prime}=\cfrac{\left(3-\operatorname{tg}^{2} \alpha\right) c-8 d \operatorname{tg} \alpha}{2\left(3-\operatorname{tg}^{2} \alpha\right)}\). Тези корени съответстват на положенията \(B_{0}^{\prime}\) и \(B_{0}^{\prime \prime}\) на точката \(B\), при които са изпълнени съответно равенствата \(A Y^{\prime}=C X\) и \(A Y=C X^{\prime}\) (фиг. 3). Точките \(B_{0}^{\prime}\) и \(B_{0}^{\prime \prime}\) съвпадат точно когато \(d=0\), т.е. когато \(l \equiv A C\) (фиг. 4).

От извършените наблюдения стигаме до извода, че когато \(l \equiv A C\) и \(B\) е средата \(B_{0}\) на отсечката \(A C\), равенствата \(A Y=C X, A Y^{\prime}=C X^{\prime}, A Y^{\prime}=C X\) и \(A Y=C X^{\prime}\) са изпълнени едновременно. В този случай имаме \(B_{0}^{\prime} \equiv B_{0}^{\prime \prime} \equiv B_{0}\) (фиг. 4).

3) Нека \(\alpha \neq \beta\). В този случай квадратните относно \(b\) уравнения (3), (4), \((5)\) и (6) имат съответно следващите двойки корени

\[ \begin{aligned} & b_{1}=\cfrac{\left(3-\operatorname{tg}^{2} \beta\right) c+\sqrt{D_{1}}}{\operatorname{tg}^{2} \alpha-\operatorname{tg}^{2} \beta}, b_{2}=\cfrac{\left(3-\operatorname{tg}^{2} \beta\right) c-\sqrt{D_{1}}}{\operatorname{tg}^{2} \alpha-\operatorname{tg}^{2} \beta} \\ & b^{\prime}=\cfrac{\left(3-\operatorname{tg}^{2} \beta\right) c+\sqrt{D_{2}}}{\operatorname{tg}^{2} \alpha-\operatorname{tg}^{2} \beta}, b^{\prime \prime}=\cfrac{\left(3-\operatorname{tg}^{2} \beta\right) c-\sqrt{D_{2}}}{\operatorname{tg}^{2} \alpha-\operatorname{tg}^{2} \beta} \\ & b_{y}^{\prime}=\cfrac{\left(3-\operatorname{tg}^{2} \beta\right) c+\sqrt{D_{3}}}{\operatorname{tg}^{2} \alpha-\operatorname{tg}^{2} \beta}, b_{y}^{\prime \prime}=\cfrac{\left(3-\operatorname{tg}^{2} \beta\right) c-\sqrt{D_{3}}}{\operatorname{tg}^{2} \alpha-\operatorname{tg}^{2} \beta} \\ & b_{x}^{\prime}=\cfrac{\left(3-\operatorname{tg}^{2} \beta\right) c+\sqrt{D_{4}}}{\operatorname{tg}^{2} \alpha-\operatorname{tg}^{2} \beta}, b_{x}^{\prime \prime}=\cfrac{\left(3-\operatorname{tg}^{2} \beta\right) c-\sqrt{D_{4}}}{\operatorname{tg}^{2} \alpha-\operatorname{tg}^{2} \beta} \end{aligned} \] където

\(D_{1}=\left(3-\operatorname{tg}^{2} \alpha\right)\left(3-\operatorname{tg}^{2} \beta\right) c^{2}-4(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)(\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta)^{2} c d-\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha-\operatorname{tg}^{2} \beta\right)^{2} d^{2}\),

\(D_{2}=\left(3-\operatorname{tg}^{2} \alpha\right)\left(3-\operatorname{tg}^{2} \beta\right) c^{2}+4(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)(\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta)^{2} c d-\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha-\operatorname{tg}^{2} \beta\right)^{2} d^{2}\),

\(D_{3}=\left(3-\operatorname{tg}^{2} \alpha\right)\left(3-\operatorname{tg}^{2} \beta\right) c^{2}-4(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)^{2}(\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta) c d-\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha-\operatorname{tg}^{2} \beta\right)^{2} d^{2}\),

\(D_{4}=\left(3-\operatorname{tg}^{2} \alpha\right)\left(3-\operatorname{tg}^{2} \beta\right) c^{2}+4(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)^{2}(\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta) c d-\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha-\operatorname{tg}^{2} \beta\right)^{2} d^{2}\).

Тези двойки корени съответстват на двойките положения ( \(\left.B_{1}, B_{2}\right),\left(B^{\prime}, B^{\prime \prime}\right)\), \(\left(B_{1}^{\prime}, B_{2}^{\prime}\right)\) и \(\left(B_{1}^{\prime \prime}, B_{2}^{\prime \prime}\right)\) на точката \(B\), при които са изпълнени съответно равенствата \(A Y=C X, A Y^{\prime}=C X^{\prime}, A Y^{\prime}=C X\) и \(A Y=C X^{\prime}\) (фиг. 5). В зависимост от стойностите на ъллите \(\alpha, \beta\) и разстоянието \(d\) между правите \(l\) и \(A C\) някои от двойките точки може да не съществуват. Разбира се, някои от точките, принадлежащи на някоя от горните двойки точки, може да съвпадат. По-нататък да предположим, че \(\alpha \gt 60^{\circ}\) и \(\beta \lt 60^{\circ}\). Тогава при \(d \gt 0\) са изпълнени неравенствата \(D_{1} \lt 0\) и \(D_{3} \lt 0\), а при \(d \lt 0\) - неравенствата \(D_{2} \lt 0\) и \(D_{4} \lt 0\). Следователно при \(\alpha \gt 60^{\circ}\) и \(\beta \lt 60^{\circ}\) (или \(\alpha \lt 60^{\circ}\) и \(\beta \gt 60^{\circ}\) ) съществуват най-много две от споменатите двойки точки.

В специалния случай, когато \(d=0\), т.е. \(l \equiv A C\), уравненията (3), (4), (5) и (6) съвпадат с \(\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha-\operatorname{tg}^{2} \beta\right) \cdot b^{2}-2\left(3-\operatorname{tg}^{2} \beta\right) c \cdot b+\left(3-\operatorname{tg}^{2} \beta\right) c^{2}=0\). Затова двойките точки ( \(B^{\prime}, B^{\prime \prime}\) ), ( \(B_{1}^{\prime}, B_{2}^{\prime}\) ) и ( \(B_{1}^{\prime \prime}, B_{2}^{\prime \prime}\) ) съвпадат с двойката \(\left(B_{1}, B_{2}\right)\) (фиг. 6). Корените на последното уравнение се изразяват с равенствата

(7)\(b_{1}=\cfrac{3-\operatorname{tg}^{2} \beta+\sqrt{\left(3-\operatorname{tg}^{2} \alpha\right)\left(3-\operatorname{tg}^{2} \beta\right)}}{\operatorname{tg}^{2} \alpha-\operatorname{tg}^{2} \beta} . c, b_{2}=\cfrac{3-\operatorname{tg}^{2} \beta-\sqrt{\left(3-\operatorname{tg}^{2} \alpha\right)\left(3-\operatorname{tg}^{2} \beta\right)}}{\operatorname{tg}^{2} \alpha-\operatorname{tg}^{2} \beta} . c\).

Тези корени са реални тогава и само тогава, когато \(\left(3-\operatorname{tg}^{2} \alpha\right)\left(3-\operatorname{tg}^{2} \beta\right) \geq 0\). Равенство се достига, когато \(\alpha=60^{\circ}\) и \(\beta \neq 60^{\circ}\) или \(\beta=60^{\circ}\) и \(\alpha \neq 60^{\circ}\). В тези случаи \(b_{1}=b_{2}\) и точката \(B\) съвпада съответно с \(C\) или \(A\).

Строгото неравенство \(\left(3-\operatorname{tg}^{2} \alpha\right)\left(3-\operatorname{tg}^{2} \beta\right) \gt 0\) е изпълнено при \(\alpha, \beta \in\left(0^{\circ}, 60^{\circ}\right)\) или при \(\alpha, \beta \in\left(60^{\circ}, 90^{\circ}\right)\) (фиг. 6). В тези случаи има две различни точки \(B_{1}\) и \(B_{2}\) със свойството да са изпълнени едновременно равенствата \(A Y=C X, A Y^{\prime}=C X^{\prime}, A Y^{\prime}=C X\) и \(A Y=C X^{\prime}\). Когато единият от ъглите принадлежи на интервала ( \(0^{\circ}, 60^{\circ}\) ), а другият - на ( \(60^{\circ}, 90^{\circ}\) ), не съществуват точки \(B\), за които е изпълнено което и да е от равенствата \(A Y=C X, A Y^{\prime}=C X^{\prime}, A Y^{\prime}=C X\) и \(A Y=C X^{\prime}\).

От извършените изследвания относно решенията на задача 1 стигаме до следните изводи.

(i) Ако \(\alpha=\beta=60^{\circ}\), всяка точка \(B\) от правата \(l\) е решение на задача 1 (фиг. 1, 2);

(ii) Ако \(\beta=\alpha \neq 60^{\circ}\), съществуват най-много три положения на точката \(B\) върху правата \(l\), които са решения на задача 1 (фиг. 3);

(iii) Ако \(\beta=\alpha \neq 60^{\circ}\) и \(l \equiv A C\), съществува само едно положение на точката \(B\) върху правата \(l\), което е решение на задача 1 (фиг.4);

(iv) Ако \(\alpha \neq \beta\), съществуват най-много осем положения на точката \(B\) върху правата \(l\), които са решения на задача 1 (фиг. 5);

(v) Ако \(\alpha \neq \beta\) и \(l \equiv A C\), съществуват точно две положения на точката \(B\) върху правата \(l\), които са решения на задача 1 (фиг. 6).

2. Четири криви от втора степен. Освен разстоянията, определени от точките върху правите \(A Y, B X, A Y^{\prime}\) и \(C X^{\prime}\), е интересно да се намерят геометричните места на техните пресечни точки, когато \(B\) описва правата \(l\). Затова въвеждаме означенията \(P=A Y \cap C X, P^{\prime}=A Y^{\prime} \cap C X^{\prime}, P_{y}^{\prime}=A Y^{\prime} \cap C X\), \(P_{x}^{\prime}=A Y \cap C X^{\prime}\). Сега си поставяме задачата за определяне на геометричните места, които описват точките \(P, P^{\prime}, P_{y}^{\prime}\) и \(P_{x}^{\prime}\), , когато \(B\) описва \(l\).

Първоначално определяме уравненията на правите \(A Y, C X, A Y^{\prime}\) и \(C X^{\prime}\) във вида

\[ \begin{gathered} A Y:[(c-b) \cdot \operatorname{tg} \beta+d] x-(c+b+d \cdot \operatorname{tg} \beta) y=0, \\ C X:(b \cdot \operatorname{tg} \alpha+d) x+(2 c-b+d \cdot \operatorname{tg} \alpha) y-(b \cdot \operatorname{tg} \alpha+d) c=0, \\ A Y^{\prime}:[(b-c) \cdot \operatorname{tg} \beta+d] x-(c+b-d \cdot \operatorname{tg} \beta) y=0, \\ C X^{\prime}:(b \cdot \operatorname{tg} \alpha-d) x-(2 c-b-d \cdot \operatorname{tg} \alpha) y-(b \cdot \operatorname{tg} \alpha-d) c=0 . \end{gathered} \]

Оттук намираме координатите на пресечните им точки \(P, P^{\prime}, P_{y}^{\prime}\) и \(P_{x}^{\prime}\) :

\[ \begin{aligned} & P\left(\cfrac{c(b \cdot \operatorname{tg} \alpha+d)(b+c+d \cdot \operatorname{tg} \beta)}{p}, \cfrac{c(b \cdot \operatorname{tg} \alpha+d)[(c-b) \operatorname{tg} \beta+d]}{p}\right), \\ & P^{\prime}\left(\cfrac{c(b \cdot \operatorname{tg} \alpha-d)(b+c-d \cdot \operatorname{tg} \beta)}{p^{\prime}}, \cfrac{c(b \cdot \operatorname{tg} \alpha-d)[(b-c) \operatorname{tg} \beta+d]}{p^{\prime}}\right), \\ & P_{y}^{\prime}\left(\cfrac{c(b \cdot \operatorname{tg} \alpha+d)(b+c-d \cdot \operatorname{tg} \beta)}{p_{y}^{\prime}}, \cfrac{c(b \cdot \operatorname{tg} \alpha+d)[(b-c) \operatorname{tg} \beta+d]}{p_{y}^{\prime}}\right), \\ & P_{x}^{\prime}\left(\cfrac{c(b \cdot \operatorname{tg} \alpha-d)(b+c+d \cdot \operatorname{tg} \beta)}{p_{x}^{\prime}}, \cfrac{c(b \cdot \operatorname{tg} \alpha-d)[(b-c) \operatorname{tg} \beta-d]}{p_{x}^{\prime}}\right), \end{aligned} \] където

\[ \begin{aligned} & p=(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)\left(b^{2}+d^{2}\right)+2 c^{2} \operatorname{tg} \beta+c b(\operatorname{tg} \alpha-3 \operatorname{tg} \beta)+c d(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta+3), \\ & p^{\prime}=(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)\left(b^{2}+d^{2}\right)+2 c^{2} \operatorname{tg} \beta+c b(\operatorname{tg} \alpha-3 \operatorname{tg} \beta)-c d(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta+3), \\ & p_{y}^{\prime}=(\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta)\left(b^{2}+d^{2}\right)-2 c^{2} \operatorname{tg} \beta+c b(\operatorname{tg} \alpha+3 \operatorname{tg} \beta)-c d(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-3), \\ & p_{x}^{\prime}=(\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta)\left(b^{2}+d^{2}\right)-2 c^{2} \operatorname{tg} \beta+c b(\operatorname{tg} \alpha+3 \operatorname{tg} \beta)+c d(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-3) . \end{aligned} \] От уравненията на правите \(A Y\) и \(C X\) следват съответно равенствата \(b=\cfrac{(c \cdot \operatorname{tg} \beta+d) x-(c+d \cdot \operatorname{tg} \beta)}{\operatorname{tg} \beta \cdot x+y}\) и \(b=\cfrac{d \cdot x+(2 c+d \cdot \operatorname{tg} \alpha) y-c d}{-\operatorname{tg} \alpha \cdot x+y+c \cdot \operatorname{tg} \alpha}\). След приравняване на двете стойности на \(b\) и извършване на известни преобразувания получаваме, че координатите \((x, y)\) на \(P\) удовлетворяват уравнението \[ \begin{aligned} k: & {[c \cdot \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta+d(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)] x^{2}-c(\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta) x y+[3 c+d(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)] y^{2}-} \\ & -c[c \cdot \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta+d(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)] x+c[c \cdot \operatorname{tg} \alpha+d(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-1)] y=0, \end{aligned} \]

По аналогичен начин се получава, че координатите на точките \(P^{\prime}, P_{y}^{\prime}\) и \(P_{x}^{\prime}\) удовлетворяват съответно уравненията:

\[ \begin{aligned} k^{\prime}: & {[c \cdot \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-d(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)] x^{2}+c(\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta) x y+[3 c-d(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)] y^{2}+} \\ & +c[c \cdot \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-d(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)] x-c[c \cdot \operatorname{tg} \alpha-d(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-1)] y=0, \\ k_{y}^{\prime}: & {[c \cdot \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-d(\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta)] x^{2}+c(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta) x y-[3 c-d(\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta)] y^{2}-} \\ & -c[c \cdot \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-d(\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta)] x-c[c \cdot \operatorname{tg} \alpha-d(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta+1)] y=0, \\ k_{x}^{\prime}: & {[c \cdot \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta+d(\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta)] x^{2}-c(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta) x y-[3 c-d(\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta)] y^{2}-} \\ & -c[c \cdot \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta+d(\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta)] x+c[c \cdot \operatorname{tg} \alpha+d(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta+1)] y=0 . \end{aligned} \]

Лесно се забелязва, че намерените уравнения се удовлетворяват от точките \(A(0,0)\) и \(C(c, 0)\). Следователно точките \(P, P^{\prime}, P_{y}^{\prime}\) и \(P_{x}^{\prime}\) описват криви от втора степен, минаващи през точките \(A\) и \(C\).

Любопитно е да се разбере кога тези криви са окръжности. Една крива от втора степен е окръжност тогава и само тогава, когато в общото Ӝ уравнение коефициентът пред \(x y\) е нула, а коефициентите пред \(x^{2}\) и \(y^{2}\) са равни. За кривите \(k\) и \(k^{\prime}\) тези условия са изпълнени, когато са в сила равенствата \(\operatorname{tg} \alpha=\operatorname{tg} \beta\) и \(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta=3\). Следователно \(k\) и \(k^{\prime}\) са окръжности тогава и само тогава, когато \(\alpha=\beta=60^{\circ}\), т.е. когато триъгълниците \(A B X\) и \(C B Y\) са равностранни. В уравненията на \(k_{y}^{\prime}\) и \(k_{x}^{\prime}\) коефициентьт \(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta\) пред \(x y\) не се анулира. Затова тези криви не могат да са окръжности. В случай че \(\beta=\alpha\), кривите \(k_{y}^{\prime}\) и \(k_{x}^{\prime}\) са хиперболи. Тези криви са хиперболи и при \(\alpha \neq \beta\) и \(l \equiv A C\) (фиг. 4, 6).

3. Полярно свойство. Беше отбелязано, че двойките точки (\(B^{\prime}, B^{\prime \prime}\) ) , \(\left(B_{1}^{\prime}, B_{2}^{\prime}\right)\) и (\(B_{1}^{\prime \prime}, B_{2}^{\prime \prime}\) ) съвпадат с (\(B_{1}, B_{2}\) ) тогава и само тогава, когато \(l \equiv A C\). Оказва се, че в този случай точките \(B_{1}\) и \(B_{2}\) притежават още забележителни свойства, които са свързани с кривите \(k, k^{\prime}, k_{y}^{\prime}\) и \(k_{x}^{\prime}\). Тези свойства са определени от полярността спрямо всяка от кривите \(k, k^{\prime}, k_{y}^{\prime}\) и \(k_{x}^{\prime}\). Полярата на произволна точка \(\bar{M}(\bar{x}, \bar{y})\) спрямо кривата

(8)\[ a_{11} x^{2}+2 a_{12} x y+a_{22} y^{2}+2 a_{13} x+2 a_{23} y+a_{33}=0 \]

се изразява с уравнението:

\[ \left(a_{11} \bar{x}+a_{12} \bar{y}+a_{13}\right) x+\left(a_{21} \bar{x}+a_{22} \bar{y}+a_{23}\right) y+\left(a_{31} \bar{x}+a_{32} \bar{y}+a_{33}\right)=0 . \]

Нека \(l \equiv A C\), правите \(\pi_{1}, \pi^{\prime}, \pi_{y}^{\prime}, \pi_{x}^{\prime}\) са полярите на \(B_{1}\), а правите \(\pi_{2}\), \(\pi^{\prime \prime}, \pi_{y}^{\prime \prime}, \pi_{x}^{\prime \prime}\) са полярите на \(B_{2}\) съответно спрямо \(k, k^{\prime}, k_{y}^{\prime}\) и \(k_{x}^{\prime}\). От последното уравнение и (7) намираме уравненията на полярите \(\pi_{1}, \pi_{2}, \pi^{\prime}, \pi^{\prime \prime}, \pi_{y}^{\prime}\), \(\pi_{y}^{\prime \prime}, \pi_{x}^{\prime}, \pi_{x}^{\prime \prime}\) :

\[ \begin{aligned} & \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta\left[\operatorname{tg}^{2} \alpha+\operatorname{tg}^{2} \beta-6-2 \sqrt{\left(3-\operatorname{tg}^{2} \alpha\right)\left(3-\operatorname{tg}^{2} \beta\right)}\right] x- \\ \pi_{1}: & -(\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta)\left[\operatorname{tg}^{2} \alpha+\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta+\operatorname{tg}^{2} \beta-3-\sqrt{\left(3-\operatorname{tg}^{2} \alpha\right)\left(3-\operatorname{tg}^{2} \beta\right)}\right] y- \\ & -c \cdot \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta\left[\operatorname{tg}^{2} \beta-3-\sqrt{\left(3-\operatorname{tg}^{2} \alpha\right)\left(3-\operatorname{tg}^{2} \beta\right)}\right]=0, \\ & \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta\left[\operatorname{tg}^{2} \alpha+\operatorname{tg}^{2} \beta-6+2 \sqrt{\left(3-\operatorname{tg}^{2} \alpha\right)\left(3-\operatorname{tg}^{2} \beta\right)}\right] x- \\ \pi_{2}: & -(\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta)\left[\operatorname{tg}^{2} \alpha+\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta+\operatorname{tg}^{2} \beta-3+\sqrt{\left(3-\operatorname{tg}^{2} \alpha\right)\left(3-\operatorname{tg}^{2} \beta\right)}\right] y- \\ & -c \cdot \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta\left[\operatorname{tg}^{2} \beta-3+\sqrt{\left(3-\operatorname{tg}^{2} \alpha\right)\left(3-\operatorname{tg}^{2} \beta\right)}\right]=0 . \\ & \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta\left[\operatorname{tg}^{2} \alpha+\operatorname{tg}^{2} \beta-6-2 \sqrt{\left(3-\operatorname{tg}^{2} \alpha\right)\left(3-\operatorname{tg}^{2} \beta\right)}\right] x+ \\ \pi^{\prime}: & +\left(\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg}^{2} \beta\right)\left[\operatorname{tg}^{2} \alpha+\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta+\operatorname{tg}^{2} \beta-3-\sqrt{\left(3-\operatorname{tg}^{2} \alpha\right)\left(3-\operatorname{tg}^{2} \beta\right)}\right] y- \\ & -c \cdot \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta\left[\operatorname{tg}^{2} \beta-3-\sqrt{\left(3-\operatorname{tg}^{2} \alpha\right)\left(3-\operatorname{tg}^{2} \beta\right)}\right]=0, \\ & \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta\left[\operatorname{tg}^{2} \alpha+\operatorname{tg}^{2} \beta-6+2 \sqrt{\left(3-\operatorname{tg}^{2} \alpha\right)\left(3-\operatorname{tg}^{2} \beta\right)}\right] x+ \\ \pi^{\prime \prime}: & +\left(\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg}^{2} \beta\right)\left[\operatorname{tg}^{2} \alpha+\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta+\operatorname{tg}^{2} \beta-3+\sqrt{\left(3-\operatorname{tg}^{2} \alpha\right)\left(3-\operatorname{tg}^{2} \beta\right)}\right] y- \\ & -c \cdot \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta\left[\operatorname{tg}^{2} \beta-3+\sqrt{\left(3-\operatorname{tg}^{2} \alpha\right)\left(3-\operatorname{tg}^{2} \beta\right)}\right]=0, \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} & \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta\left[\operatorname{tg}^{2} \alpha+\operatorname{tg}^{2} \beta-6-2 \sqrt{\left(3-\operatorname{tg}^{2} \alpha\right)\left(3-\operatorname{tg}^{2} \beta\right)}\right] x+ \\ & +(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)\left[\operatorname{tg}^{2} \alpha+\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta+\operatorname{tg}^{2} \beta-3-\sqrt{\left(3-\operatorname{tg}^{2} \alpha\right)\left(3-\operatorname{tg}^{2} \beta\right)}\right] y- \\ \pi_{y}^{\prime} & -c \cdot \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta\left[\operatorname{tg}^{2} \beta-3-\sqrt{\left(3-\operatorname{tg}^{2} \alpha\right)\left(3-\operatorname{tg}^{2} \beta\right)}\right]=0, \\ & \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta\left[\operatorname{tg}^{2} \alpha+\operatorname{tg}^{2} \beta-6+2 \sqrt{\left(3-\operatorname{tg}^{2} \alpha\right)\left(3-\operatorname{tg}^{2} \beta\right)}\right] x+ \\ & +(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)\left[\operatorname{tg}^{2} \alpha+\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta+\operatorname{tg}^{2} \beta-3+\sqrt{\left(3-\operatorname{tg}^{2} \alpha\right)\left(3-\operatorname{tg}^{2} \beta\right)}\right] y- \\ \pi_{y}^{\prime \prime} & -c \cdot \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta\left[\operatorname{tg}^{2} \beta-3+\sqrt{\left(3-\operatorname{tg}^{2} \alpha\right)\left(3-\operatorname{tg}^{2} \beta\right)}\right]=0, \\ & \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta\left[\operatorname{tg}^{2} \alpha+\operatorname{tg}^{2} \beta-6-2 \sqrt{\left(3-\operatorname{tg}^{2} \alpha\right)\left(3-\operatorname{tg}^{2} \beta\right)}\right] x- \\ & -(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)\left[\operatorname{tg}^{2} \alpha+\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta+\operatorname{tg}^{2} \beta-3-\sqrt{\left(3-\operatorname{tg}^{2} \alpha\right)\left(3-\operatorname{tg}^{2} \beta\right)}\right] y- \\ \pi_{x}^{\prime}: & -c \cdot \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta\left[\operatorname{tg}^{2} \beta-3-\sqrt{\left(3-\operatorname{tg}^{2} \alpha\right)\left(3-\operatorname{tg}^{2} \beta\right)}\right]=0, \\ & \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta\left[\operatorname{tg}^{2} \alpha+\operatorname{tg}^{2} \beta-6+2 \sqrt{\left(3-\operatorname{tg}^{2} \alpha\right)\left(3-\operatorname{tg}^{2} \beta\right)}\right] x- \\ & -(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)\left[\operatorname{tg}^{2} \alpha+\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta+\operatorname{tg}^{2} \beta-3+\sqrt{\left(3-\operatorname{tg}^{2} \alpha\right)\left(3-\operatorname{tg}^{2} \beta\right)}\right] y- \\ \pi_{x}^{\prime \prime}: & -c \cdot \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta\left[\operatorname{tg}^{2} \beta-3+\sqrt{\left(3-\operatorname{tg}^{2} \alpha\right)\left(3-\operatorname{tg}^{2} \beta\right)}\right]=0 . \end{aligned} \]

След заместване на координатите на \(B_{1}\) в уравнението на \(\pi_{2}\) и на координатите на \(B_{2}\) в уравнението на \(\pi_{1}\) се установява, че \(B_{1} \in \pi_{2}\) и \(B_{2} \in \pi_{1}\). Следователно \(B_{1}\) и \(B_{2}\) са спрегнати спрямо \(k\). Аналогично се показва, че \(B_{1}\) и \(B_{2}\) са спрегнати спрямо всяка от кривите \(k^{\prime}, k_{y}^{\prime}\) и \(k_{x}^{\prime}\) (фиг. 6).

В случая, когато \(B_{1} \equiv B_{2} \equiv B_{0}\), имаме \(\pi_{1} \equiv \pi_{2} \equiv \pi_{0}\) и \(\pi^{\prime} \equiv \pi^{\prime \prime} \equiv \pi_{0}^{\prime}\). Тогава \(\pi_{0}\) е допирателна за \(k^{\prime}\), а \(\pi_{0}^{\prime}-\) за \(k\) (фиг. 4).

Нека сега \(M=\pi_{1} \cap \pi_{2}, M^{\prime}=\pi^{\prime} \cap \pi^{\prime \prime}, M_{y}^{\prime}=\pi_{y}^{\prime} \cap \pi_{y}^{\prime \prime}, M_{x}^{\prime}=\pi_{x}^{\prime} \cap \pi_{x}^{\prime \prime}\). От уравненията на правите \(\pi_{1}, \pi_{2}, \pi^{\prime}, \pi^{\prime \prime}, \pi_{y}^{\prime}, \pi_{y}^{\prime \prime}, \pi_{x}^{\prime}, \pi_{x}^{\prime \prime}\) намираме координатите на точките \(M, M^{\prime}, M_{y}^{\prime}\) и \(M_{x}^{\prime}\) :

\[ \begin{aligned} & M\left(\cfrac{c \cdot \operatorname{tg} \alpha}{\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta}, \cfrac{c \cdot \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta}\right) M^{\prime}\left(\cfrac{c \cdot \operatorname{tg} \alpha}{\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta},-\cfrac{c \cdot \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta}\right) \\ & M_{y}^{\prime}\left(\cfrac{c \cdot \operatorname{tg} \alpha}{\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta},-\cfrac{c \cdot \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta}\right), M_{x}^{\prime}\left(\cfrac{c \cdot \operatorname{tg} \alpha}{\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta}, \cfrac{c \cdot \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta}\right) \end{aligned} \] След заместване на координатите на \(M\) в уравнението на \(k^{\prime}\) се вижда, че \(M \in k^{\prime}\) (фиг. 6). Аналогично се забелязва, че \(M^{\prime} \in k, M_{y}^{\prime} \in k_{x}^{\prime}\) и \(M_{x}^{\prime} \in k_{y}^{\prime}\).

4. Едно свойство на центровете. Оказва се, че когато кривите \(k, k^{\prime}, k_{y}^{\prime}\) и \(k_{x}^{\prime}\) са централни и \(l \equiv A C\), центровете им също притежават интересно свойство. Нека центровете на \(k, k^{\prime}, k_{y}^{\prime}\) и \(k_{x}^{\prime}\) са съответно \(O, O^{\prime}, O_{y}^{\prime}\) и \(O_{x}^{\prime}\). Ако една крива от втора степен има уравнение (8), координатите на центъра ѝ удовлетворяват системата уравнения: \(\left\lvert\, \begin{aligned} & a_{11} x+a_{12} y+a_{13}=0, \\ & a_{12} x+a_{22} y+a_{23}=0\end{aligned}\right.\). От тази система и уравненията на кривите за координатите на центровете им получаваме:

\[ \begin{aligned} O\left(\cfrac{\operatorname{tg} \alpha(\operatorname{tg} \alpha-7 \operatorname{tg} \beta)}{\operatorname{tg}^{2} \alpha+\operatorname{tg}^{2} \beta-14 \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta} c, \cfrac{\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)}{\operatorname{tg}^{2} \alpha+\operatorname{tg}^{2} \beta-14 \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta} c\right) \\ O^{\prime}\left(\cfrac{\operatorname{tg} \alpha(\operatorname{tg} \alpha-7 \operatorname{tg} \beta)}{\operatorname{tg}^{2} \alpha+\operatorname{tg}^{2} \beta-14 \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta} c,-\cfrac{\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)}{\operatorname{tg}^{2} \alpha+\operatorname{tg}^{2} \beta-14 \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta} c\right) \\ O_{y}^{\prime}\left(\cfrac{\operatorname{tg} \alpha(\operatorname{tg} \alpha+7 \operatorname{tg} \beta)}{\operatorname{tg}^{2} \alpha+\operatorname{tg}^{2} \beta+14 \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta} c,-\cfrac{\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta(\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta)}{\operatorname{tg}^{2} \alpha+\operatorname{tg}^{2} \beta+14 \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta} c\right) \\ O_{x}^{\prime}\left(\cfrac{\operatorname{tg} \alpha(\operatorname{tg} \alpha+7 \operatorname{tg} \beta)}{\operatorname{tg}^{2} \alpha+\operatorname{tg}^{2} \beta+14 \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta} c, \cfrac{\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta(\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta)}{\operatorname{tg}^{2} \alpha+\operatorname{tg}^{2} \beta+14 \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta} c\right) \end{aligned} \] От тези координати се вижда, че само кривите \(k\) и \(k^{\prime}\) може да са параболи. Освен това, ако едната е парабола, то и другата е такава. Свойството и двете да са елипси или хиперболи, не е изпълнено. Това лесно се забелязва на фиг. 3. Ако кривите \(k\) и \(k^{\prime}\) не са параболи, лесно се установява, че точките \(O\), \(O^{\prime}, O_{y}^{\prime}\) и \(O_{x}^{\prime}\) лежат на окръжност (фиг. 6), центърът и радиусът на която са определени по следния начин:

\[ \begin{aligned} & S\left(\cfrac{c \cdot \operatorname{tg} \alpha\left(15 \operatorname{tg}^{6} \beta+15 \operatorname{tg}^{4} \alpha \operatorname{tg}^{2} \beta+226 \operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg}^{4} \beta+7 \operatorname{tg}^{4} \alpha+679 \operatorname{tg}^{4} \beta-686 \operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg}^{2} \beta\right)}{7\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha-\operatorname{tg}^{2} \beta\right)\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha+\operatorname{tg}^{2} \beta-14 \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta\right)\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha+\operatorname{tg}^{2} \beta+14 \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta\right)}, 0\right) \\ & R^{2}=\cfrac{c \cdot \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta}{7\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha-\operatorname{tg}^{2} \beta\right)\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha+\operatorname{tg}^{2} \beta-14 \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta\right)\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha+\operatorname{tg}^{2} \beta+14 \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta\right)} \times \\ & \quad \times\left(\operatorname{tg}^{6} \alpha+225 \operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg}^{4} \beta+30 \operatorname{tg}^{4} \alpha \operatorname{tg}^{2} \beta+49 \operatorname{tg}^{4} \alpha+49 \operatorname{tg}^{4} \beta-98 \operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg}^{2} \beta\right) \times \\ & \quad \times\left(\operatorname{tg}^{6} \beta+225 \operatorname{tg}^{4} \alpha \operatorname{tg}^{2} \beta+30 \operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg}^{4} \beta+49 \operatorname{tg}^{4} \alpha+49 \operatorname{tg}^{4} \beta-98 \operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg}^{2} \beta\right) \end{aligned} \] 5. Множество от точки върху постоянна окръжност, определящи равно отдалечени върхове от неподвижните върхове на равнобедрени триъгълници. Друг вариант на първоначалната задача е следният.

Задача 2. Нека \(A, B\) и \(C\) са три произволни точки от една окръжност \(k_{0}\). Отсечките \(A B\) и \(B C\) са основи на равнобедрени триъгълници \(A B X\) и BCY с ъгли при основите съответно \(\alpha\) и \(\beta\). Ако точката \(B\) се движи по окръжността \(k_{0}\), да се определи множеството на точките \(B\), при които \(e\) изпълнено равенството \(A Y=C X\).

При случая, в който \(\alpha=\beta=60^{\circ}\), имаме \(\triangle A B Y \cong \triangle B X C\). Затова равенството \(A Y=C X\) е изпълнено за всяка точка \(B\) от \(k_{0}\) (триъгълниците \(A B X\) и \(B C Y\) са еднаквоориентирани) (фиг. 7). Така получаваме същия резултат, както при права.

За да изследваме общия случай, ще разглеждаме дадените обекти в комплексната равнина спрямо Гаусова координатна система, центърът на която е центърът \(O\) на \(k_{0}\). Разглеждаме окръжността \(k_{0}\) като единична, а афиксите на точките ще означаваме със съответните им малки букви. Следователно \(a \bar{a}=b \bar{b}=c \bar{c}=1\). Лесно се вижда, че са изпълнени равенствата \(A X=\cfrac{A B}{2 \cos \alpha}, B Y=\cfrac{B C}{2 \cos \beta}\). Единичният вектор \(\cfrac{\overrightarrow{A X}}{A X}\) се получава, като единичният вектор \(\cfrac{\overrightarrow{A B}}{A B}\) се завърти в положителна посока на ъгъл \(\alpha\). Затова \(\cfrac{2 \cos \alpha(x-a)}{A B}=\cfrac{b-a}{A B} \cdot e^{i \alpha}\), откъдето \(\quad x=\cfrac{(b-a) e^{i \alpha}+2 a \cos \alpha}{2 \cos \alpha}=\cfrac{(b-a) e^{i \alpha}+a\left(e^{i \alpha}+e^{-i \alpha}\right)}{e^{i \alpha}+e^{-i \alpha}}=\cfrac{b e^{i \alpha}+a e^{-i \alpha}}{e^{i \alpha}+e^{-i \alpha}}\).

Аналогично се получава

\[ y=\cfrac{(c-b) e^{i \beta}+2 b \cos \beta}{2 \cos \beta}=\cfrac{c e^{i \beta}+b e^{-i \beta}}{e^{i \beta}+e^{-i \beta}} . \]

От тези резултати се получава, че равенството \(A Y=C X\) е изпълнено, когато \(b\) е корен на квадратното уравнение

\[ \begin{aligned} & \left\{\cos \alpha\left[\cos \alpha\left(1-4 \cos ^{2} \beta\right)-2 i \cos \beta \sin (\alpha-\beta)\right] a-\right. \\ & \left.-\cos \beta\left[\cos \beta\left(1-4 \cos ^{2} \alpha\right)-2 i \cos \alpha \sin (\alpha-\beta)\right] c\right\} \cdot b^{2}+ \\ & +2 i \sin (\alpha-\beta)\left[\cos \alpha \cos \beta \cdot a^{2}-i \sin (\alpha+\beta) \cdot a c-\cos \alpha \cos \beta \cdot c^{2}\right] \cdot b- \\ & -a c\left\{\cos \beta\left[\cos \beta\left(1-4 \cos ^{2} \alpha\right)+2 i \cos \alpha \sin (\alpha-\beta)\right] \cdot a-\right. \\ & \left.-\cos \alpha\left[\cos \alpha\left(1-4 \cos ^{2} \beta\right)+2 i \cos \beta \sin (\alpha-\beta)\right] \cdot c\right\}=0 \end{aligned} \]

Това уравнение се превръща врьща в тъждество при \(\alpha=\beta=60^{\circ}\), което съвпада с казаното по-рано (фиг. 7). Ако \(\alpha=\beta \neq 60^{\circ}\), уравнението се свежда до \(b^{2}=a c\). Това означава, че двете точки \(B_{1}\) и \(B_{2}\), удовлетворяващи последното равенство, са диаметрално противоположни за \(k_{0}\).

За пълното изследване на задача 2, както в задача 1, трябва да разгледаме и точките \(X^{\prime}\) и \(Y^{\prime}\), които са симетрични съответно на \(X\) и \(Y\) спрямо \(A B\) и \(B C\). Така стигаме до изследването и на равенствата \(A Y^{\prime}=C X^{\prime}, A Y^{\prime}=C X\) и \(A Y=C X^{\prime}\). Всеки от тези случаи води до квадратно уравнение. Следователно тези равенства се удовлетворяват от двойки точки \(\left(B^{\prime}, B^{\prime \prime}\right),\left(B_{1}^{\prime}, B_{2}^{\prime}\right)\) и ( \(B_{1}^{\prime \prime} B_{2}^{\prime \prime}\) ) (фиг. 8).

При \(\alpha=\beta\) случаят \(A Y^{\prime}=C X^{\prime}\) не се различава от този, при който \(A Y=C X\). Нещо повече, двойката точки ( \(B^{\prime}, B^{\prime \prime}\) ) съвпада с ( \(B_{1}, B_{2}\) ). Ако \(\alpha=\beta=60^{\circ}\), случаите \(A Y^{\prime}=C X\) и \(A Y=C X^{\prime}\) са възможни само при \(B \equiv A\) и \(B \equiv C\). При \(\alpha=\beta \neq 60^{\circ}\) на тези случаи съответстват две двойки точки ( \(B_{1}^{\prime}, B_{2}^{\prime}\) ) и ( \(B_{1}^{\prime \prime}, B_{2}^{\prime \prime}\) ) от \(k_{0}\).

Така получените резултати можем да обобщим по следния начин.

(*) Ако \(\alpha=\beta=60^{\circ}\) и триъгълниците \(A B X\) и \(B C Y\) са еднакво ориентирани, всяка точка \(B\) от \(k_{0}\) е решение (фиг. 7).

(**) Ако \(\alpha=\beta=60^{\circ}\) и триъгълниците \(A B X\) и \(B C Y\) са различно ориентирани, точката \(B\) е решение само когато \(B \equiv A\) и \(B \equiv C\).

(***) Ако \(\alpha=\beta \neq 60^{\circ}\) и триъгълниците \(A B X\) и \(B C Y\) са еднакво ориентирани, има две положения на точката \(B\) върху \(k_{0}\), които са решения (фиг. 9).

(****) Ако \(\alpha=\beta \neq 60^{\circ}\), има шест положения на точката \(B\) върху \(k_{0}\), които са решения (фиг. 9).

\((* * * * *)\) Ако \(\alpha \neq \beta\), има осем положения на точката \(B\) върху \(k_{0}\), които са решения (фиг. 8).

6. Криви от четвърта степен. Както в задача 1, е интересно да се определи какви са геометричните места на точките \(P=A Y \cap C X, P^{\prime}=A Y^{\prime} \cap C X^{\prime}\), \(P_{y}^{\prime}=A Y^{\prime} \cap C X, P_{x}^{\prime}=A Y \cap C X^{\prime}\). Оказва се, че координатите на тези точки удовлетворяват уравнения от четвърта степен. Следователно тези точки описват съответно криви от четвърта степен \(K, K^{\prime}, K_{y}^{\prime}\) и \(K_{x}^{\prime}\) (фиг. \(7,8,9\) ).

Ако \(\alpha=\beta=60^{\circ}\), кривата \(K\), която описва \(P\), има следното уравнение \(\left[a c(3-i \sqrt{3}) z \bar{z}-(2 a+c-i . c \sqrt{3})_{z-a c}(2 a+c-i . c \sqrt{3}) \bar{z}+2 a^{2}+c^{2}-i . c^{2} \sqrt{3}\right]^{2}=0\).

Следователно \(K\) е окръжност (фиг. 7), която се описва два пъти от точката \(P\).

При \(\alpha=\beta=60^{\circ}\) кривата \(K^{\prime}\), както трябва да се очаква, също е окръжност (фиг. 7). Кривите \(K_{y}^{\prime}\) и \(K_{x}^{\prime}\) не притежават това специално свойство.

REFERENCES/ЛИТЕРАТУРА

Rosillo, N. (2018). Personal communication.

Modenov, P. (1969). Аnalytical Geometry. Moscow: MGU. [Моденов, П. (1969). Аналитическая геометрия. Москва: МГУ.]

Stanilov, G. (1979). Аnalytical Geometry. Sofia: Nauka i Izkustvo. [Станилов, Г. (1979). Аналитична геометрия. София: Наука и изкуство.]

Matinov, N. (1989). Аnalytical Geometry. Sofia: Nauka i Izkustvo. [Мартинов, Н. (1989). Аналитична геометрия. София: Наука и изкуство.]

Grozdev, S. (2007). For High Achievements in Mathematics. The Bulgarian Experience (Theory and Practice). Sofia: ADE, ISBN978-954-92139-1-1.

Grozdev, S. & V. Nenkov (2012). About the orthocenter in the plane and the space. Sofia: Archimedes. [Гроздев, С. & В. Ненков (2012). Около ортоцентъра в равнината и пространството. София: Архимед.]

Grozdev, S. & V. Nenkov (2018), Curves of second degree, generated by secants and isogonality, Mathematics Plus, 1, 42 – 46. [Гроздев, С. & В. Ненков (2018). Криви от втора степен и триъгълници, породени от секущи и изогоналност, Математика плюс, 1, 42 – 64.]