https://doi.org/10.53656/math2024-6-4-the

Резюме. Статията разглежда изследване и определяне вида на кривите, които се получават при пресичане на тор с равнина с помощта на методите и средствата, използвани в дескриптивната геометрия. Методът, който се използва, е универсален метод в дескриптивната геометрия – метод на спомагателните успоредни равнини.

Ключови думи: дескриптивна геометрия; ортогонално проектиране; равнинно сечение; кръгов тор

1. Въведение

Задачата за намиране на сечението на ротационна повърхнина с равнина е много важна в инженерните науки. В тази публикация авторите показват систематизирано изследване на вида на кривите, които се по-лучават при пресичане на кръгов тор с равнина, като използват основно методите и средствата на дескриптивната геометрия. Разработени са 8 примера за илюстриране на различните възможности. Всички показани случаи и примери към тях са решени в монжова проекция.

2. Изложение

Методът на спомагателните успоредни равнини е универсален метод, използван при построяване на равнинни сечения на ротационни повърхнини, както и при изобразяване на линии на взаимно пресичане на ротационни повърхнини с успоредни оси. За първи път този метод е документирано използван от великия немски математик, художник и архитект Албрехт Дюрер при представянето на елипсата, хиперболата и параболата като равнинни сечения на ротационен конус.

Същността на метода е следната – да се използват сеченията на ротационната повърхнина с равнини, перпендикулярни на оста на повърхнината. Тези сечения са окръжности – паралели на повърхнината. Ако оста на тялото, което се пресича, се постави перпендикулярна на проекционна равнина и проектирането е ортогонално, то тогава оста се проектира в точка, а паралелите се изобразят в концентрични окръжности с център тази точка, като радиусите им се запазват.

Във всички разгледани примери оста на тора е поставена перпендикулярнa на на първа проекционна равнина \(\mu\). Тогава първата проекция на оста е точка, съвпадаща с първата проекция на центъра на тора, а торът се вижда като венец, ограничен от две окръжности. Тези две окръжности са образите на паралелите, получени при пресичане на тора с равнината, минаваща през центъра му и прерпендикулярна на оста. Малката окръжност се нарича гърло, а голямата – екватор. Във втора проекция торът се изобразява чрез главния си меридиан – сечението на повърхнината с равнина, минаваща през оста и успоредна на втора проекционна равнина – две окръжности, които се свързват с общите им външни допирателни.

При построенията във всеки от показаните примери е използвана смяна на проекционния апарат с цел улесняване на намирането на специаните точки от търсеното сечение. Въведена е трета помощна проекционна равнина \(\pi\), която е поставена перпендикулярна на \(\mu\) и на секущатата равнина \(\alpha\), което означава, че дирята на новата проекционна равнина е построена перпендикулярна на първата диря на равнината \(\alpha\). По този начин в трета проекция търсеното сечение се вижда като отсечка – част от третата диря на секущата равнита \(-\alpha_{3}\). За да се построи сечението в истинския му вид, е използвано склопяване (завъртане) на равнината на сечението до първа проекционна равнина около нейната първа диря.

Решението на един от показаните случаи е описано подробно, а за останалите случаи са отбелязани най-важните особености.

Пример 1. Да се изобрази кръгов тор с център \(S(0 ; 5 ; 4)\), ос \(g\), перпендикулярна на първа проекционна равнина \(\mu\), и меридиан – окръжност с център \(T(3 ; 5 ; 4)\) и радиус \(r=1.5\), и сечението му с равнината \(\alpha\left[-11 ; 12.5 ; z_{\alpha}\right]\), минаваща през центъра му.

Построенията са извършени в следната последователност:

1. Изобразен е торът и дадената първа диря на равнината \(\alpha\).

2. Построена е равнината \(\sigma\), минаваща през оста \(g\) и перпендикулярна на равнината \(\alpha\). Тази равнина е перпендикулярна на първа проекционна равнина и тогава нейната първа диря е и първа проекция на равнината \(-\sigma_{1}\). Пресечната права на равнината \(\sigma\) със секущата равнина е ос на симетрия на търсеното сечение – права \(l . l_{1}\), минава през \(S_{1}\) и е перпендикулярна на \(m_{1}^{\alpha}\).

3. Въведена е трета помощна проекционна равнина \(\pi\), като е построена \(x_{1,3}\),3, перпендикулярна на \(m_{1}^{\alpha}\).

4. Построена е трета проекция на тора, като за целта са намерени третите проекции на точки \(P\) и \(Q\)– центрове на сечението на тора с равнината \(\sigma\).

5. Построена е третата диря на равнината \(\alpha\), като \(\alpha_{3}\), минава през \(S_{3}\).

6. От взаимното положение на третата диря на \(\alpha\) и контурните за трета проекция меридиани – окръжностите с центрове \(P_{3}\) и \(Q_{3}\) – се определя видът на сечението. Тъй като в случая правата \(\alpha_{3}\) и двете окръжности нямат общи точки, то сечението се състои от 2 отделни затворени криви.

7. За намирането на точки от тези криви са използвани 5 спомагателни успоредни равнини, като първите три са задължителни при работа с тор.

• Равнините \(\gamma\) и \(\gamma^{\prime}\)– горна и долна допирателни към повърхнината на тора равнини. Тези две равнини се допират до тора в паралели с радиуси \(r=\left|x_{T}-x_{S}\right|\). В тях са точки \(-1,2,3\) и 4.

• Равнината \(\varepsilon\), която съдържа гърлото и екватора на тора. В тази равнина са точки \(5,6,7\) и 8.

• Две произволни равнини – \(\delta\) и \(\delta^{\prime}\), които вземаме на равни разстояния под и над точка \(S\), така че паралелите, които получаваме в тях, да са с равни радиуси и първите им проекции да съвпадат. В тези равнини са съответно точки \(13,14,15,16\) и \(9,10,11,12\).

Торът е повърхнина от четвърта степен и сечението се определя еднозначно от 14 произволни точки, така че намерените 16 точки са достатъчни за да се твърди, че сечението е еднозначно определено.

8. Свързани са гладко точките, като е определена видимостта на сечението.

• В първа проекция видима е частта от сечението, която е над равнината \(\varepsilon\).

• Във втора проекция видима е частта от сечението, която е пред равнината \(\eta\), минаваща през точка \(S\) и успоредна на втора проекционна равнина \(\nu\), и върху външната част от повърхнината на тора.Това е частта: 1-9-5-13-3.

9. Склопена е равнината \(\alpha\) до \(\mu\), за да се изобрази сечението в истински вид.

Когато секущата равнина минава през центъра на тора, сечението има още една ос на симетрия – хоризонталната права на равнината \(\alpha\), минаваща през точката \(S-h_{\alpha}\).

Построенията са показани на фиг. 1.

Пример 2. Да се изобрази кръгов тор с център \(S(0 ; 5 ; 4)\), ос \(g\), перпендикулярна на \(\mu\), и меридиан – окръжност \(k(T(3 ; 5 ; 4) ; r=1.5)\), и сечението му с равнината \(\alpha\left[-5 ; 9 ; z_{\alpha}\right]\), допираща се вътрешно до повърхнината на тора в точка \(A\), като \(z_{A} \gt z_{S}\).

При построяването на дирите на секущата равнина е използвано, че тя е допирателна към повърхнината на тора и се определя от двете допирателни към паралел и меридиан в дадена точка. В първа проекция паралелите са в истински вид и допирателните към тях са хоризонтални прави. В трета проекция двата контурни меридиана са в истински вид и тогава \(\alpha_{3}\) е построена допираща се до единия от тях. Допирната точка е означена с \(A\).

Тогава сечението е една затворена крива, симетрична спрямо равнината \(\sigma\), като точка \(A\) е точка на самопресичане на кривата. Тъй като \(\alpha_{3}\) няма общи точки с другия контурен за трета проекция меридиан, то кривата няма други общи точки с равнината на симетрия. Този случай на сечение на тор с равнина е разгледан в (Raduiov & Parvanova 2012), без да е показан истинският вид на кривата.

Построенията и видът на сечението са показани на фиг. 2.

2 Като частен случай на показания пример е разгледан следният:

Пример 3. Да се изобрази кръгов тор с център \(S(0 ; 5 ; 4)\), ос \(g\), перпендикулярна на \(\mu\), и меридиан – окръжност \(k(T(3 ; 5 ; 4) ; r=1.5)\), и сечението му с равнината \(\alpha\), допираща се до повърхнината на тора в точка \(A\left(-1 ; y_{A} ; z_{A}\right)\left(y_{A} \gt y_{A}\right)\) от гърлото му.

Тук допирната точка е от гърлото на тора и тогава се получава крива линия, известна като лемниската. Ако означим с \(R\) разстоянието от центъра на тора до точка \(T\), то при \(r=R / 2\) лемнискатата е известна като лемниската на Бернули. На това твърдение е показано аналитично доказателство, като за център на тора е взета точка \(O\)– началото на координатната систeма точка \(O\). Тогава уравнението на тора е:

\[ \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2}-r^{2}\right)^{2}+4 R^{2} z^{2}=4 r^{2} R^{2} . \]

За опростяване на пресмятанията секущата равнината \(\alpha\) е поставена успоредна на втора координатна равнина и допираща се до тора в точка \(A(0 ; R-r ; 0)\). Тогава нейното уравнение е \(\alpha: y=R-r\).

След заместване в уравнението на тора получаваме:

\[ \begin{gathered} \left(x^{2}+(R-r)^{2}+z^{2}-R^{2}-r^{2}\right)^{2}+4 R^{2} z^{2}-4 r^{2} R^{2}=0 \\ \left(x^{2}+R^{2}-2 r R+r^{2}+z^{2}-R^{2}-r^{2}\right)^{2}+4 R^{2} z^{2}-4 r^{2} R^{2}=0 \\ \left(x^{2}-2 r R+z^{2}\right)^{2}+4 R^{2} z^{2}-4 r^{2} R^{2}=0 \\ x^{4}+z^{4}+4 r^{2} R^{2}+2 x^{2} z^{2}-4 r R x^{2}-4 r R z^{2}+4 R^{2} z^{2}-4 r^{2} R^{2}=0 \\ x^{4}+z^{4}+2 x^{2} z^{2}-4 r R\left(x^{2}+z^{2}\right)+4 R^{2} z^{2}=0 \end{gathered} \]

и \(\left(x^{2}+z^{2}\right)^{2}=4 r R\left(x^{2}+z^{2}\right)-4 R^{2} z^{2}\) е уравнение на лемниската.

При \(r=R / 2\) получаваме:

\[ \begin{gathered} \left(x^{2}+z^{2}\right)^{2}=2 R^{2}\left(x^{2}+z^{2}\right)-4 R^{2} z^{2} \\ \left(x^{2}+z^{2}\right)^{2}=2 R^{2} x^{2}+2 R^{2} z^{2}-4 R^{2} z^{2} \end{gathered} \]

и \(\left(x^{2}+z^{2}\right)^{2}=2 R^{2}\left(x^{2}-z^{2}\right)\) е уравнение на лемниската на Бернули.

Лемнискатата на Бернули е частен случай на фамилия криви на Касини, които се получават при пресичането на тор с равнини, успоредни на оста на тора. В пример 4 е показана още една от тези криви.

Пример 4. Да се изобрази кръгов тор с център \(S(0 ; 5 ; 3)\), ос \(g\), перпендикулярна на \(\mu\) и меридиан – окръжност \(k(T(3 ; 5 ; 3) ; r=1.5)\), и сечението му с равнината \(\alpha[8 ; 7 ; \infty]\).

В примери 3 и 4 истинският вид на сечението се получава в трета проекционна равнина, тъй като секущите равнини са перпендикулярни на първа проекционна равнина \(\mu\).

Показаният вид на сечението в пример 4 е частен случай на вида, който се получава при две общи точки на третата диря на секущата равнина с единия от контурните в трета проекция меридиани. Тогава сечението е една затворена крива, която пресича равнината на симетрия в две точки \(-A\) и \(B\). Този случай е показан със следния пример:

Пример 5. Да се изобрази кръгов тор с център \(S(0 ; 4.5 ; 2.5)\), ос \(g\), перпендикулярна на \(\mu\) и меридиан – окръжност \(k(T(3 ; 4.5 ; 2.5) ; r=1.5)\), и сечението му с равнината \(\alpha\left[-6 ; 11 ; z_{\alpha}\right]\), ако \(∢(\alpha ; \mu)=30^{\circ}\).

Построенията са показани на фиг. 5.

В пример 6 е показан също много интересен частен случай на две общи точки на \(\alpha_{3}\) с контурните меридиани в трета проекция – равнината е допирателна към повърхнината на тора в две точки. Тогава сечението се състои от две пресичащи се окръжности с радиуси \(r_{c}=\left|S_{3} T_{3}\right|=R\).

В първа проекция двете окръжности се проектират като елипси. Големите оси на елипсите лежат на хоризонтална права на секущата равнина и имат дължина \(2 R\). Малките оси лежат на стръмни прави на \(\alpha\) и имат дължина \(2 R \cos \varphi\), където \(\varphi=∢(\alpha ; \mu)\). Във втора проекция образите на осите са спрегнати диаметри на проекциите на окръжностите.

Пример 6. Да се изобрази кръгов тор с център \(S(0 ; 5 ; 3)\), ос \(g\), перпендикулярна на \(\mu\), и меридиан – окръжност \(k(T(3 ; 5 ; 3) ; r=1.5)\), и сечението му с равнината \(\alpha\), допираща се до тора в две точки от повърхнината му, ако \(∢\left(m^{\alpha} ; \nu\right)=60^{\circ}\).

Построенията са показани на фиг. 6.

В пример 7 е показан случаят, когато третата диря на секущата равнина и контурните меридиани на тора имат 3 общи точки. Това е възможно, ако равнината е допирателна към повърхнината на тора. В този случай кривата пресича равнината на симетрия в точките \(A, B\) и \(C\), като точкатата \(A\) е точка на самопресичане на кривата.

Пример 7. Да се изобрази кръгов тор с център \(S(0 ; 5 ; 2)\), ос \(g\), перпендикулярна на \(\mu\), и меридиан – окръжност \(k(T(3 ; 5 ; 2) ; r=1.5)\), и сечението му с равнината \(\alpha\left[10 ; 13 ; z_{\alpha}\right]\), допираща се вътрешно до повърхнината на в точка \(A\), като \(z_{A} \gt z_{S}\).

Построенията са показани на фиг. 7.

Последната възможност е \(\alpha_{3}\) да пресича контурните меридиани на тора в трета проекция в 4 точки. Тогава сечението се състои от две отделни затворени криви, които пресичат равнината на симетрия в точките \(A, B, C\) и \(D\). Тази възможност е показана в следния пример:

Пример 8. Да се изобрази кръгов тор с център \(S(-3 ; 5 ; 3)\), ос \(g\), перпендикулярна на \(\mu\), и меридиан – окръжност \(k(T(0 ; 5 ; 3) ; r=1.5)\), и сечението му с равнината \(\alpha\left[2 ;-2 ; z_{\alpha}\right]\), минаваща през центъра му.

В този пример, както и в примери 1 и 6, секущата равнина е взета минаваща през центъра на тора, за да се получи втора ос на симетрия. Това е случай, който е разгледан от доц. Чорбаджиев в (Chorbadjev 1992). Построенията са показани на фиг. 8.

Благодарности

Чертежите, които са показани на фигурите, са изработени с помощта на AUTOCAD.

REFERENCES

CHORBADGIEV, D., 1992. Descriptive geometry, UACG (in Bulgarian)

RADULOV, V., PARVANOVA, I., 2006. Descriptive geometry, Plane sections, Textbook , UACG, (in Bulgarian). ISBN 13978-954-724-031-5

RADULOV, V., PARVANOVA, I., 2012. Descriptive geometry, Plane sections, Textbook, Regalia 6, (in Bulgerian). ISBN 978-954-745-220-6

ЛИТЕРАТУРА

РАДУЛОВ, В., ПЪРВАНОВА, И., 2006. Ръководство по дескриптивна геометрия, Равнинни сечения, УАСГ, ISBN 13978-954-724-031-5

РАДУЛОВ, В., ПЪРВАНОВА, И., 2012. Ръководство по дескриптивна геометрия, Равнинни сечения, Регалия 6, ISBN 978-954-745-220-6

ЧОРБАДЖИЕВ, Д., 1992. Дескриптивна геометрия, УАСГ.