Резюме. Целта на настоящата статия е да се покаже, че за използването на динамичен математически софтуер няма възрастови граници. Няма ограничения и в начините на използването му и дълбочината на постигнатите резултати. Единственото ограничение се крие в способностите и въображението на тези, които го използват.

Ключови думи: dynamic mathematical software; ways of use; depth of achievements

В началото представяме наблюдения върху работата на ученик, който в пети клас за пръв път се запознава с динамичния математически софтуер GeoGebra. В този момент ученикът вече притежава начална компютърна грамотност, включително умения за работа с Paint. Затова динамичният математически софтуер GeoGebra в началото е използван само като поле за рисуване. Въпреки това ученикът много бързо самостоятелно овладява инструментите на продукта и създава впечатляващи рисунки като тези на фигура 1.

В хода на заниманията и след поредица от експерименти за работата на различните инструменти обучаемият открива начини да включи динамика в рисунките. Първите динамични разработки са геометрични фигури, променящи положението си с движението на само една свободна точка. Постепенно ученикът осъзнава, че за да има динамика и част от обектите да се движат заедно с движението на дадена точка, то всички обекти трябва да са свързани с тази точка и следователно зависими от нея. Вдъхновени от интернет играта “Angry Birds”, се появяват поредица от динамични рисунки, в които различните птици летят и повтарят движенията и формата на събратята си от играта (фигура 2).

Oколо два месеца след началото на учебната година, във връзка с решаване на задачи от школата по математика, се появява и необходимост от създаване на поле за експеримент. С негова помощ ученикът конструира непрости геометрични чертежи, добавя дължини на отсечки, мерки на ъгли, лица на фигури.

В началото на втория срок, използвайки натрупаните си знания, той прави поредица от опити да използва компютъра, за да нарежда любимата си логическа игра „Танграм“ (от седем различни по големина и форма геометрични фигури се съставят различни по форма фигури, една от които е голям квадрат). За постигане на целта се налага ученикът да бъде запознат с част от по-сложните инструменти на динамичната среда, като бутон за показване и скриване на обекти в чертожната повърхност, както и с някои твърдения по геометрия, изучавани в по-горните класове. Резултатът от работата може да се види на фигура 3.

Накрая ще разгледаме как нашият ученик успя да се ориентира в използването на съвсем нови за него и средата инструменти. Това са създадени от доц. д-р Веселин Гушев потребителски инструмент за изчертаване на криви на Безие от трети ред по четири точки, използвани при обучението на учители от СДК, както и на студентите от IV курс на специалност „Информатика“ във ФМИ на СУ по предмета „Компютърна графика“ един петокласник може да твори в GeoGebra – фигура 4.

Наблюдаваният ученик, поради многобройните си призови участия в състезания и олимпиади, не може да бъде наречен „средностатистически“. Затова не е редно да очакваме подобни резултати при работата с динамичен софтуер от произволно избрани ученици на същата възраст. По-скоро посочените наблюдения показват, че диапазонът в развитието на един необременен млад човек при срещата му с динамичния математически софтуер може да бъде много голям. Все пак на този етап на обучение се очертават три различни етапа на използване на динамичния математически софтуер:

– като заместител на графичните програми – поле за рисуване;

– за създаване на динамични рисунки;

– за изследване на несложни конструкции, създаване на логически игри и т.н.

Изучаването на информационни технологии в прогимназиалния етап на основното образование е предпоставка в част от тези часове учениците да бъдат запознати с динамичен софтуер. Това ще бъде една добра основа за по-нататъшна работа в гимназиалния етап.

Ретроспекцията на създадения динамичен софтуер ще продължи не по времето на разработване на съответния продукт, а по това в кой клас на гимназиалния етап той може да се използва. Ако учебното съдържание се изучава в повече от един от класовете, обучението с динамичен софтуер ще бъде приложено там, където според автора е най-уместно.

Второто приложение, което ще разгледаме, е „Електронен учебник по математика за осми клас“. По-специално ще обърнем внимание на обучението, което беше проведено с този учебник в Природо-математическа гимназия „Васил Друмев“ – Велико Търново.

В хода на съвместната работа бяха включени уроци от „Електронен учебник по математика за осми клас“ и в ІХ клас. Идеята беше да се направи паралел между знанията на учениците от ІХ клас, които са придобити без помощта на Електронния учебник, и тези на VІІІ клас.

Обучението се извършваше в класна стая, като през часа учителят ползваше както черната дъска, така и мултимедия. Серията от мултимедийни уроци беше съпроводена от контролни тестове: единия – непосредствено преди започване на електронното обучение, а другия – в края на работата.

За учениците от VІІІ клас изходният тест послужи за проверка на усвояването на новите знания от темата „Графика на функция“, докато в ІХ клас – за въведение към темата „Модулни уравнения. Параметрични модулни уравнения“.

В VІІІ клас тестът беше проведен с 25, а в ІХ клас – с 23 ученици. Той беше на хартиен носител и включваше 9 задачи, които учениците решаваха 40 минути.

Основните цели, които бяха поставени, са да се провери:

– доколко учениците са усвоили построението на линейна функция и познават ли нейните свойства;

\((*)\quad\quad\mathrm{y}=\left\{\begin{array}{ll} \mathrm{f}_{1}(\mathrm{x}) , \mathrm{x} \in \mathrm{D}_{1} \\ \mathrm{M}\\ \mathrm{f}_n(\mathrm{x}),\mathrm{x} \in \mathrm{D}_{\mathrm{n}} \end{array}, \text { където } \bigcup_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}} \mathrm{D}_{\mathrm{i}}=\mathrm{I}, \mathrm{D}_{\mathrm{i}} \cap \mathrm{D}_{\mathrm{j}}=\varnothing ; \\ \right. \) – могат ли да построяват графика в интервал I на функция от вида (*) – могат ли да прилагат трансформации от вида: \(\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})+\mathrm{c}\) и \(\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x}+\mathrm{c})\), приложени върху графиката на функцията \(\mathrm{y}=|\mathrm{x}|\).

Средният успех от теста на учениците от VІІІ клас бе „Много добър"\((4,83)\), а на ІХ клас – „Много добър"\((4,65)\), и не се различавше от средния успех по математика на учениците до момента. Без да имаме претенциите за представителност, може да кажем, че учениците:

– могат да построяват графика на линейна функция и познават нейните свойства;

– могат да построяват графика на функцията \(\mathrm{y}=|\mathrm{x} \mathrm{y}=| \mathrm{x}\), но изпитват затруднения с трансформацията \(\mathrm{y}=|\mathrm{x}+\mathrm{c}|\);

– изпитват затруднения с построяването на функции от вид (*).

Основна причина за възникналите затруднения е в невъзможността за един учебен час да бъдат предадени и усвоени от учениците по-голям брой задачи от посочения тип. Необходимостта от използването на Електронния учебник се почувства най-вече при решаването на модулни параметрични уравнения. На фигури 5 и 6 са показани част от стъпките, през които минава решаването на дадена задача.

Следващата разработка е продиктувана от решаването на конкретна задача, дадена на ЗМС във Варна през 2007 г. в ХІ клас.

В хода на обсъждане на решението в школата по математика учениците стигнаха не само до решението на конкретната задача, но и направиха редица обобщения. Впоследствие съставиха задача, която може да се реши само със знанията за VІІІ клас.

Направените разсъждения са в основата на разработеното уеб приложение, което представяме на фигури 7 и 8.

Освен Динамичната обучаваща среда за изучаване на теоремите на Менелай и Чева, предназначена за обучение в часовете по профилирана подготовка в ІХ клас, в часовете по свободноизбираема подготовка може да се ползва проектът „Метод на инверсията. Свойства и приложение“.

Той е разработен от учениците Мирослав Славчев и Преслав Николаев и печели трето място в раздела „Геометрични миниатюри“ на международния конкурс „Математика и проектиране“ през 2008 г. в Москва (фигура 9).

Всички конструкции в Проекта са направени само с основните построителни инструменти на Geonext версия 1.53. Дори и в следващите версии инструмент „Инверсия“ не беше направен. През 2008 година другата динамичната среда – GeoGebra, също не предлагаше такава възможност.

Това още веднъж показва, че при работа с динамичен софтуер възможностите на потребителя се простират не само докъдето му позволяват вградените функции и инструменти, а докъдето се простират собствените му знания и възможности.

Разработката на следващия проект – „Триъгълник и прогресия“, също е продиктувана от решаването на конкретна задача \({ }^{1)}\). Проектът е предназначен за обучение на ученици от ХІ клас, но преформулирайки част от задачите и твърденията, те могат да бъдат използвани и в ІХ клас (фигура 10).

Следващият проект е с по-универсален характер. В основната си част

той е предназначен за обучение в ХІ клас (фигури 11 и 12). Освен графиката на функцията \(y=f(x)\) с приложението могат да се чертаят и графиките на: \(y=k . f(x), y=f(k . x), y=f(x)+c, y=f(x+c)\) (виж фигура 11).

Потребителите могат да строят и графиките на обратните функции \(y=e^{x}\) и \(y=\ln x\). Дори могат да проверят, че обратната на функцията \(y=e^{x-1}\) не е \(y=\ln (x-1)\) ( (виж фигура 12).

Точно идеята за построяване графиките на обратните функции беше в основата на съставянето на проекта. Оказа се, че построяването им затруднява дори и ученици, изучаващи математика в профилирана подготовка.

В ХІ клас профилирана подготовка започва изучаването на стереометрия. Точно тук започват и проблемите ва учителя с онагледяването на: взаимни положения на точки, прави и равнини; перпендикулярност в пространството; сечение на многостен с равнина и т.н. В помощ на учителя идва следващото приложение, което няма претенциите за покриване на целия учебен материал.

В основата на повечето конструкции е „триизмерна четириъгълна призма“, която може да се върти в равнините \(\mathrm{O}_{\mathrm{xy}}\) и \(\mathrm{O}_{\mathrm{xz}}\) и на която могат да бъдат променяни дължините на страните.

На фигури 13 и 14 са представени две задачи от раздела „Сечение на многостен с равнина“.

Преподаването на разделите „Комплексни числа“ и „Елементи на аналитичната геометрия в равнината“ създава затруднения на учителя в ХІІ клас профилирана подготовка – те са разположени в края на учебника и не влизат нито в учебното съдържание за държавните зрелостни, нито за кандидатстудентските изпити. Опитът на автора показва, че учениците в ПМГ „Васил Друмев“ – Велико Търново, също не проявяват особен ентусиазъм при преподаването на посочения материал.

В един от часовете ученичка, вместо да внимава, рисуваше нещо в тетрадката си. Тази ученичка се готвеше да кандидатства архитектура в УАСГ, а там освен с математика се влиза с изпит по рисуване. Оказа се, че тя рисува задача от перспектива, а това не е толкова лесно. Предизвикателството на автора към тази ученичка беше да направи същата конструкция, но динамична и на GeoGebra.

За осъществяването на идеята, освен умения за работа с динамичната среда, бяха необходими и основни знания по аналитична геометрия. Ето го и отговора на въпроса, който вече беше поставен. Допълнителен стимул за работа беше възможно участие в заключителен семинар по проект „Фибоначи“, както и участие в националните кръгове на международния проект „Математика и проектиране“.

Възникналата идея скоро след това бе реализирана в проект, наречен „Динамична математика“ (фигура 15).

С този проект учениците от ПМГ „Васил Друмев“ заеха трето място в раздела „Геометрични миниатюри“ на националния кръг на международния конкурс „Математика и проектиране“ през 2013 г.

Последните динамични конструкции са свързани със задача, дадена на петия турнир „Черноризец Храбър“ през 1996 г. \(^{2)}\).

Задача (96-20): даден е ъгъл АОВ с мярка \(1^{\circ}\) и огледална вътрешна повърхност, като \(\mathrm{AO}=1 \mathrm{~m}\). От точка А под ъгъл \(60^{\circ}\) спрямо лъча ОА влиза светлинен лъч и след многократно отражение се връща в точка А. Да се определи изминатият от лъча път.

При опит да бъде направен прецизен чертеж в динамичната среда Geonext се получава следната конструкция (фигура 16).

Въпреки че е прецизно направена, тя не може да ни бъде полезна, защото обектите в нея са разположени близко един до друг и идеята за решаването на задачата не може да се онагледи. Опитът да се приближат част от обектите, ни води до следната конфигурация (фигура 17).

В този случай се губи цялостната визия и отново не може да се проследи основната идея за решаване на задачата.

До същата конструкция се достига, ако се използва и динамичната среда GeoGebra.

Това ни навежда на мисълта, че за да се онагледи идеята за решаването на конкретната задача, е хубаво да се реши задача, решението на която използва същата идея, но се достига в по-малко стъпки. Такъв е следният пример.

Задача 1: дадени са ъгъл АОВ с мярка \(20^{\circ}\) и о огледална вътрешна повърхност. От точка А под ъгъл \(50^{\circ}\) спрямо лъча ОА влиза светлинен лъч и след многократно отражение се връща в точка А. Ако \(\mathrm{AO}=\mathrm{a}\), да се определи изминатият от лъча път.

Вместо решение ще предложим поредица от слайдове, илюстриращи нейното решение (виж фигури 18, 19 и 20).

Сега е видно, че изминатият от лъча път е равен на дължината на отсечка \(\mathrm{AA}_{3}^{*}=2 \mathrm{AA}_{1}^{*}\) и че \(\Delta \mathrm{AOA}_{1}^{*}\) е правоъгълен, като \(\mathrm{OA}=\mathrm{a}\), \(∢ \mathrm{AOA}_{1}^{*}=2 \measuredangle \mathrm{AOA}^{*}=40^{\circ}\). Тогава \(\mathrm{AA}_{3}^{*}=2 \mathrm{a} \cdot \sin 40^{\circ}\).

Използвайки същата идея, може да формулираме и нова задача.

Задача 2: дадени са ъгъл АОВ с мярка \(10^{\circ}\) и о огледална вътрешна повърхност. От точка А под ъгъл \(50^{\circ}\) спрямо лъча АО влиза светлинен лъч и след многократно отражение се връща в точка А. Ако \(\mathrm{AO}=\mathrm{a}\), да се определи изминатият от лъча път.

Идеята за нейното решаване е същата, само че сега светлинният лъч пада под прав ъгъл към рамото Орав ъгъл към рамото \(\mathrm{O}_{\mathrm{p}}\) не след първото, а след третото отражение (виж фигура 21).

Оказва се, че гореизложените задачи са частни случаи на една по-обща задача, която може да има следната формулировка.

Обща задача: дадени са ъгъл АОВ с мярка a, където \(\alpha \lt 45^{\circ}\), и огледална вътрешна повърхност. От точка А под ъгъл \(\left(90^{\circ}-2 \mathrm{k} \alpha\right)\), където \(\mathrm{k} \in \mathbb{N}\) и \(\mathrm{k} \leq\left[\tfrac{45}{\alpha}\right]\), спрямо лъча АО влиза светлинен лъч и след многократно отражение се връща в точка A. Ако \(\mathrm{AO}=\mathrm{a}\), да се намери дължината на изминатия от лъча път.

Забележка: при \(\alpha=1^{\circ}\) и \(\mathrm{k}=15\) получаваме задача 96-20, при \(\alpha=20^{\circ}\) и \(\mathrm{k}=1\) получаваме задача 1; при \(\alpha=10^{\circ}\) и \(\mathrm{k}=2\) получаваме задача 2.

Конструкции, които онагледяват общата задача, може да видите на фигури 22 и 23.

Разглеждайки задачата от петия математически турнир „Черноризец Храбър“, можем да направим следните изводи:

– динамичният математически софтуер не може да ни помогне в решаването или онагледяването на всяка задача;

– използването на динамичен софтуер трябва да е премерено и само там, където ще се възприеме като ефект, а не като дефект в работата;

– ако нямаме ясна идея какво и как искаме да постигнем при решаването на даден проблем, е без значение с какъв софтуер разполагаме.

От методическа гледна точка, трябва да подчертаем, че ако направо пристъпим към решаването на задача (96-20) , тя ще бъде достъпна и разбираема за много малка аудитория. Ако в своето изложение започнем със задача 1, преминем през задача 2 и общата задача, то накрая ще ни е много лесно да обясним и решението на задача (96-20) .

На осемнадесетия турнир „Черноризец Храбър“ през 2009 година бяха дадени следните задачи в групите VII – VIII и IX – X клас.

Задача 15 (VII – VII клас): лазерен лъч излиза от точка върху рамото \(\mathrm{p} \rightarrow\) на ъгъл \(\mathrm{pOq}=10^{\circ}\), перпендикулярна на \(\mathrm{p} \rightarrow\), и последователно се отразява от рамото \(\mathrm{q} \rightarrow\), после от \(\mathrm{p} \rightarrow\) и т.н. Кой от ъглите \(70^{\circ}, 60^{\circ}, 45^{\circ}, 30^{\circ}\) или \(10^{\circ}\) не може да бъде ъгъл на отражение на лазерния лъч?

Задача 9 (IX – X клас): лазерен лъч излиза от точка върху рамото \(\mathrm{p} \rightarrow\) на ъгъл \(\mathrm{pOq}=10^{\circ}\), перпендикулярна на \(\mathrm{p} \rightarrow\), и последователно се отразява от рамото \(\mathrm{q} \rightarrow\), после от \(\mathrm{p} \rightarrow\) и т.н. Колко пъти се е отразил лъчът?

За учениците от школата по математика на ПМГ „Васил Друмев“ – Велико Търново, които бяха запознати с идеята за решаване на гореизложените задачи, не беше проблем да решат задачата за своята възрастова група.

NOTES/БЕЛЕЖКИ

1. Темата е описана подробно в две съвместни публикации на автора: „Когато дължините на страните на триъгълника образуват аритметична прогресия“, сп. Математика, 2007 г., бр. 2, стр. \(8-13\), и „Триъгълник и прогресия“, сп. Математика, 2007 г., бр. 3, стр. \(11-14\).

2. Доклад по тази тема е изнесен на Международния конгрес на математиците (MASSEE), проведен от 16 до 20 септември 2009 г. в Охрид.