Рубриката се води от доц. д-р Веселин Ненков

Задача 1. Върху правата \(A B\) е взета произволна точка \(C\). Точките \(M\) и \(N\) лежат в една полуравнина спрямо \(A B\) и са такива, че \(\triangle A C M\) и \(\triangle C B N\) са равностранни. Ако \(T\) е петата на перпендикуляра, спуснат от \(C\) към \(M N\), да се намери геометричното място на точката \(T\), когато \(C\) описва \(A B\).

Ксения Горская, Дарья Коптева, Даниил Микуров – Архангелск, Русия

Задача 2. Върху отсечката \(A B\) е взета произволна точка \(C\). Точките \(M\) и \(N\) лежат в различни полуравнини относно \(A B\) и са такива, че \(\triangle A C M\) и \(\triangle C B N\) са равностранни. Ако \(T\) е пресечната точка на общата допирателна през \(C\) за описаните окръжности на \(\triangle A C M\) и \(\triangle C B N\) с отсечката \(B M\), да се намери геометричното място на точката \(T\), когато \(C\) описва \(A B\).

Еркен Мудебаев, Казбек Мухамбетов, Адилбек Темирханов – Актау, Казахстан

Задача 3. Дадени са \(\triangle A B C\) и точки \(A_{0}, B_{0}\) и \(C_{0}\), B0 и C0 , лежащи съответно върху страните \(B C, C A\) и \(A B\). Вътрешно за \(\triangle A B C\) са построени равнобедрените триъгълници \(B A_{0} M_{a}, C B_{0} M_{b}\) и \(A C_{0} M_{c}\) с ъгли при основите \(B A_{0}, C B_{0}\) и \(A C_{0}\), равни на \(\alpha_{0}\). Аналогично, вътрешно за \(\triangle A B C\) са построени равнобедрените триъгълници \(C A_{0} N_{a}, A B_{0} N_{b}\) и \(B C_{0} N_{c}\) с ъгли при основите \(C A_{0}, A B_{0}\) и \(B C_{0}\), равни на \(\beta_{0}\). Точките \(T_{a}, T_{b}\) и \(T_{c}\) са вътрешни за отсечките \(M_{a} N_{a}\), \(M_{b} N_{b}\) и \(M_{c} N_{c}\) и такива, че \(\tfrac{M_{a} T_{a}}{N_{a} T_{a}}=\tfrac{\cos \alpha_{0} \cdot A_{0} M_{a}}{\cos \beta_{0} \cdot A_{0} N_{a}}, \tfrac{M_{b} T_{b}}{N_{b} T_{b}}=\tfrac{\cos \alpha_{0} \cdot B_{0} M_{b}}{\cos \beta_{0} \cdot B_{0} N_{b}}\), \(\tfrac{M_{c} T_{c}}{N_{c} T_{c}}=\tfrac{\cos \alpha_{0} . C_{0} M_{c}}{\cos \beta_{0} . C_{0} N_{c}}\). Когато \(A_{0}, B_{0}\) и \(C_{0}\) се движат по \(B C, C A\) и \(A B\), точките \(T_{a}, T_{b}\) и \(T_{c}\) описват съответно геометричните места \(\pi_{a}, \pi_{b}\) и \(\pi_{c}\). Да се докаже, че:

а) геометричните места \(\pi_{a}, \pi_{b}\) и \(\pi_{c}\) са части от параболи;

б) ако \(V_{a}, V_{b}\) и \(V_{c}\) са върховете на параболите \(\pi_{a}, \pi_{b}\) и \(\pi_{c}\), правите \(A V_{a}, B V_{b}\) и \(C V_{c}\) се пресичат в една точка или са успоредни.

Лили Стефанова, Ирина Христова, Радина Иванова – Ловеч, България

Краен срок за изпращане на решения 31 май 2017 г.

Конкурсът продължава и през настоящата година. В края на 2016 г. ще бъдат определени читателите с най-интересни решения на конкурсните задачи, а така също най-активните композитори на нови задачи, както и авторите на най-интересните статии. Първенците ще получат безплатни годишни абонаменти за 2017 г.

Решенията трябва да бъдат представяни ясно, като всяка задача е задължително да бъде на отделен лист. Моля, изпращайте решенията на адреса на редакцията или в електронен вид на mathinfo@azbuki.bg и vnenkov@mail.bg