Рубриката се води от доц. д-р Веселин Ненков

Задача 1. Да се докаже, че при \(x \neq 1\) и \(n \in \mathbb{N}\) са изпълнени равенствата:

a) \(\sum_{k=1}^{n} k x^{k-1}=\tfrac{n x^{n+1}-(n+1) x^{n}+1}{(1-x)^{2}}\);

б) \(\sum_{k=1}^{n}(2 k-1) x^{k-1}=\tfrac{(2 n-1) x^{n+1}-(2 n+1) x^{n}+x+1}{(1-x)^{2}}\);

в) \(\sum_{k=1}^{n} k^{2} x^{k-1}=\tfrac{-n^{2} x^{n+2}+\left(2 n^{2}+2 n-1\right) x^{n+1}-(n+1)^{2} x^{n}+x+1}{(1-x)^{3}}\).

Слави Харалампиев и Румяна Несторова, Враца

Задача 2. В остроъгълния триъгълник \(A B C\) точката \(O\) е такава, че \(∢ O A B=∢ O C A\) и \(∢ O B A=∢ O C B\). Ако \(D\) е пресечната точка на симетралата на отсечката \(O C\) и правата през \(B\), успоредна на \(O C\), да се докаже, че ортогоналните проекции на \(O\) върху правите \(C A, A B, B D\) и \(D C\) са върхове на равнобедрен трапец или правоъгълник.

Хаим Хаимов, Варна

Задача 3. Точките \(O, A, A_{1}\) и \(A_{2}\) в този ред лежат на права \(l_{1}\), а точките \(O, B, B_{1}, B_{2}\) в този ред лежат на права \(l_{2}\). Нека \(O A \gt O B, A A_{1}=B B_{1}\) и \(A_{1} A_{2}=B_{1} B_{2}\).

а) Да се докаже, че описаните окръжности \(k, k_{1}\) и \(k_{2}\) съответно на триъгълниците \(O A B, O A_{1} B_{1}\) и \(O A_{2} B_{2}\) имат втора обща точка \(M\).

б) Ако \(C, C_{1}\) и \(C_{2}\) са средите съответно на отсечките \(A B, A_{1} B_{1}\) и \(A_{2} B_{2}\), да се докаже, че \(C, C_{1}\) и \(C_{2}\) лежат на една права \(l\).

в) Ако \(l \cap l_{1}=P\), да се определи ъгълът между правите \(l_{1}\) и \(M P\).

Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм

Краен срок за изпращане на решения 31 март 2018 г.

Конкурсът е традиционен и победителите ще бъдат наградени. В края на 2017 г. ще бъдат определени читателите с най-интересни решения на конкурсните задачи, а така също най-активните композитори на нови задачи, както и авторите на най-интересните статии в списанието. Първенците ще получат безплатни годишни абонаменти за 2018 г.

Решенията трябва да бъдат представени ясно, като е задължително всяка задача да е на отделен лист. Моля, изпращайте решенията на адреса на редакцията или в електронен вид на mathinfo@azbuki.bg \(u\) vnenkov@mail.bg.