Научно-методически статии
ФРАКТАЛЬНЫЕ МЕТО
Резюме. В данной статье рассмотрены приложения фрактальной геометрии в физике. Разработана методика исследования множества Жюлиа преобразования перенормировки \(R_{q}(x)=\left(\tfrac{x^{2}+q-1}{2 x+q-2}\right)^{2}\) для \(q=-0,1\), которое совпадает с множеством нулей Янга-Ли, указаны приложения идей фрактальной геометрии в теории турбулентности и других разделах физики.
Ключови думи: Julia set, renormalization, fixed and critical points, orbit of a point, phase transition
Идеи фрактальной геометрии находят широкое применение в различных областях человеческих знаний. Данной науке посвящено много сайтов, написаны монографии, проводятся представительные научные конференции различного уровня. Об интенсивности исследований в области фрактальной геометрии свидетельствуют работы цитированные в данной статье.
В данной статье мы рассмотрим приложения фрактальной геометрии в физике. Следуя (Пайтген & Рихтер, 1993), приведем обзорно приложения фрактальных множеств Жюлиа, которые интенсивно проникают в теоретические исследования. В 1952 году физики Янг и Ли предложили рассматривать фазовые переходы (изменение состояния вещества) не только в реальном мире, но и в математическом мире комплексных чисел. Поясним это подробнее: по теореме Гаусса алгебраическое уравнение \(N\)-й степени \(c_{0}+c_{1} x+c_{2} x^{2}+\ldots+c_{N} x^{N}=0\) (*) имеет ровно \(N\) нулей в комплексной плоскости. Известно суждение, что «настоящие» фазовые переходы происходят только в пределе при очень большом числе частиц. Янг и Ли получили следующую картину. В случае, когда число частиц конечно, алгебраическое уравнение (*) имеет конечное число нулей в комплексной плоскости. По мере того, как растет число частиц, увеличивается и число нулей, которое становится все плотнее и прижимается к действительной оси, выстраиваясь в прямую линию, которая пересечет ось \(O X\) в точке \(x_{c}\). Тогда вещественные области \(x \lt x_{c}\) и, \(x \gt x_{c}\) которые характеризуют фазы 1 и 2, естественно продолжаются на комплексную плоскость, а линию нулей можно интерпретировать как комплексную фазовую границу. Для иерархических моделей удалось доказать, что множество Жюлиа преобразования перенормировки, которое является рациональным отображением, в точности совпадает с множеством нулей Янга – Ли в термодинамическом пределе. Следуя (Пайтген & Рихтер, 1993), рассмотрим решетку с рекуррентной структурой, имеющую на \(n\)-й стадии \(4^{n-1}\) связей, каждая из которых на \((n+1)\)-й стадии заменяется двумя новыми узлами решетки и четырьмя связями. Статистическая сумма решетки на стадии \(n\) представляет собой многочлен степени \(4^{n-1}\). Редукция с \(n\)-й стадии на (\(\left.n-1\right)\)-ю осуществляется с помощью суммирования. Получен результат:
\[ \begin{aligned} & Z_{(n)}(x)=Z_{(n-1)}\left(x^{\prime}\right)_{(n)}, \text { где } \\ & R_{q}(x)=\left(\tfrac{x^{2}+q-1}{2 x+q-2}\right)^{2} \text { и } \varphi(n)=(2 x+q-2)^{2 \cdot 4^{n-2}}(\text { Пайтген \& Рихтер, 1993). } \end{aligned} \]
Деррида, Де Сезе и Ициксон впервые обнаружили тождественность нулей Янга–Ли в термодинамическом пределе с множеством Жюлиа преобразования перенормировки.
В (Пайтген & Рихтер, 1993) изображены фазовые границы в смысле Янга-Ли и в смысле перенормировок, продолженные в комплексную плоскость. Однако подробных пояснений нет, что вызывает многочисленные вопросы у бакалавров, студентов, магистров и аспирантов, изучающих теорию фазовых переходов.
Проведем исследование при \(q=-0,1\).
Имеем: \(R_{q}(x)=\left(\tfrac{x^{2}-0,1-1}{2 x-0,1-2}\right)^{2}=\left(\tfrac{x^{2}-1,1}{2 x-2,1}\right)^{2}\).
Неподвижные точки находятся из уравнения: \(\left(R_{q}(x)\right)^{(1)}=x,\left(\tfrac{x^{2}-1,1}{2 x-2,1}\right)^{2}=x\). Произведя преобразования, получим: \(x^{4}-2,2 x^{2}+1,21=4 x^{3}-8,4 x^{2}+4,41 x\). Данное уравнение равносильно уравнению \(x^{4}+6,2 x^{2}-4 x^{3}-4,41 x+1,21=0\). Решая последнее уравнение с помощью среды MathCAD, получим:
\[ \text { polyroots }\left(\left(\begin{array}{c} 1.21 \\ -4.41 \\ 6.2 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{c} 0.975+0.449 \mathrm{i} \\ 0.975-0.449 \mathrm{i} \\ 1 \\ 1.049 \end{array}\right) \]
\[ \begin{aligned} & \mathrm{x}_{1}=0.975+0.449 \mathrm{i} \\ & \mathrm{x}_{2}=0.975-0.449 \mathrm{i} \\ & \mathrm{x}_{3}=1 \\ & \mathrm{x}_{4}=1.049 \end{aligned} \]
Заметим также, что неподвижной точкой отображения \(R_{q}(x)=\left(\tfrac{x^{2}-0,1-1}{2 x-0,1-2}\right)^{2}=\left(\tfrac{x^{2}-1,1}{2 x-2,1}\right)^{2}\) будет и точка \(\infty\).
Определим характер найденных неподвижных точек:
\(\tfrac{d}{d x}\left(\tfrac{x^{2}-1.1}{2 \cdot x-2.1}\right)^{2}=\tfrac{4 \cdot x \cdot\left(x^{2}-1.1\right)}{(2 \cdot x-2.1)^{2}}-\tfrac{4 \cdot\left(x^{2}-1.1\right)^{2}}{(2 \cdot x-2.1)^{3}}\)
\(\left|\tfrac{\mathrm{dR}_{\mathrm{q}}}{\mathrm{dx}_{1}}\right|=\left|\tfrac{4 \cdot(0.975+0.449 \mathrm{i}) \cdot\left[(0.975+0.449 \mathrm{i})^{2}-1.1\right]}{[2 \cdot(0.975+0.449 \mathrm{i})-2.1]^{2}}-\tfrac{4 \cdot\left[(0.975+0.449 \mathrm{i})^{2}-1.1\right]^{2}}{[2 \cdot(0.975+0.449 \mathrm{i})-2.1]^{3}}\right|^{2}=1.048\)
\(\left|\tfrac{\mathrm{dR}_{\mathrm{q}}}{\mathrm{dx}_{2}}\right|=\left|\tfrac{4 \cdot(0.975-0.449 \mathrm{i}) \cdot\left[(0.975-0.449 \mathrm{i})^{2}-1.1\right]}{[2 \cdot(0.975-0.449 \mathrm{i})-2.1]^{2}}-\tfrac{4 \cdot\left[(0.975-0.449 \mathrm{i})^{2}-1.1\right]^{2}}{[2 \cdot(0.975-0.449 \mathrm{i})-2.1]^{3}}\right|^{2}=1.048\)
\(\left|\tfrac{\mathrm{dR}_{\mathrm{q}}}{\mathrm{dx}_{3}}\right|=\left|\tfrac{4 \cdot 1 \cdot\left(1^{2}-1.1\right)}{(2 \cdot 1-2.1)^{2}}-\tfrac{4 \cdot\left(1^{2}-1.1\right)^{2}}{(2 \cdot 1-2.1)^{3}}\right|=0\)
\(\left|\tfrac{\mathrm{dR}_{\mathrm{q}}}{\mathrm{dx}_{4}}\right|=\left|\tfrac{4 \cdot 1.049 \cdot\left(1.049^{2}-1.1\right)}{(2 \cdot 1.049-2.1)^{2}}-\tfrac{4 \cdot\left(1.049^{2}-1.1\right)^{2}}{(2 \cdot 1.049-2.1)^{3}}\right|=501.049\)
Точка \(x_{3}=1\)-притягивающая неподвижная точка.
Точки \(\mathrm{x}_{1}=0.975+0.449 \mathrm{i}, \mathrm{x}_{2}=0.975-0.449 \mathrm{i}, \mathrm{x}_{4}=1.049\)– отталкивающие непо\(\left|\left(R_{q}\left(x_{4}\right)\right)^{\prime}\right|=501,049\)движные точки, . Полученные вычисления пок поскольку \(\left|\left(R_{q}\left(x_{1}\right)\right)^{\prime}\right|=1,048, \quad\left|\left(R_{q}\left(x_{2}\right)\right)^{\prime}\right|=1,048, \quad\left|\left(R_{q}\left(x_{3}\right)\right)^{\prime}\right|=0\)азывают, что из четырех точек \(x_{1}\) , \(x_{2} x_{3} x_{4}\) притягивающей неподвижной точкой будет только точка \(x_{3}=1\).
Согласно теореме Б.2.4. каждый притягивающий цикл \(A\) притягивает критическую точку \(c\) (Кроновер, 2000).
Поэтому для нас важны критические точки отображения \(R_{q}(x)=\left(\tfrac{x^{2}-0,1-1}{2 x-0,1-2}\right)^{2}=\left(\tfrac{x^{2}-1,1}{2 x-2,1}\right)^{2}\), которые мы сейчас найдем, не используя информационно-коммуникационные технологии. Имеем:
\(\left(R_{q}(x)\right)^{\prime}=\left[\left(\tfrac{x^{2}-1,1}{2 x-2,1}\right)^{2}\right]^{\prime}=2\left(\tfrac{x^{2}-1,1}{2 x-2,1}\right) \cdot\left(\tfrac{x^{2}-1,1}{2 x-2,1}\right)^{\prime}=2\left(\tfrac{x^{2}-1,1}{2 x-2,1}\right) \cdot \tfrac{2 x(2 x-2,1)-2\left(x^{2}-1,1\right)}{(2 x-2,1)^{2}}=\)
\(=2\left(\tfrac{x^{2}-1,1}{2 x-2,1}\right) \cdot \tfrac{4 x^{2}-4,2 x-2 x^{2}+2,2}{(2 x-2,1)^{2}}=2\left(\tfrac{x^{2}-1,}{2 x-2,1}\right) \cdot \tfrac{2 x^{2}-4,2 x+2,2}{(2 x-2,1)^{2}}=\tfrac{4\left(x^{2}-1,1\right)\left(x^{2}-2,1 x+1,1\right)}{(2 x-2,1)^{3}}\)
Критическими точками отображения \(R_{q}(x)\) являются: \(x_{1}=1 ; x_{2}=\tfrac{2,1}{2}=1,05\); \(x_{3}=\sqrt{1,1} \approx 1,0488 ; x_{4}=-\sqrt{1,1} \approx-1,0488 ; x_{5}=1,1 ; x_{6}=\infty\).
Замечаем, что \(x_{1}=1\) является притягивающей неподвижной точкой. Точка \(\mathrm{x}_{6}=\infty\) также является неподвижной притягивающей точкой для функции \(R_{-0,1}(x)\) (Кроновер, 2000).
Точка \(x_{2}=\tfrac{2,1}{2}=1,05\) отображается на \(\infty\left(R_{-0,1}^{(1)}(1,05)=\left(\tfrac{1,05^{2}-1,1}{2,1-2,1}\right)^{2}=\infty\right)\) после первого шага и остается там: \(R_{-0,1}^{(2)}(1,05)=\infty \ldots R_{-0,1}^{(n)}(1,05)=\infty\).
Так как \(R_{-0,1}^{(1)}( \pm \sqrt{1,1})=0\), 1(± 1, 1) = 0 , то остается исследовать только траектории точек 1,1 и 0. Согласно (Пайтген & Рихтер, 1993) траектории этих точек взаимодополняющие, и достаточно исследовать траектории точек \(\pm \sqrt{1,1}\), , что равносильно исследованию траектории точки 0 ибо \(R_{-0,1}^{(1)}( \pm \sqrt{1,1})=0\). Итак, мы имеем:
\[ \begin{aligned} & R_{-0,1}^{(1)}( \pm \sqrt{1,1})=0 \\ & R_{-0,1}^{(2)}( \pm \sqrt{1,1})=\left(\tfrac{1,1}{2,1}\right)^{2} \approx(0,5238)^{2} \approx 0,27 \\ & R_{-0,1}^{(3)}( \pm \sqrt{1,1})=\left(\tfrac{0,0729-1,1}{0,54-2,1}\right)^{2}=\left(\tfrac{1,0271}{1,56}\right)^{2} \approx(0,6584)^{2} \approx 0,43 \\ & R_{-0,1}^{(4)}( \pm \sqrt{1,1})=\left(\tfrac{0,1849-1,1}{0,86-2,1}\right)^{2}=\left(\tfrac{0,9151}{1,24}\right)^{2} \approx(0,738)^{2} \approx 0,54 \\ & R_{-0,1}^{(5)}( \pm \sqrt{1,1})=\left(\tfrac{0,2916-1,1}{1,08-2,1}\right)^{2}=\left(\tfrac{0,8084}{1,02}\right)^{2} \approx(0,7925)^{2} \approx 0,63 \\ & R_{-0,1}^{(6)}( \pm \sqrt{1,1})=\left(\tfrac{0,3969-1,1}{1,26-2,1}\right)^{2}=\left(\tfrac{0,7031}{0,84}\right)^{2} \approx(0,837)^{2} \approx 0,7 \end{aligned} \]
Поскольку \(\left(R_{q}(x)\right)^{\prime}=\tfrac{4\left(x^{2}-1,1\right)\left(x^{2}-2,1 x+1,1\right)}{(2 x-2,1)^{3}}\), то при \(x \in(0 ; 1)\left(R_{q}(x)\right)^{\prime} \gt 0\) и \(R_{q}(1)=1\), то замечаем, что \(\lim _{n \rightarrow \infty}\left(R_{q}^{(n)}( \pm \sqrt{1,1})\right)=1\).
Согласно (Пайтген & Рихтер, 1993) в данном случае не может быть дополнительных аттракторов, что иллюстрирует Рис.1. То есть аттракторами являются только точки 1 и \(\infty\).
Рис. 1 Сингулярности Янга-Ли – множество Жюлиа преобразования перенормировки для \(q=-0,1\)
Были разработаны алгоритмы выявления сингулярности Янга-Ли – множество Жюлиа преобразования перенормировки отображений \(R_{q}(x)=\left(\tfrac{x^{2}+q-1}{2 x+q-2}\right)^{2}\) для \(q=-0,1\), с помощью языка программирования Pascal. Представим фрагмент программного кода, реализующего данный алгоритм:
Опишем кратко представленный фрагмент программы:
[1] счётчик количества итераций
[2] функция возведения в степень комплексного числа, т.е. \(z^{2}\)
[3] вычисление действительной части числителя, т.е. \(z^{2}-1,1\) (мнимая часть не изменится)
[4] вычисление действительной части знаменателя, т.е. \(2 z-2,1\)
[5] вычисление мнимой части знаменателя, т.е. 2z
[6] функция нахождения частного двух комплексных чисел, т.е. \(\tfrac{z^{2}-1,1}{2 z-2,1}\)
[7] функция возведения в степень комплексного числа, т.е. \(\left(\tfrac{z^{2}-1,1}{2 z-2,1}\right)^{2}\)
[8-11] условия для неподвижных точек \(\mathrm{x}_{1}=0,975+0,449 \mathrm{i}, \mathrm{x}_{2}=0,975-0,449 \mathrm{i}, \mathrm{x}_{3}=1\), \(\mathrm{x}_{4}=1,049\)
[12] Закрашиваем в чёрный цвет все точки, которые удовлетворяют условиям [13] Иначе закрашиваем в белый цвет
Укажем применение идей фрактальной геометрии в других разделах физики.
Мандельброт отмечает: «Метод фрактальной геометрии стал частью математического инструментария гидроаэродинамики, гидрологии и метеорологии. Его эффективность объясняется уникальной способностью выражать большое количество запутанных, неупорядоченных данных несколькими простыми формулами. Эта способность особенно ярко проявляется в случае мультифрактальности – фундаментального понятия при изучении турбулентности и полезного инструмента на финансовых рынках. Поэтому я и другие ученые на протяжении по-следних нескольких десятилетий использовали понятия фрактальной геометрии для изучения и создания моделей рынков. Несмотря на сорок лет исследований, работа продолжается. Она не только не закончена – она едва началась».
Фракталы с большой точностью описывают многие физические явления и образования реального мира: горы, облака, корни, ветви и листья деревьев, кровеносные сосуды, что далеко не соответствует простым геометрическим фигурам. Фракталы находят всё большее применение в науке. Броуновское движение – это, например, случайное и хаотическое движение частичек пыли, взвешенных в воде. Этот тип движения, возможно, является аспектом фрактальной геометрии, имеющий наибольшее практическое использование. Случайное броуновское движение имеет частотную характеристику, которая может быть использована для предсказания явлений, включающих большие количества данных и статистики.
В настоящий момент фрактальные структуры воспроизводятся с помощью некоторых агрегационных явлений (осаждение, фильтрация, электролиз, и агрегация коллоидов, аэрозоли, пыли, сажи). Фрактальные кластеры (агрегаты) образуются в растворе при образовании геля, т.е. кластера, состоящего из соединенных частиц-золей; при образовании подобных систем в дымах и туманах; при релаксации металлического пара; при образовании пленок на поверхности в процессе напыления их из струи, содержащей аэрозоли; при образовании кластеров из частиц, находящихся в суспензиях и коллоидных растворах. Возникает новая область естествознания – физика фракталов. Появилась теория фрактальных трещин, модель трения для фрактальных поверхностей, фрактальная механика древесно-полимерных композитов и пр. Физическое определение фрактала следующее: „Фракталы – это геометрические объекты (линии, поверхности, тела), имеющие сильно изрезанную структуру и обладающие свойством самоподобия в ограниченном масштабе“.
Фракталы иначе рассеивают электромагнитное излучение, по-другому колеблются и звучат, иначе проводят электричество, по фракталам иначе происходит диффузия вещества. Поэтому в рамках элективных курсов учащихся \(10-11\) классов, а, следовательно, и студентов в рамках дисциплин по выбору можно познакомить с элементами фракталов.
В настоящее время назрела насущная необходимость рассматривать современные радиолокационные системы в совокупности с каналом распространения радиоволн и объектами зондирования с точки зрения теории сложных неравновесных систем, открытых для потоков энергии, энтропии и информации. В основе радиофизического применения теории фракталов лежат принципиально новые методы обработки полей и сигналов, которые используют дробную топологическую размерность пространства сигналов и изображений, математический аппарат дробных интегралов и производных и эффекты самоподобия. Дробные фрактальные размерности характеризуют не только топологию исследуемых объектов, но и отражают процессы эволюции динамических систем и связаны с их свойствами. По своему содержанию контуры всех природных объектов суть динамические процессы, внезапно застывшие в физических формах и объединяющие в себе устойчивость и хаос.
Идеи фрактальной геометрии применятся в теории турбулентности. В классической книге „Фрактальная геометрия природы» основателя теории фракталов Бенуа Мандельброта, переведенной на многие языки и выдержавшей несколько изданий, говорится: „Кроме того, именно в контексте турбулентности теория каскадов и самоподобия достигла своих прогнозистских триумфов между 1941 и 1948 гг. Главными действующими лицами здесь были Колмогоров, Обухов, Онсагер и Фон Вайцзекер, однако традиция связывает достижения этого периода только с именем Колмогорова“. Ученик А. Н. Колмогорова А. М. Яглом дает краткое описание турбулентности: „Турбулентность – явление, наблюдаемое в громадном большинстве течений жидкости и газов, встречающихся как в природе, так и в технических устройствах или лабораторных установках. Оно заключается в наличии беспорядочных пульсаций (т.е. хаотических изменений в пространстве и во времени) скорости \(U\), давления \(P\) и других гидродинамических характеристик рассматриваемых течений, делающих соответствующие гидродинамические поля \(U(x, t), P(x, t)\) и др. резко изменчивыми и крайне нерегулярными“. Уриэл Фриш, известный своими работами по фрактальным моделям однородной турбулентности, в книге „Турбулентность. Наследие А. Н. Колмогорова“ отмечает, что теория динамических систем не только оказалась полезной в ряде случаев при исследовании турбулентности, но и сама развивалась под влиянием этих исследований.
В статье „Локальная структура турбулентности в несжимаемой вязкой жидкости при очень больших числах Рейнольдса“, опубликованной в 1941 году Колмогоров пишет: „С энергетической точки зрения процесс турбулентного перемешивания естественно представлять себе так: пульсации первого порядка поглощают энергию осредненного движения и передают ее последовательно пульсации более высоких порядков; энергия же самых мелких пульсаций рассеивается в тепловую благодаря вязкости. В силу хаотического механизма передачи движения от пульсаций низших порядков к пульсациям более высоких порядков естественно допустить, что в пределах малых по сравнению с \(l^{(1)}\) областей пространства мелкие пульсации высших порядков подчинены приближенно пространственно изотропному статистическому режиму“.
Таким образом, спектр применения фрактальной геометрии в физике достаточно широк.
Следует отметить, что самоподобие, как и дробная размерность Хаусдорфа, является одной из важных характеристик фрактала. Причем хаотичность отображений наблюдается очень часто на фрактальных множествах.
ЛИТЕРАТУРА
Божокин, С. В. & Паршин, Д.А. (2001). Фракталы и мультифракталы. Москва, Ижевск: НИЦ „Регулярная и хаотическая динамика“. (128 с.)
Кроновер, Р. М. (2000). Фракталы и хаос в динамических системах. Москва:
Постмаркет. (пер. с англ. под ред. Т. Э. Крэнкеля, 352 с.)
Мандельброт, Б. (2002). Фрактальная геометрия природы. Москва: Ин-т компьютер. исслед. (656 с.)
Морозов, А. Д. (2002). Введение в теорию фракталов. Москва, Ижевск: Ин-т компьютер. исслед. (159 с.)
Пайтген, Х. & Рихтер П. (1993). Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. Москва: Мир. (176 с.)
Секованов, В. С. (2006). Методическая система формирования креативности студента университета в процессе обучения фрактальной геометрии. Кострома: КГУ им. Н. А. Некрасова. (279 с.), (17, 43 п. л.).
Секованов, В. С. (2004). Формирование креативной личности студента вуза при обучении математике на основе новых информационных технологий. Кострома: КГУ им. Н. А. Некрасова. (231 с.), (14, 43 п.л.).
Секованов, В. С. (2005). Элементы теории фрактальных множеств: учебное пособие с грифом УМО для студентов классических университетов специальности „Прикладная математика и информатика“. Кострома: КГУ им. Н. А. Некрасова. (135 с.), (8,43 п.л.).
Секованов, В. С. (2006). Элементы теории фрактальных множеств: учебное пособие с грифом УМО для студентов классических университетов специальности „Прикладная математика и информатика“. (2-е издание, переработанное и дополненное). Кострома: Костромской государственный университет им. Н. А. Некрасова. (157 с.), (9,81 п.л.).
Секованов, В. С.(2010). Элементы теории фрактальных множеств: учебное пособие с грифом УМО для студентов классических университетов специальности „Прикладная математика и информатика“. (3-е издание, переработанное и дополненное). Кострома: Костромской государственный университет им. Н. А. Некрасова. (180 с.), (12,5 п.л.).
Секованов, В. С. (2012). Элементы теории фрактальных множеств: учебное пособие для студентов классических университетов специальности „Прикладная математика и информатика“. (4-е издание, переработанное и дополненное). Кострома: Костромской государственный университет им. Н. А. Некрасова. (208 с.), (13 п.л.).
Секованов, В. С. (2013). Элементы теории фрактальных множеств. Учебное пособие. (5-е издание, переработанное и дополненное). Москва: Книжный дом „ЛИБЕРКОМ“. (248 с., (15,5 п.л.).
Шредер, М. (2001). Фракталы, хаос, степенные законы (миниатюры из бесконечного рая) . Москва, Ижевск: НИЦ „Регулярная и хаотичная динамика“. (528 с.) Grozdev, S. (2007). For High Achievements in Mathematics. The Bulgarian experience (Theory and Practice) . Sofia: ADE.
Falconer, K. (1990). Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. New York: John Wiley. (367 p.)