Резюме. В статията се разглежда фигурата елиптичен арбелос – елипса и две допиращи я окръжности с центрове във фокусите й. Разгледани са три типа елиптичен арбелос – тангенциален, пресекателен и непресекателен. Доказани са някои основни резултати, дадени са примери за конфигурации тип Сангаку. Изследвана е конструкция от допирателни и перпендикуляри към тях и връзката с типовете елиптичен арбелос. Въведено е понятието Архимедови окръжности в елиптичния арбелос и е описан алгоритъм за построяването им със система за динамична геометрия. Формулирани са отворени въпроси.

Ключови думи: elliptic arbelos, Sangaku, Archimedes’ circles

Увод

Традиционната японска математика Васан впечатлява с изящество и оригиналност, което е провокирало трайния интерес към нея по света и в частност у нас. На страниците на списание Математика и информатика години наред проф. Йордан Табов предлага на вниманието на читателите автентични задачи сангаку в рубриката Задача на броя. В рамките на една по-обща програма, а именно изготвяне на динамични конструкции на конфигурации сангаку, решихме да разгледаме конфигурацията от фигура 1.

Фиг. 1 Задача на броя (МИ, 2005).

Предизвикателството се състоеше в съставянето на задача по дадения чертеж. При това не са посочени връзки между отделните елементи на конструкцията. Макар чертежът да дава представа за повечето такива връзки, за най-съществената – между елипсата и двете външно допиращи се окръжности – не е казано нищо. Ясно е само, че тези окръжности допират елипсата вътрешно във върховете й.

Фигурата, съставена от елипса и две вътрешно допиращи я окръжности, които взаимно се допират външно, наподобява геометричен арбелос (Архимед, III в. пр. н. е.). Елипсата в конструкцията сангаку поема ролята на външната дъга на геометричния арбелос. Нещо повече, както се вижда на фигура 2 (снимката е от http://www.math.tamu.edu/~harold.boas/ preprints/arbelos.pdf, активна ноември, 2011), физическият арбелос има външна дъга, която е по-скоро дъга от елипса, отколкото от окръжност. Проучването в достъпните ни източници установи, че подобна фигура не е изучавана самостоятелно. Това ни даде основание да въведем понятието елиптичен арбелос, за който ще стане дума в настоящата статия.

1. Определение и основни параметри на елиптичен арбелос

Нека са дадени две окръжности \(k_{1,2}\left(A_{1,2} ; R\right)\). Означаваме \(c=A_{1} A_{2} / 2\). Окръжностите еднозначно определят елипса \(\varepsilon\) с фокуси \(A_{1} A_{2}\) и голяма полуос \(a=c+R\).

Фигурата, състояща се от \(k_{1}, k_{2}\) и \(\varepsilon\), k2 и e, ще наричаме елиптичен арбелос. По аналогия с (Гроздев & Ватанабе, 2011) елиптичния арбелос ще определяме като:

– тангенциален при \(R=c R=c\);

– пресекателен при \(R \gt c R \gt c\);

– непресекателен при \(R \lt c R \lt c\) (фиг. 3) .

Окръжностите \(k_{1}\) и \(k_{2}\) ще наричаме пораждащи окръжности на елиптичния арбелос.

Теорема 1. Елипсат а \(\varepsilon\) в елиптичния арбелос има малка полуос . (за тангенциален елиптичен арбелос \(b=\sqrt{3} R\) ).

Доказателство. Във формулата \(a^{2}=b^{2}+c^{2}\) заместваме \(a=c+R\) и изразяваме \(b=\sqrt{a^{2}-c^{2}}=\sqrt{(R+c)^{2}-c^{2}}=\sqrt{R^{2}+2 c R}\).

Теорема 2. Окръжността \(i\), която се допира външно до \(k_{1}\) и \(k_{2}\), както и вътрешно до \(\varepsilon\) (фигура 4), има радиус \(r=\tfrac{c^{2}+2 c R}{2 R+2 \sqrt{2 c R+R^{2}}}\). (за тангенциален елиптичен арбелос \(r=3(\sqrt{3}-1) R / 4)\).

Доказателство. При означенията на фигура 4 имаме \(A_{1} I=R+r, O I=b-r\). От Питагорова теорема за \(\Delta A_{1} O I\), отчитайки теорема 1, последователно получаваме

\[ A_{1} I^{2}=A_{1} O^{2}+O I^{2} \Rightarrow(R+r)^{2}=c^{2}+\left(\sqrt{R^{2}-2 c R}-r\right)^{2} \] Решаваме горното уравнение относно \(r\) и получаваме:

\[ r=\tfrac{c^{2}+2 c R}{2 R+2 \sqrt{2 c R+R^{2}}} \] Окръжността \(i\) от теорема 2 ще наричаме вписана окръжност в елиптичния арбелос. Следват три примера, описващи конкретни конфигурации в духа на Сангаку.

Пример 1. Ще намерим \(R\) за елиптичен арбелос, на който \(c=1\), и вписаните окръжности взаимно се допират (фиг. 5).

Решение: Поради симетрията относно \(A_{1} A_{2}\) двете вписани окръжности се допират помежду си точно когато се допират до правата \(A_{1} A_{2}\).

Конфигурацията се реализира точно когато диаметърът на вписаната окръжност \(i\) е равен на малката полуос на елипсата \(\varepsilon\). Съгласно теореми 1 и 2 при \(c=1\) за \(R\) получаваме уравнението

\[ 2 \cdot \tfrac{1+2 R}{2 R+2\sqrt{2 R+R^{2}}}=\sqrt{R^{2}+2 R} . \] След съкращаване на 2 отляво решаваме горното уравнение с пакета MATHEMATICA (за изчертаването приемаме приближението \(R \approx 0,56\) ).

Пример 2. Ще намерим \(R\) на елиптичен арбелос с \(c=1\), за който вписаните и пораждащите окръжности са еднакви (фиг. 6) .

Решение: Позовавайки се на теорема 2, решаваме уравнението \(r(R)=R\) при \(c=1\) с пакета MATHEMATICA:

\[ \begin{gathered} R=\tfrac{1+2 R}{2 R+2 \sqrt{2 R+R^{2}}} \\ R=\tfrac{1}{48}(3456-384 \sqrt{33})^{1 / 3}+\tfrac{(9+\sqrt{33})^{1 / 3}}{2 \cdot 6^{2 / 3}} \end{gathered} \]

Тази конфигурация се реализира в непресекателен елиптичен арбелос.

Пример 3. Ще намерим \(R\) на елиптичен арбелос с \(c=1\), вписаната окръжност на който има център върху \(A_{1} A_{2}\) (фиг. 7).

Решение: Конфигурацията се реализира точно когато радиусът на вписаната окръжност \(i\) е равен на малката полуос на елипсата \(\varepsilon\). Съгласно теореми 1 и 2 при \(c=1\), за \(R\) получаваме уравнението

\[ \tfrac{1+2 R}{2 R+2\sqrt{2 R+R^{2}}}=\sqrt{R^{2}+2 R} . \]

Решаваме горното уравнение с пакета MATHEMATICA и получаваме \(\mathrm{R}=1 / 4\).

Трябва да отбележим, че коректното прилагане на теорема 2 в този случай изисква внимание, тъй като \(\Delta A_{1} O I\) от доказателството на теорема 2 се изражда в отсечка.

2. Помощна конструкция

Конфигурацията на фигура 1 ни насочи към разглеждането на следната помощна конструкция.

Дадени са две точки \(A_{1,2}\) и отсечка R. Нека \(c=\tfrac{A_{1} A_{2}}{2}\). Построяват се окръжностите \(k_{1}\left(A_{1} ; R\right)\) и \(k_{2}\left(A_{2} ; R\right)\). Нека \(V_{1,2}\) са онези пресечни точки на правата \(A_{1} A_{2}\) съответно с \(k_{1,2}\), за които \(A_{1}\) и \(A_{2}\) са от отсечката \(V_{1} V_{2}\). Нека \(t_{1,2}\) са допирателните през \(V_{1,2}\) към \(k_{2,1}\), които се допират до съответните окръжности в една полуравнина относно \(A_{1} A_{2}\). Нека \(p_{2}\) е перпендикулярът през \(A_{2}\) към \(t_{2}\) и \(s_{2}\) е перпендикулярът през \(A_{2}\) към \(t_{1}\). Нека накрая \(E_{2}=p_{2} \cap t_{1}\) (фиг. 8).

Ще се ограничим със случая \(E_{2}\) да е в полуравнината с контур \(A_{1} A_{2}\), в която са допирните точки на \(t_{1,2}\) съответно с \(k_{2,1}\).

По-нататък ще работим в Декартова координатна система, за която \(A_{1,2}=(\mp c, 0)\), като приемем \(c=1\), което описва общия случай с точност до подобие. Навсякъде ще следваме означенията, въведени в конструкцията.

Лема 1. Уравненията на \(t_{1,2}\) са

\[ \begin{gathered} t_{1}: y=\tfrac{R}{2 \sqrt{1+R}}(x+1+R) \\ t_{2}: y=-\tfrac{R}{2 \sqrt{1+R}}(x-1-R) \end{gathered} \]

Доказателство. Ъгловия коефициент на \(t_{1}\) намираме от правоъгълния триъгълник с хипотенуза \(V_{1} A_{2}=2+R\) и катет \(R\).

Лема 2. Уравненията на \(\mathrm{p}_{2}\) и \(\mathrm{s}_{2} \mathrm{ca}\)

\[ \begin{gathered} p_{2}: y=\tfrac{2 \sqrt{1+R}}{R}(x-1) \\ s_{2}: y=-\tfrac{2 \sqrt{1+R}}{R}(x-1) \end{gathered} \]

Доказателство. От \(p_{2} \perp t_{2}\) следва, че ъгловият коефициент на \(p_{2}\) е

\[ -\tfrac{1}{-\tfrac{R}{2 \sqrt{1+R}}}=\tfrac{2 \sqrt{1+R}}{R} \] Сега от условието \(A_{2}(1 ; 0) \in p_{2}\) получаваме

\[ y-0=-\tfrac{2 \sqrt{1+R}}{R}(x-1) \]

От \(s_{2} \perp t_{1}\) следва, че ъгловият коефициент на \(s_{2}\) е

\[ -\tfrac{1}{\tfrac{R}{2 \sqrt{1+R}}}=-\tfrac{2 \sqrt{1+R}}{R} \]

Сега от условието \(A_{2}(1 ; 0) \in S_{2}\) получаваме

\[ y-0=-\tfrac{2 \sqrt{1+R}}{R}(x-1) . \]

Лема 3. Координатите на \(\mathrm{E}_{2}\) са

\[ \left(\tfrac{4+4 R+R^{2}+R^{3}}{4+4 R-R^{2}} ; \tfrac{2 R^{2} \sqrt{1+R}(2+R)}{4+4 R-R^{2}}\right) . \]

Доказателство. Решаваме системата

\[ \begin{gathered} y=\tfrac{R}{2 \sqrt{1+R}}(x+1+R) \\ y=\tfrac{2 \sqrt{1+R}}{R}(x-1) \\ \end{gathered} \]

и получаваме

\[ \begin{gathered} x=\tfrac{4+4 R+R^{2}+R^{3}}{4+4 R-R^{2}} \\ y=\tfrac{2 R^{2} \sqrt{1+R}(2+R)}{4+4 R-R^{2}} . \end{gathered} \]

От изразите за координатите на \(E_{2}\) става ясно, че \(E_{2}\) е в разглежданата полуравнина за \(R \in 2(1+\sqrt{2})\). При \(R=2(1+\sqrt{2})\) правите \(t_{1}\) и \(p_{2}\) са успоредни, а за \(R \gt 2(1+\sqrt{2})\) те се пресичат в противоположната на разглежданата полуравнина спрямо \(A_{1} A_{2}\).

Лема 4. Фокалните радиуси на \(E_{2}\) са

\[ \begin{gathered} E_{2} A_{1}=\tfrac{\sqrt{64+128 R+80 R^{2}+48 R^{3}+36 R^{4}-4 R^{5}+R^{6}}}{4+4 R-R^{2}} \\ E_{2} A_{2}=\tfrac{R(2+R)^{2}}{4+4 R-R^{2}} . \end{gathered} \]

Доказателство. От лема 3 за \(E_{2} A_{1}{ }^{2}\) извеждаме

\[ \tfrac{64+128 R+80 R^{2}+48 R^{3}+36 R^{4}-4 R^{5}+R^{6}}{\left(4+4 R-R^{2}\right)^{2}} \]

3a \(E_{2} A_{2}{ }^{2}\) имаме

\[ \tfrac{R^{2}(2+R)^{4}}{\left(-4-4 R+R^{2}\right)^{2}} \]

3. Връзка на конструкцията с елиптичния арбелос

Теорема 3. За тангенциален елиптичен арбелос точката \(E_{2}\) лежи на \(\varepsilon\) (фиг. 9).

Доказателство. За тангенциален елиптичен арбелос \(R=\tfrac{A_{1} A_{2}}{2}=c=1\).От лема 4 получаваме \(E_{2} A_{1}=\tfrac{19}{7}, E_{2} A_{2}=\tfrac{9}{7}\) и \(E_{2} A_{1}+E_{2} A_{2}=4=V_{1} V_{2}\), , следователно \(E_{2}\) лежи на \(\varepsilon\).

Теорема 4. За непресекателен елиптичен арбелос \(E_{2}\) лежи извън \(\varepsilon\); за пресекателен елиптичен арбелос \(E_{2}\) е извън \(\varepsilon\) (фиг. 10) .

Доказателство. Сравняваме сумата от фокалните радиуси \(E_{2} A_{1}+E_{2} A_{2}\) с голямата ос \(2 a=2(1+R)\). Изследваме неравенството \(E_{2} A_{1}+E_{2} A_{2} \lt 2(1+R)\) графично, построявайки с пакета MATHEMATICA двете графики:

1) на \(E_{2} A_{1}+E_{2} A_{2}\) като функция на \(R\) съгласно Лема 4

2) на \(2(1+R)(\) фиг. 11).

В интервала \((0 ; 2(1+\sqrt{2}))\) графиките се пресичат при \(R=1\). Дясната фигура по-казва взаимното положение на графиките в интервала \((0 ; 1,2)\).

• За непресекателен елиптичен арбелос \(\mathrm{R} \in(0 ; 1)\). В този случай графиката на \(E_{2} A_{1}+E_{2} A_{2}\) е под тази на голямата ос, т.е. \(E_{2} A_{1}+E_{2} A_{2} \lt 2(1+R)\) и \(E_{2}\) е вътрешна точка за \(\varepsilon\).

• За пресекателен елиптичен арбелос \(R \in(1 ; 2(1+\sqrt{2}))\). В този случай графиката на \(E_{2} A_{1}+E_{2} A_{2}\) е над тази на \(2(1+R)\), т.е. \(E_{2} A_{1}+E_{2} A_{2} \gt 2(1+R)\) и \(E_{2}\) е външна точка за елипсата.

Аналитично решение на неравенството ни беше предоставено от проф. Николай Николов. Той преобразува неравенството \(E_{2} A_{1}+E_{2} A_{2} \lt 2(1+R)\) в еквивалентното му \(64+128 R+80 R^{2}+48 R^{3}+36 R^{4}+4 R^{5}+4 R^{6}-\left(2(1+R)\left(4+4 R-R^{2}\right)-R(2+R)^{2}\right)^{2} \lt 0\).

След разлагане на полинома от лявата страна на неравенството той получава

\[ -8(-1+R) R(1+R)(2+R)\left(-4-4 R+R^{2}\right) . \]

Прилагайки метода на интервалите, Николай Николов стига до извода, че решенията на неравенството в интервала \((0 ; 2(1+\sqrt{2}))\) съответстват на нашето графично решение.

4. Връзка на конструкцията с вписаната окръжност

Наблюденията, направени на основата на динамични GeoGebra конструкции върху взаимното положение на \(s_{2}\) и вписаната окръжност, ни подсказват следната

Хипотеза. За тангенциален елиптичен арбелос \(s_{2}\) допира \(i\); за пресекателен елиптичен арбелос \(s_{2}\) пресича \(i\); за непресекателен елиптичен арбелос \(s_{2}\) и \(i\) нямат общи точки (фиг. 12).

За да потвърдим или отхвърлим хипотезата, първо ще установим следната

Лема 5. Уравнението на \(i\) e

\[ x^{2}+(y-b+r)^{2}=r^{2} \]

Доказателство. Центърьт на \(i\) е точката с координати \(I(0 ; b-r)\).

Проверка на хипотезата: Тангенциален елиптичен арбелос се получава при \(R=1\), а тогава според теореми 1 и 2 имаме \(b=\sqrt{3}\) и \(r=\tfrac{3(\sqrt{3}-1)}{4}\). Съгласно леми 2 и 5 трябва да установим, че системата

\[ \begin{gathered} x^{2}+\left(y-\sqrt{3}+\tfrac{3(\sqrt{3}-1)}{4}\right)^{2}=\tfrac{3(\sqrt{3}-1)^{2}}{4} \\ y=-2 \sqrt{2}(x-1) \end{gathered} \] има единствено решение. Решавайки системата с пакета MATHEMATICA, се оказва, че тя има две реални решения:

\[ \begin{gathered} x_{1,2}=\tfrac{1}{18}(16-3 \sqrt{2}-\sqrt{6} \pm \sqrt{2(23+6 \sqrt{2}-21 \sqrt{3}+2 \sqrt{6})}), \\ y_{1,2}=\tfrac{2}{9}(3+\sqrt{2}+\sqrt{3} \mp \sqrt{23+6 \sqrt{2}-21 \sqrt{3}+2 \sqrt{6}}) . \end{gathered} \]

По този начин хипотезата е отхвърлена в случая тангенциален елиптичен арбелос. От съображения за непрекъснатост може да се заключи, че тя не е в сила и за непресекателен елиптичен арбелос.

5. Обобщен елиптичен арбелос

Определението на елиптичен арбелос визира конфигурация от еднакви окръжности и еднозначно определена елипса с фокуси в центровете им. Това е в духа на обикновения арбелос, където външната дъга е еднозначно определена от двете по-малки дъги. Естествен е въпросът за обобщаване на това определение. За тази цел обаче подходът трябва да се смени.

Нека \(\varepsilon\) е елипса с фокуси \(F_{1,2}\) и върхове \(V_{1,2}, F_{1}\) се намира между \(V_{1}\) и \(F_{2}\left(V_{1} V_{2}\right.\) е голямата ос на \(\varepsilon\) ). Нека точките \(O_{1,2}\) са от отсечката \(V_{1} V_{2}\); разглеждаме окръжностите \(k_{1,2}\left(O_{1,2} ; R_{1,2}\right)\). С \(O\) означаваме средата на \(F_{1} F_{2}\). Нека \(\rho=\tfrac{O V_{1}{ }^{2}-O F_{1}{ }^{2}}{O V_{1}}\). Когато \(R_{1,2} \in(0 ; \rho]\) имаме обобщен елиптичен арбелос. Типовете тангенциален, пресекателен и непресекателен се запазват (фиг. 13).

Аналогичен е случаят, когато \(V_{1} V_{2}\) е малката ос на \(\varepsilon\).

Елиптичен арбелос имаме при \(R_{1}=R_{2}\) и \(O_{1,2} \equiv F_{1,2}\). Случаите, в които някоя от окръжностите е окръжност на кривина за елипсата във върховете \(V_{1} V_{2}\), се явяват гранични (\(R_{1}=\rho\) или \(R_{2}=\rho\) ). Ако \(R_{1} \gt \rho\) или \(R_{2} \gt \rho\), съответната окръжност пресича елипсата и аналогията с арбелоса се прекъсва, както е показано на фиг. 14.

6. Допълнение

Обичайният подход при изследване на (кръгов) арбелос е с инверсия относно окръжност с център допирната точка на вътрешните окръжности. В резултат на това се получават удобни за изследване конфигурации от успоредни прави и окръжности (Прасолов, 1986).

При елиптичния арбелос обаче образът на елипсата при инверсия в общия случай е линия от четвърта степен (Rangel-Mondragon, 2012). Например образът на елипсата на тангенциален елиптичен арбелос при инверсия относно единичната окръжност е кривата с уравнение

\[ \tfrac{x^{2}}{4}+\tfrac{y^{2}}{3}=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2} . \]

На фигура 15 са показани образите на две семейства елипси при инверсия относно окръжност с център върху голямата ос на елипсата (отляво) и център, съвпадащ с центъра на елипсата (отдясно).

7. Архимедови окръжности в обобщен елиптичен арбелос

Въпросът за Архимедовите окръжности-близнаци ни беше поставен от проф. Сава Гроздев на Националния кръг на конкурса „Математика и проектиране“ през 2012 г. Следват няколко резултата в тази насока.

По аналогия с (Гроздев&Ватанабе, 2011) построяваме радикалната ос \(a\) на по-раждащите окръжности в обобщен елиптичен арбелос. Окръжностите, допиращи се до \(a, \varepsilon, k_{1}\) и \(a, \varepsilon, k_{2}\), , наричаме Архимедови. Приближени пресмятания показват, че за разлика от окръжностите-близнаци в обобщения арбелос Архимедовите окръжности в обобщения елиптичен арбелос не са еднакви (фиг. 16).

За построяването им са ни необходими геометричното място на точки, равно отдалечени от пораждащите окръжности и радикалната ос, както и геометричното място на точките, равно отдалечени от радикалната ос и елипсата. Центърът на Архимедова окръжност е измежду общите точки на двете ГМТ, а радиусът може да се определи като разстоянието от центьра до \(a\).

Лема 6. Геометричното място на точки, равно отдалечени от права и окръжност, е парабола.

Доказателство. Нека са дадени правата \(a\) и окръжността \(k(O ; R)\). Разглеждаме правата \(d\), която е успоредна на \(a\) и е на разстояние \(R\) от нея, както е показано на фигура 17. Означаваме с П параболата с фокус \(O\) и директриса \(d\).

По-нататък със \(Z z\) ще означаваме разстоянието от точка \(Z\) до фигура \(z\). \(X k=X O-R, X a=X d-R\). Тогава \(X \in \Pi \Leftrightarrow X O=X d \Leftrightarrow X k=X a\).

Конструкция на точка, равно отдалечена от \(a\) и \(\varepsilon\).

1. Построяваме допирателна \(t\) към елипсата през точка \(\mathrm{P} \in \varepsilon\).

2. Построяваме ъглополовяща \(l\) на ъгъла между \(t\) и \(a\).

3. Построяваме нормалата \(n\) към \(\varepsilon\) през \(P\) и пресечната точка \(A\) на \(n\) и \(a\).

4. Построяваме окръжност \(a\) с център \(A\) и радиус \(A P\).

Лема 7. При горните означения, ако единствената обща точка на \(a\) и \(\varepsilon\) е \(P\), то тя е равно отдалечена от \(a\) и \(\varepsilon\).

Доказателство. \(A \in l \Rightarrow A a=A t, A \in n \Rightarrow A t=A P\). Щом \(P\) е единствената обща точка на \(a\) и \(\varepsilon\), то \(A \varepsilon=A P\) и \(A a=A \varepsilon\).

Извод. В условията на лема 7, когато точката \(P\) описва дъга от елипсата, точката \(A\) описва съответна дъга от \(L-\Gamma\) МТ, равно отдалечени от елипсата \(\varepsilon\) и правата \(a\) (фиг. 18).

За построяването на Архимедовите окръжности трябва да се построи окръжност с радиус \(A P\) и център пресечната точка на \(L\) и П.

8. Отворени въпроси

1) Въпросът за допирането на \(s_{2}\) и \(i\) е отворен и се свежда до изследване на знака на дискриминантата

\(-24 R^{3}-20 R^{4}+52 R^{5}+64 R^{6}+16 R^{7}+16 R^{4} \sqrt{1+R}+40 R^{5} \sqrt{1+R}+16 R^{6} \sqrt{1+R}-\) \(32 R^{3} \sqrt{2 R+R^{2}}-32 R^{4} \sqrt{2 R+R^{2}}+8 R^{4} \sqrt{(1+R)\left(2 R+R^{2}\right)}+16 R^{5} \sqrt{(1+R)\left(2 R+R^{2}\right)}\)

Възможен подход е приложеният в доказателството на теорема 4.

2) Видът на ГМТ \(L\) не ни е известен. Следва скицирана идея, която води до параметрично представяне на \(L\). Взимаме произволна точка \(\mathrm{P} \in \varepsilon\), зададена параметрично от \(\varphi: P\left(x_{\mathrm{p}} ; y_{\mathrm{p}}\right)\), където \(x_{\mathrm{p}}=a \cos \varphi x_{\mathrm{p}}, x_{\mathrm{p}}=b \sin \varphi y_{\mathrm{p}}\). Допирателната през \(P\) към \(\varepsilon\) е с уравнение \[ t: \tfrac{x_{P}}{a^{2}} x+\tfrac{y_{P}}{b^{2}} y=1 \] което записваме във вида

\[ t: y=\tfrac{b^{2}}{y_{P}}\left(1-\tfrac{x_{P}}{a^{2}} x\right)=\tfrac{b^{2}}{y_{P}}-\tfrac{x_{P} b^{2}}{y_{P} a^{2}} x \] Уравнението на нормалата \(n\) през \(P\) е

\[ n: \tfrac{y_{P} a^{2}}{x_{P} b^{2}}\left(x-x_{P}\right)+y_{P} \] За да получим уравнението на ъглополовящата \(l\), ни е необходимо нормалното уравнение на \(t\) : \[ t: \tfrac{\tfrac{x_{P}}{a^{2}} x+\tfrac{y_{P}}{b^{2}} y-1}{\sqrt{\tfrac{x_{P}{ }^{2}}{a^{4}}+\tfrac{y_{P}{ }^{2}}{b^{4}}}}=0 \]

Нека радикалната ос на пораждащите окръжности \(a: x=q\). Тогава уравнението на \(l\) е

\[ l:\left(\tfrac{\tfrac{x_{P}}{a^{2}}}{\sqrt{\tfrac{x_{P}{ }^{2}}{a^{4}}+\tfrac{y_{P}{ }^{2}}{b^{4}}}} \pm 1\right) x+\tfrac{\tfrac{y_{P}}{b^{2}}}{\sqrt{\tfrac{x_{P}{ }^{2}}{a^{4}}+\tfrac{y_{P}{ }^{2}}{b^{4}}}} y-\tfrac{1}{\sqrt{\tfrac{x_{P}{ }^{2}}{a^{4}}+\tfrac{y_{P}{ }^{2}}{b^{4}}}} \mp q=0 . \]

Координатите на центъра \(A_{2}\left(x_{\mathrm{P}} ; y_{\mathrm{P}}\right)\) на Архимедовата окръжност \(\mathrm{a}_{2}\) са решенията на система от уравненията на \(l\) и \(n\) \[ \left\{\begin{array}{c} x=\tfrac{\left(a^{2}-b^{2}\right) x_{P}}{a^{2}}, \\ \left.y=\tfrac{b^{2}\left(a^{2}-b^{2}\right) x_{P} \sqrt{\tfrac{x_{P}{ }^{2}}{a^{4}}+\tfrac{y_{P}{ }^{2}}{b^{4}}}\left(1-\tfrac{x_{P}}{a^{2} \sqrt{\tfrac{x_{P}{ }^{2}}{a^{4}}+\tfrac{y_{P}{ }^{2}}{b^{4}}}}\right)}{a^{2} y_{P}}+\tfrac{b^{2}\left(-1+q \sqrt{\tfrac{x_{P}{ }^{2}}{a^{4}}+\tfrac{y_{P}{ }^{2}}{b^{4}}}\right)}{y_{P}}\right) \end{array}\right\} \]

След като заместим \(x_{\mathrm{p}}\) и \(y_{\mathrm{p}}\) с параметричната им форма, получаваме изразите

\[ \left\{\begin{array}{c} x=\tfrac{\left(a^{2}-b^{2}\right) \cos \varphi}{a}, \\ y=\tfrac{b}{a}\left(a^{2}-b^{2}\right) \operatorname{cotg} \varphi \sqrt{\tfrac{\cos ^{2} \varphi}{a^{2}}+\tfrac{\sin ^{2} \varphi}{b^{2}}}\left(1-\tfrac{\cos \varphi}{a \sqrt{\tfrac{\cos ^{2} \varphi}{a^{2}}+\tfrac{\sin ^{2} \varphi}{b^{2}}}}\right)+\tfrac{b\left(-1+q \sqrt{\tfrac{\cos ^{2} \varphi}{a^{2}}+\tfrac{\sin ^{2} \varphi}{b^{2}}}\right)}{\sin \varphi} \end{array}\right\} \]

Това би трябвало да са параметричните уравнения на търсеното ГМТ \(L\).

Благодарности

Резултатите са получени под ръководството на доц. Борислав Лазаров.

Авторът благодари на проф. Сава Гроздев за съдържателните въпроси и положителното отношение, на г-н Явор Джонев – основател на Сирма Груп Холдинг и председател на Надзорния съвет на Холдинга, за моралната и финансовата подкрепа, оказана при работата по темата, както и на проф. Йордан Табов за оказаното съдействие.

БЕЛЕЖКИ

Rangel-Mondragon,J. (2012). Inverting an Ellipse. http://demonstrations.wolfram. com/InversiveGeometryIIIInvertingAnEllipse (active in Feb 2012)

ЛИТЕРАТУРА

Архимед (III в. пр.н.е.). Книга лемм. В Архимед. Сочинения. Государственное издательство физико-математической литературы, Москва, 1962, 393–395

Гроздев, С.& М. Ватанабе (2011). Обобщеният арбелос като примерен инструментариум за развиващо обучение в Япония. Сборник с доклади на Четиридесета юбилейна пролетна конференция на СМБ, Боровец, 5–9 април 2011 г., 380–386

МИ (2005). Задачата на броя (редакционна). Математика и информатика, vol. XLVIII [4]

Прасолов, В. (1986). Задачи по планиметрии, часть II. Наука, Москва, 212–214.