ЕДНО ИНТЕРЕСНО СВОЙСТВО ЗА НЯКОИ КЛАСОВЕ РЕАЛНИ ФУНКЦИИ
Резюме. Статията е посветена на методическото определяне на някои класове реални функции, за които разстоянието между абсцисите на кои да е две точки от графиките им е равно на разстоянието между пресечните точки на допирателните към графиките през двете точки и абсцисната ос.
Ключови думи: function, exponent, graphics, tangent, distance
В процеса на съставяне на темата за Националната студентска олимпиада през 2013 г. достигнахме до едно интересно геометрично свойство. Една от задачите, върху която работехме и по наше мнение бе удачно да бъде включена в темите за студенти от технически, технологически и икономически специалности (Гроздев \(\&\) Ненков, 2012), има следния вид:
Дадена е функцията \(f(x)=e^{2 x}\) и през точките \(A\left(x_{1}, y_{1}\right)\) и \(B\left(x_{2}, y_{2}\right)\left(x_{2}-x_{1}=3\right)\) от нейната графика са построени допирателните \(t_{A} u t_{B}\), които пресичат оста Ox съответно в точки \(A_{1}\) и \(B_{1}\). Да се намери дължината на отсечката \(A_{1} B_{1}\).
Ще изложим решението на тази задача, като вземем предвид, че \(A\left(x_{1}, e^{2 x_{1}}\right)\) и \(B\left(x_{2}, e^{2 x_{2}}\right)\). За уравненията на \(t_{A}\) и \(t_{B}\) имаме (Гроздев, 2010):
\[ \begin{aligned} & t_{A}: y=2 e^{2 x_{1}} x-e^{2 x_{1}}\left(2 x_{1}-1\right) \\ & t_{B}: y=2 e^{2 x_{2}} x-e^{2 x_{2}}\left(2 x_{2}-1\right), \end{aligned} \] а за точките \(A_{1}\) и \(B_{1}\)– съответно \(A_{1}\left(\tfrac{2 x_{1}-1}{2}, 0\right)\) и \(B_{1}\left(\tfrac{2 x_{2}-1}{2}, 0\right)\). За дължината на отсечката \(A_{1} B_{1}\) се получава \(\left|A_{1} B_{1}\right|=3\). От решението прави впечатление, че разстоянието между точките \(A_{1}\) и \(B_{1}\) е същото като това между абсцисите на \(A\) и \(B\). Първият въпрос, който възниква, е дали това е случайност, или не зависи конкретно от числото 3.
Модифицираме условието и приемаме, че \(x_{2}-x_{1}=k(k \in R \backslash\{0\})\). След като решим задачата, се оказва, че наистина \(\left|A_{1} B_{1}\right|=|k|\). Така стигаме до извода за конкретната експоненциална функция, че ако построим допирателни през които и да е две точки от графиката й, то разстоянието между точките, в които те пресичат абсцисата, е същото като това между абсцисите на първоначално избраните точки. В същото време лесно може да се види, че това не важи за ординатите на двете двойки точки.
Вторият въпрос, който възниква, е за какъв клас експоненциални функции важи това свойство? За целта формулираме следната задача:
Нека \(f(x)=C . e^{g(x)}\), където \(g(x)\) е непрекъсната в някакво подмножество \(D_{g}\) на \( R( \)или цялото \(R)\) и \(C\) е ненулева реална константа. През произволни две точки от графиката й \(A\left(x_{1}, y_{1}\right)\) и \(B\left(x_{2}, y_{2}\right)\), y1) и B (x2, y2) , за които
\[ \begin{gathered} x_{2}-x_{1}=k, k \in R \backslash\{0\} \\ \exists g^{\prime}\left(x_{1}\right) \neq 0 u g^{\prime}\left(x_{2}\right) \neq 0 \end{gathered} \] са построени допирателни \(t_{A} u t_{B}\), които пресичат оста \(Ο x\) в точки \(A_{1} u B_{1}\), като \(\left|A_{1} B_{1}\right|=|k|\). Да се намерят всички функции \(g(x)\), за които това е в сила.
В решението на тази задача ще използваме, че \(A\left(x_{1}, C . e^{g\left(x_{1}\right)}\right)\) и \(B\left(x_{2}, C . e^{g\left(x_{2}\right)}\right)\).
Уравненията на \(\mathrm{t}_{A}\) и \(\mathrm{t}_{B}\) имат вида:
\[ \begin{aligned} & t_{A}: y=C . g^{\prime}\left(x_{1}\right) e^{g\left(x_{1}\right)} x+C . e^{g\left(x_{1}\right)}\left(1-g^{\prime}\left(x_{1}\right) x_{1}\right) \\ & t_{B}: y=C . g^{\prime}\left(x_{2}\right) e^{g\left(x_{2}\right)} x+C . e^{g\left(x_{2}\right)}\left(1-g^{\prime}\left(x_{2}\right) x_{2}\right) \end{aligned} \] а за координатите на \(A_{1}\) и \(B_{1}\) получаваме \(A_{1}\left(\tfrac{g^{\prime}\left(x_{1}\right) x_{1}-1}{g^{\prime}\left(x_{1}\right)}, 0\right)\) и \(B_{1}\left(\tfrac{g^{\prime}\left(x_{2}\right) x_{2}-1}{g^{\prime}\left(x_{2}\right)}, 0\right)\), откъдето
\[ \left|A_{1} B_{1}\right|=\left|\tfrac{g^{\prime}\left(x_{2}\right) x_{2}-1}{g^{\prime}\left(x_{2}\right)}-\tfrac{g^{\prime}\left(x_{1}\right) x_{1}-1}{g^{\prime}\left(x_{1}\right)}\right|=\left|x_{2}-x_{1}+\tfrac{g^{\prime}\left(x_{2}\right)-g^{\prime}\left(x_{1}\right)}{g^{\prime}\left(x_{2}\right) g^{\prime}\left(x_{1}\right)}\right|=|k| \]
Да приемем, че \(x_{2} \gt x_{1}\). Тогава \(x_{2}-x_{1}=|k|\). Последното уравнение е еквивалентно на
(1) \[ \tfrac{g^{\prime}\left(x_{2}\right)-g^{\prime}\left(x_{1}\right)}{g^{\prime}\left(x_{2}\right) g^{\prime}\left(x_{1}\right)}=0 \cup \tfrac{g^{\prime}\left(x_{2}\right)-g^{\prime}\left(x_{1}\right)}{g^{\prime}\left(x_{2}\right) g^{\prime}\left(x_{1}\right)}=-2|k| . \]
От първото уравнение получаваме \(g^{\prime}(x)=\) const . Оттук следва, че \(g(x)=a x+b\) и по този начин откриваме един клас от функции с исканото свойство, а именно
(2) \[ f(x)=C \cdot e^{a x+b} \]
Като частен случай се получава функцията \(f(x)=\) const , но последното противоречи на условието, че \(g^{\prime}(x) \neq 0\).
Не е трудно да се провери, че за всяка функция от вида (2) е в сила исканото свойство. И наистина, за произволни две точки \(A\left(x_{1}, y_{1}\right)\) и \(B\left(x_{2}, y_{2}\right)\), y1) и B(x2 , y2 ) , за които \(\left|x_{2}-x_{1}\right|=|k|\), имаме: \[ \begin{aligned} t_{A} & : y=C . a e^{a x_{1}+b} x+C . e^{a x_{1}+b}\left(1-a x_{1}\right), \\ t_{B} & : y=C . a e^{a x_{2}+b} x+C . e^{a x_{2}+b}\left(1-a x_{2}\right), \\ & A_{1}\left(\tfrac{a x_{1}-1}{a}, 0\right) \text { и } B_{1}\left(\tfrac{a x_{2}-1}{a}, 0\right) . \end{aligned} \]
Тогава \(\left|A_{1} B_{1}\right|=|k|\).
Да разгледаме второто уравнение \(\tfrac{1}{g^{\prime}\left(x_{1}\right)}-\tfrac{1}{g^{\prime}\left(x_{2}\right)}=-2|k| \lt 0\) в (1) и нека положим \(\tfrac{1}{g^{\prime}(x)}=F(x)\). Получаваме \(F\left(x_{1}\right)-F\left(x_{2}\right)=-2|k|\) и при това \(x_{2} \gt x_{1}\), като \(x_{2}-x_{1}=|k|\) или \(x_{2}=|k|+x_{1}\) и това е в сила за всеки две точки \(x_{1}\) и \(x_{2}\) от \(D_{g}\). Така достигаме до следното функционално уравнение:
\[ F(x)-F(x+|k|)=-2|k|, \] или
(3) \[ F(x+|k|)-F(x)=2|k|, \quad x \in D_{g}{ }^{1} . \]
Лесно може да се провери, че всички функции, които удовлетворяват (3), са от вида \(F(x)=2 x+C\), където \(C\) е произволна константа. Тогава \(2 x+C=\tfrac{1}{g^{\prime}(x)}\) или \(g^{\prime}(x)=\tfrac{1}{2 x+C}\), откъдето \(g(x)=\tfrac{1}{2} \ln |2 x+C|+C_{1}\). За \(f(x)\) се получава \(f(x)=e^{\tfrac{1}{2} \mathrm{~h}|2 x+C|+C_{1}}=C_{2} \sqrt{|2 x+C|}\), като \(C_{2} \gt 0\), т. е.
\[ f(x)= \begin{cases}C_{2} \sqrt{-2 x-C}, & x \lt -\tfrac{C}{2} \\ C_{2} \sqrt{2 x+C}, & x \geq-\tfrac{C}{2}\end{cases} \] и \(f(x)\) е диференцируема за \(\forall x \neq-\tfrac{C}{2}\). Точките \(A\) и \(B\) могат да бъдат избрани както от един и същи клон (от двата) на графиката \(f(x)\), така и от различни. В който и да е от случаите може да се покаже, че \(\left|x_{A}-x_{B}\right|=\left|x_{A_{1}}-x_{B_{1}}\right|\).
Случай 1. Нека \(x_{1} \lt x_{2} \lt -\tfrac{C}{2}\) и \(x_{2}-x_{1}=|k|\). Координатите на точките \(A\) и \(B\) са \(A\left(x_{1}, C_{2} \sqrt{-2 x_{1}-C}\right)\) и \(B\left(x_{2}, C_{2} \sqrt{-2 x_{2}-C}\right)\). За уравненията на \(t_{A}\) и \(t_{B}\) имаме
\[ \begin{aligned} & t_{A}: y=\tfrac{-C_{2}}{\sqrt{-2 x_{1}-C}}\left(x+x_{1}+C\right) \\ & t_{B}: y=\tfrac{-C_{2}}{\sqrt{-2 x_{2}-C}}\left(x+x_{2}+C\right) \end{aligned} \] а за координатите на \(A_{1}\) и \(B_{1}\)– съответно \(A_{1}\left(-\left(x_{1}+C\right), 0\right)\) и \(B_{1}\left(-\left(x_{2}+C\right), 0\right)\), откъдето \[ \left|A_{1} B_{1}\right|=\mid-\left(x_{2}+C\right)-\left(-\left(x_{1}+C\right)\left|=\left|x_{1}-x_{2}\right|=|k| .\right.\right. \]
Случай 2. Нека \(-\tfrac{C}{2} \lt x_{1} \lt x_{2}\) и \(x_{2}-x_{1}=|k|\). Точките \(A\) и \(B\) имат координати \(A\left(x_{1}, C_{2} \sqrt{2 x_{1}+C}\right)\) и \(B\left(x_{2}, C_{2} \sqrt{2 x_{2}+C}\right)\), уравненията на допирателните са
\[ \begin{aligned} & t_{A}: y=\tfrac{C_{2}}{\sqrt{2 x_{1}+C}}\left(x+x_{1}+C\right) \\ & t_{B}: y=\tfrac{C_{2}}{\sqrt{2 x_{2}+C}}\left(x+x_{2}+C\right) \end{aligned} \] а координатите на точките \(A_{1}\) и \(B_{1}\)– съответно \(A_{1}\left(-\left(x_{1}+C\right), 0\right)\) и \(B_{1}\left(-\left(x_{2}+C\right), 0\right)\). Следователно отново \(\left|A_{1} B_{1}\right|=|k|\).
Случай 3. Нека \(x_{1} \lt -\tfrac{C}{2} \lt x_{2}\) и \(x_{2}-x_{1}=|k|\). Тогава \(A\) и \(B\) имат координати съответно \(A\left(x_{1}, C_{2} \sqrt{-2 x_{1}-C}\right)\) и \(B\left(x_{2}, C_{2} \sqrt{2 x_{2}+C}\right)\). За уравненията на \(t_{A}\) и \(t_{B}\) получаваме:
\[ \begin{aligned} & t_{A}: y=\tfrac{-C_{2}}{\sqrt{-2 x_{1}-C}}\left(x+x_{1}+C\right) \\ & t_{B}: y=\tfrac{C_{2}}{\sqrt{2 x_{2}+C}}\left(x+x_{2}+C\right) \end{aligned} \] а за координатите на точките \(A_{1}\) и \(B_{1}\)– съответно \(A_{1}\left(-\left(x_{1}+C\right), 0\right)\) и \(B_{1}\left(-\left(x_{2}+C\right), 0\right)\), откъдето следва, че отново \(\left|A_{1} B_{1}\right|=|k|\).
Друг клас функции, които удовлетворяват (3), са \(F(x)=2 x+\varphi(x)\), където \(\varphi(x)\) е непрекъсната и периодична с период \(|k|\). Тогава \(f(x)=e^{\int \tfrac{d x}{2 x+\varphi(x)}}\), но за тези функции разглежданото свойство ще бъде в сила само ако \(|k|\) съвпада с периода на \(\varphi(x)\), докато за изведените дотук класове функции то е валидно за всяко ненулево реално \(k\).
Третият въпрос, който бихме искали да поставим като обект на изследване в настоящата разработка, е формулиран в следващата задача:
Нека е дадена функцията \(f(x)\), непрекъсната в някакво подмножество \(D_{f}\) на \(R\) (или в цялото R), иялото \(R\) ), и нека \(x_{1}\) и \(x_{2}\) са произволни две точки от \(D_{f}\)– такива, че:
1) \(\left|x_{2}-x_{1}\right|=|k|\);
2) \(\exists g^{\prime}\left(x_{1}\right) \neq 0\) u \(g^{\prime}\left(x_{2}\right) \neq 0\).
През точките \(A\left(x_{1}, y_{1}\right)\) и \(B\left(x_{2}, y_{2}\right)\) са построени допирателни към графиката на \(f(x)\), съответно \(t_{A}\) и \(t_{B}\), които пресичат Ox в точките \(A_{1}\) и \(B_{1}\) така, че \(\left|A_{1} B_{1}\right|=|k|\). Да се намерят възможните класове функции \(f(x)\), удовлетворяващи тези условия.
За уравненията на \(t_{A}\) и \(t_{B}\) имаме:
\[ \begin{aligned} & t_{A}: y=f^{\prime}\left(x_{1}\right) x+f\left(x_{1}\right)-f^{\prime}\left(x_{1}\right) x_{1} \\ & t_{B}: y=f^{\prime}\left(x_{2}\right) x+f\left(x_{2}\right)-f^{\prime}\left(x_{2}\right) x_{2} \end{aligned} \] а за координатите на \(A_{1}\) и \(B_{1}\) получаваме:
\[ A_{1}\left(\tfrac{f^{\prime}\left(x_{1}\right) x_{1}-f\left(x_{1}\right)}{f^{\prime}\left(x_{1}\right)}, 0\right) \text { и } B_{1}\left(\tfrac{f^{\prime}\left(x_{2}\right) x_{2}-f\left(x_{2}\right)}{f^{\prime}\left(x_{2}\right)}, 0\right) . \]
Тогава:
\(\left|A_{1} B_{1}\right|=\left|\tfrac{f^{\prime}\left(x_{2}\right) x_{2}-f\left(x_{2}\right)}{f^{\prime}\left(x_{2}\right)}-\tfrac{f^{\prime}\left(x_{1}\right) x_{1}-f\left(x_{1}\right)}{f^{\prime}\left(x_{1}\right)}\right|=|k|\) или \(\left|x_{2}-x_{1}+\tfrac{f\left(x_{1}\right)}{f^{\prime}\left(x_{1}\right)}-\tfrac{f\left(x_{2}\right)}{f^{\prime}\left(x_{2}\right)}\right|=|k|\), което е еквивалентно на
(4) \[ \tfrac{f\left(x_{1}\right)}{f^{\prime}\left(x_{1}\right)}-\tfrac{f\left(x_{2}\right)}{f^{\prime}\left(x_{2}\right)}=0 \cup \tfrac{f\left(x_{1}\right)}{f^{\prime}\left(x_{1}\right)}-\tfrac{f\left(x_{2}\right)}{f^{\prime}\left(x_{2}\right)}=-2|k| . \]
Двете уравнения в (4) са в сила за всеки две точки \(x_{1}\) и \(x_{2}\) от \(D_{f}\), в които функцията \(f(x)\) е диференцируема, \(f^{\prime}\left(x_{1}\right) \neq 0, f^{\prime}\left(x_{2}\right) \neq 0\) и \(\left|x_{2}-x_{1}\right|=|k|\).
Да предположим, че \(f(x) \neq 0\) за \(\forall x \in D_{f}\) и да положим \([\ln |C . f(x)|]^{\prime}=F(x)\) \((C \neq 0)\). Тогава за първото уравнение в (4) се получава \(F(x)=F(y)\) за \(\forall x, y\), y , за които са изпълнени всички горепосочени условия. Оттук следва, че \(F(x)=\) const или \([\ln |C . f(x)|]^{\prime}=c o n s t\), т. е. \(\ln |C . f(x)|=a x+b\) или \(|C . f(x)|=e^{a x+b}\), откъдето
\[ f(x)=\tfrac{1}{C} e^{a x+b} \text { или } f(x)=-\tfrac{1}{C} e^{a x+b} . \]
Така от първата възможност за (4) отново достигаме до класа експоненциални функции, които вече засегнахме в настоящото изследване.
Ако във втората част на (4) положим \(\tfrac{f(x)}{f^{\prime}(x)}=F(x)\), ще достигнем до
\[ F(x)-F(y)=-2|k| \]
Да приемем сега, че \(y \gt x\). Тогава \(y=x+|k|\), т. е. \(F(x)-F(x+|k|)=-2|k|\) или \[ F(x+|k|)-F(x)=2|k| \] където \(k\) е ненулев реален параметър, което отново е функционално уравнение, аналогично на (3). Едно негово решение е \(F(x)=2 x+C\), където \(C\) е произволна реална константа. Тогава получаваме \(\tfrac{f(x)}{f^{\prime}(x)}=2 x+C\) или \(\tfrac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=\tfrac{1}{2 x+C}, x \neq-\tfrac{C}{2}\), т. е. \(\left[\ln \left|C_{1} . f(x)\right|\right]^{\prime}=\tfrac{1}{2 x+C}\). Оттук след решаване отново получаваме
\[ f(x)=C_{2} \sqrt{|2 x+C|}, C_{2} \gt 0 \]
Така, на база направените изследвания, достигаме до два основни класа функции, за които е в сила описаното свойство. Тези класове са:
1) \(f(x)=c . e^{a x+b}, a \in R \backslash\{0\}, b \in R, c \in R \backslash\{0\} ;{ }^{2}\)
2) \(f(x)=a \sqrt{|2 x+b|}, a \in R^{+}, b \in R\).
В заключение бихме искали да направим две допълнения към разглеждания проблем:
1. За обратните на посочените функции изложеното свойство ще бъде в сила, но не за абсцисите, а за ординатите на произволни две точки от графиките им, в които те са гладки.
2. Като едно разширение на изследваното свойство (без да навлизаме в подробности) можем да посочим, че за степенната функция \(f(x)=a x^{\alpha}(\alpha \neq 0, a \neq 0)\) за всеки две точки \(A\) и \(B\) от графиката й, в които тя е гладка, и \(x_{A}-x_{B}=k\), то \(\left|x_{A_{1}}-x_{B_{1}}\right|=\left|\tfrac{k(\alpha-1)}{\alpha}\right| \cdot{ }^{3}\) При \(\alpha \rightarrow \pm \infty\) следва, че \(\left|x_{A_{1}}-x_{B_{1}}\right| \rightarrow|k|\), което показва, че свойството на степенната функция се доближава до свойството на показателната функция.
В изложението бихме могли да използваме дедуктивния подход, но считаме, че начинът, по който сме го осъществили, има значение от методологична гледна точка. Съществен е пътят, по който би могъл да тръгне всеки, занимаващ се с конкретна проблематика, за да достигне до изводи, имащи общ характер и по-широка приложимост. В настоящата разработка са намерени класове функции с някои интересни свойства. Като не претендираме за изчерпателност, бихме се радвали, ако този въпрос бъде доразвит и се намерят и други функции, разширяващи обхвата на изложените в статията. От особена важност е и проблемът за практическата приложимост на теоретичните изследвания в настоящата статия.
БЕЛЕЖКИ
1. Тук бихме искали да отбележим, че \(F(x)\) трябва да удовлетворява функционалното уравнение (3) за всяко ненулево реално \(k\).
2. Разбира се, \(f(x)\) може и да бъде произволна показателна функция от вида \(c . d^{a x+b}\) (\(d \gt 0, d \neq 1\) ) , имайки предвид, че \(d=e^{\ln d}\).
3. Например за квадратната функция \(f(x)=a x^{2}\) между всеки две точки от графиката й, за които \(x_{A}-x_{B}=k\), то \(\left|x_{A_{1}}-x_{B_{1}}\right|=\tfrac{|k|}{2}\).
ЛИТЕРАТУРА
Гроздев, С., В. Ненков (2012). Анализ на задачите от националната студентска олимпиада по математика, Математика и информатика, 4, 295 – 303.
Гроздев, С. (2010). Математика за икономисти. София: ВУЗФ. ISBN 978-9548590-06-8.