Задача 1. Върху правата \(A B\) е взета произволна точка \(C\). Точките \(M\) и \(N\) лежат в една полуравнина спрямо \(A B\) и са такива, че \(A C M\) и \(C B N\) са равностранни триъгълници. Ако \(T\) е петата на перпендикуляра, спуснат от \(C\) към \(M N\), да се намери геометричното място на точката \(T\), когато \(C\) описва \(A B\).

Ксения Горская, Дарья Коптева, Даниил Микуров, Архангелск, Русия

Решение: ще разгледаме по-общия случай, в който триъгълниците \(A C M\) и \(C B N\) са равнобедрени с ъгли при основите \(A C\) и \(B C\) съответно равни на \(\alpha\) и \(\beta\).

Разглеждаме правоъгълна координатна система \(A x y\), при която \(A(0,0)\), \(B(0, c), \quad C\left(c_{0}, 0\right)\). Тогава \(\quad M\left(\tfrac{c_{0}}{2}, \tfrac{c_{0}}{2} \operatorname{tg} \alpha\right) \quad\) и \(\quad N\left(\tfrac{c+c_{0}}{2}, \tfrac{c-c_{0}}{2} \operatorname{tg} \beta\right)\). Оттук намираме уравнението на правата \(M N\) във вида \(2\left[c_{0} \operatorname{tg} \alpha-\left(c-c_{0}\right) \operatorname{tg} \beta\right] x+2 c y-c_{0}\left[\left(c+c_{0}\right) \operatorname{tg} \alpha-\left(c-c_{0}\right) \operatorname{tg} \beta\right]=0\)

Това уравнение записваме по следния начин:

\[ (\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta) c_{0}^{2}+[c(\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta)-2(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta) x] c_{0}-2 c(y-\operatorname{tg} \beta . x)=0 . \]

От условието, че правата \(C T\) е перпендикулярен на \(M N\), получаваме уравнението на правата \(C T\) във вида \(c x+\left[\operatorname{c} \operatorname{tg} \beta-c_{0}(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)\right] y-c c_{0}=0\). Оттук следва, че \(c_{0}=\tfrac{c(x+\operatorname{tg} \beta \cdot y)}{c+(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta) y}\). Точката \(T\) лежи едновременно върху правите \(M N\) и \(C T\). Затова заместваме последния израз за \(c_{0}\) в предишното равенство относно \(c_{0}\) и след известни преобразувания получаваме, че координатите \((x, y)\) на \(T\) удовлетворяват следващото уравнение от трета степен:

\[ \begin{aligned} & 2 \operatorname{tg} \beta \cdot x^{3}-2 \operatorname{tg}^{2} \beta \cdot y^{3}+2\left\lfloor 2 \operatorname{tg}^{2} \beta-(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)^{2}-1\right\rfloor x^{2} y+2 \operatorname{tg} \beta\left\lfloor\operatorname{tg}^{2} \beta-(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)^{2}-2\right\rfloor x y^{2}- \\ & -c(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta) x^{2}+c \cdot \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta) y^{2}+c(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)(\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta) x y+ \\ & +c^{2}(\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta) x+c^{2} \operatorname{tg} \beta(\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta) y=0 . \end{aligned} \] Следователно търсеното геометрично място е част от крива от трета степен. Случаят, в който \(\alpha=\beta=60^{\circ}\), уравнението на кривата от трета степен е следното:

\[ 2 \sqrt{3} x^{3}-6 y^{3}-14 x^{2} y-22 \sqrt{3} x y^{2}-2 \sqrt{3} c x^{2}+6 c y^{2}=0 \]

Задача 2. Върху отсечката \(A B\) е взета произволна точка \(C\). Точките \(M\) и \(N\) лежат в различни полуравнини относно \(A B\) и са такива, че \(A C M\) и \(C B N\) са равностранни триъгълници. Ако \(T\) е пресечната точка на общата допирателна в \(C\) за описаните окръжности на триъгълниците \(A C M\) и \(C B N\) с отсечката \(B M\), да се намери геометричното място на точката \(T\), когато \(C\) описва \(A B\).

Еркен Мудебаев, Казбек Мухамбетов, Адилбек Темирханов, Актау, Казахстан

Решение: разглеждаме правоъгълна координатна система \(A x y\), при която \(A(0,0), B(0, c), C\left(c_{0}, 0\right)\). Тогава \(M\left(\tfrac{c_{0}}{2}, \tfrac{c_{0} \sqrt{3}}{2}\right)\) и \(N\left(\tfrac{c+c_{0}}{2}, \tfrac{\left(c-c_{0}\right) \sqrt{3}}{2}\right)\).

Нека \(k_{A}\) и \(k_{B}\) са описаните окръжности съответно за триъгълниците \(A C M\) и \(B C N\). Общата допирателна \(t\) на \(k_{A}\) и \(k_{B}\) в \(C\) е успоредна на \(A M\) и \(B N\). Оттук намираме, че уравнението ѝ е \(t: 3 x-\sqrt{3} y-3 c_{0}=0\). От друга страна, уравнението на \(B M\) е \(B M: c_{0} \sqrt{3} x-\left(c_{0}-2 c\right) y-c_{0} c \sqrt{3}=0\). От уравненията на \(B M\) и \(t\) намираме координатите \((x, y)\) на пресечната им точка \(T\) чрезравенствата \(x=\tfrac{c_{0}\left(3 c-c_{0}\right)}{2 \sqrt{3} c}\) и \(y=\tfrac{3 c_{0}\left(c-c_{0}\right)}{2 \sqrt{3} c}\). Оттук следва, че \(\tfrac{x}{y}=\tfrac{\sqrt{3}\left(3 c-c_{0}\right)}{3\left(c-c_{0}\right)}\) и \(c_{0}=\tfrac{3(x-\sqrt{3} y) c}{3 x-\sqrt{3} y}\). Заместваме получената стойност на \(c_{0}\) в координатата \(x\) на и след някои преобразувания получаваме, че координатите \((x, y)\) на \(T\) удовлетворяват уравнението \(3 x^{2}+y^{2}-2 \sqrt{3} x y-3 c x+3 \sqrt{3} c y=0\). В това уравнение извършваме смяна на \(x\) и \(y\) с \(X\) и \(Y\) чрез равенствата \(\quad x=\tfrac{1}{2} X-\tfrac{\sqrt{3}}{2} Y+\tfrac{27}{32} c \quad\) и \(\quad y=\tfrac{\sqrt{3}}{2} X+\tfrac{1}{2} Y+\tfrac{3 \sqrt{3}}{2} c\). Получаваме \(4 Y^{2}+3 c X=0\), което е уравнение на парабола. Следователно търсеното геометрично място е част от парабола.

Задача 3. Дадени са \(\triangle A B C\) и точки \(A_{0}, B_{0}\) и \(C_{0}\), B0 и C0 , лежащи съответно върху страните \(B C, C A\) и \(A B\). Вътрешно за \(\triangle A B C\) са построени равнобедрените триъгълници \(B A_{0} M_{a}, C B_{0} M_{b}\) и \(A C_{0} M_{c}\) с ълли при основите \(B A_{0}, C B_{0}\) и \(A C_{0}\), равни на \(\alpha_{0}\). Аналогично вътрешно за \(\triangle A B C\) са построени равнобедрените триъгълници \(C A_{0} N_{a}, A B_{0} N_{b}\) и \(B C_{0} N_{c}\) с ъгли при основите \(C A_{0}, A B_{0}\) и \(B C_{0}\), равни на \(\beta_{0}\). Точките \(T_{a}, T_{b}\) и \(T_{c}\) са вътрешни за отсечките \(M_{a} N_{a}\), \(M_{b} N_{b}\) и \(M_{c} N_{c}\) и такива, че \(\tfrac{M_{a} T_{a}}{N_{a} T_{a}}=\tfrac{\cos \alpha_{0} \cdot A_{0} M_{a}}{\cos \beta_{0} \cdot A_{0} N_{a}}, \tfrac{M_{b} T_{b}}{N_{b} T_{b}}=\tfrac{\cos \alpha_{0} \cdot B_{0} M_{b}}{\cos \beta_{0} \cdot B_{0} N_{b}}\), \(\tfrac{M_{c} T_{c}}{N_{c} T_{c}}=\tfrac{\cos \alpha_{0} \cdot C_{0} M_{c}}{\cos \beta_{0} \cdot C_{0} N_{c}}\). Когато \(A_{0}, B_{0}\) и \(C_{0}\) се движат по \(B C, C A\) и \(A B\), точките \(T_{a}, T_{b}\) и \(T_{c}\) описват съответно геометричните места \(\pi_{a}, \pi_{b}\) и \(\pi_{c}\). Да се докаже, че:

a) геометричните места \(\pi_{a}, \pi_{b}\) и \(\pi_{c}\) са части от параболи;

б) ако \(V_{a}, V_{b}\) и \(V_{c}\) са върховете на параболите \(\pi_{a}, \pi_{b}\) и \(\pi_{c}\), правите \(A V_{a}\), \(B V_{b}\) и \(C V_{c}\) се пресичат в една точка или са успоредни.

Лили Стефанова, Ирина Христова, Радина Иванова, Ловеч, България

Решение: нека \(O x y\) и \(O_{1} X Y\) са две еднакво ориентирани координатни системи в равнината. Ако ъгълът, на който трябва да се завърти оста \(O x\) около \(O\) в посока, обратна на часовниковата стрелка, докато посоката на \(O x^{\rightarrow}\) съвпадне с посоката на \(O_{1} X^{\rightarrow}\), е равен на \(\vartheta \in[0, \pi]\), а координатите на \(O_{1}\) спрямо \(O x y\) са \(\left(x_{0}, y_{0}\right)\), то координатите \((X Y)\) на \(P\) спрямо \(O_{1} X Y\) и координатите \((x, y)\) на точка \(P\) спрямо \(O x y\) са свързани с равенствата: \(X=\cos \vartheta .\left(x-x_{0}\right)+\sin \vartheta .\left(y-y_{0}\right) \quad\) и \(Y=-\sin \vartheta .\left(x-x_{0}\right)+\cos \vartheta .\left(y-y_{0}\right)\).

Нека в дадения триъгълник \(A B C\), както обикновено, имаме \(|B C|=a\), \(|C A|=b, \quad|A B|=c, \quad ∢ B A C=\alpha \quad\) и \(∢ A B C=\beta . \quad\) Разглеждаме положително ориентираните координатни системи \(A x y, B x^{\prime} y^{\prime}\) и \(C x^{\prime \prime} y^{\prime \prime}\) (вж. фигурата). Спрямо \(A x y\) координатите на върховете на \(\triangle A B C\) са следните \(A(0,0), B(c, 0), C(b \cdot \cos \alpha, b \cdot \sin \alpha) .\) . Нека произволна точка \(P\) от равнината на \(\triangle A B C\) има координати ( \(x, y\) ), \(\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)\) и \(\left(x^{\prime \prime}, y^{\prime \prime}\right)\) съответно спрямо \(A x y, B x^{\prime} y^{\prime}\) и \(C x^{\prime \prime} y^{\prime \prime}\). Тези координатни системи са еднакво ориентирани. Освен това спрямо \(A x y\) за \(B x^{\prime} y^{\prime}\) е изпълнено \(\vartheta=\pi-\beta\), а за \(C x^{\prime \prime} y^{\prime \prime}\) е изпълнено \(\vartheta=\pi+\alpha\). След използване на споменатите връзки между координатите при преминаване към координатната система \(A x y\) получаваме равенствата: \(x^{\prime}=-\cos \beta \cdot(x-c)+\sin \beta \cdot y\), \(y^{\prime}=-\sin \beta .(x-c)-\cos \beta . y, x^{\prime \prime}=-\cos \alpha(x-b \cos \alpha)-\sin \alpha(y-b \sin \alpha)\), \(y^{\prime \prime}=\sin \alpha \cdot(x-b \cos \alpha)-\cos \alpha \cdot(y-b \sin \alpha)\). В статията „Некоторые траектории, которые определены равнобедренными треугольниками", публикувана в брой 6,2016 г., е доказано, че при произволни стойности на \(\alpha_{0}\) и \(\beta_{0}\) и \(\tfrac{M_{c} T_{c}}{N_{c} T_{c}}=k \cdot \tfrac{C_{0} M_{c}}{C_{0} N_{c}}(k \neq 0)\), когато точката \(C_{0}\) описва отсечката \(A B\), точката \(T\) описва крива от втора степен, която спрямо \(A x y\) има уравнение:

\[ \begin{aligned} & \left(\sin \alpha_{0}-k \sin \beta_{0}\right)^{2} x^{2}-\left(\cos \alpha_{0}+k \cos \beta_{0}\right)^{2} y^{2}- \\ & -c\left(\sin \alpha_{0}-k \sin \beta_{0}\right)^{2} x+c\left(\sin \alpha_{0}-k \sin \beta_{0}\right)\left(\cos \alpha_{0}-k \cos \beta_{0}\right) y=0 \end{aligned} \]

В същата статия е показано, че тази крива е парабола тогава и само тогава, когато \(k=-\tfrac{\cos \alpha_{0}}{\cos \beta_{0}}\). При тази стойност на \(k\) получаваме уравнението \(\left(\operatorname{tg} \alpha_{0}+\operatorname{tg} \beta_{0}\right) x^{2}-\left(\operatorname{tg} \alpha_{0}+\operatorname{tg} \beta_{0}\right) x+2 c . y=0\). Полагаме \(t=\tfrac{1}{2}\left(\operatorname{tg} \alpha_{0}+\operatorname{tg} \beta_{0}\right)\) и получаваме \(\pi_{c}: y=-\tfrac{t}{c} \cdot x^{2}+t . x\). Аналогично спрямо координатните системи \(B x^{\prime} y^{\prime}\) и \(C x^{\prime \prime} y^{\prime \prime}\) се получават съответно параболите \(\pi_{a}: y^{\prime}=-\tfrac{t}{a} \cdot x^{\prime 2}+t \cdot x^{\prime}\) и \(\pi_{b}: y^{\prime \prime}=-\tfrac{t}{b} \cdot x^{\prime \prime 2}+t \cdot x^{\prime \prime}\). Оттук следва твърдение а) на задачата.

Върхът на произволна парабола \(Y=a_{0} X^{2}+a_{1} X+a_{2}\) спрямо координатна система \(O X Y\) има следните координати \(\left(-\tfrac{a_{1}}{2 a_{0}}, \tfrac{3 a_{1}^{2}}{4 a_{0}}+a_{2}\right)\). Оттук за координатите на върховете \(V_{a}, V_{b}\) и \(V_{c}\) съответно на параболите \(\pi_{a}, \pi_{b}\) и \(\pi_{c}\) спрямо собствените им координатни системи \(B x^{\prime} y^{\prime}, C x^{\prime \prime} y^{\prime \prime}\) и \(A x y\) имаме \(V_{a}\left(\tfrac{a}{2}, \tfrac{t}{4} . a\right), V_{b}\left(\tfrac{b}{2}, \tfrac{t}{4} . b\right)\) и \(V_{c}\left(\tfrac{c}{2}, \tfrac{t}{4} . c\right)\). От връзките между координатите \(\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)\) и \(\left(x^{\prime \prime}, y^{\prime \prime}\right)\) с \((x, y)\) получаваме, че координатите на \(V_{a}\) и \(V_{b}\) спрямо \(A x y\) се изразяват по следния начин:

\[ \begin{aligned} & V_{a}\left(c-\tfrac{a}{2} \cdot \cos \beta-t \cdot \tfrac{a}{4} \cdot \sin \beta, \tfrac{a}{2} \cdot \sin \beta-t \cdot \tfrac{a}{4} \cdot \cos \beta\right) \\ & V_{b}\left(\tfrac{b}{2} \cdot \cos \alpha+t \cdot \tfrac{b}{4} \cdot \sin \alpha, \tfrac{b}{2} \cdot \sin \alpha-t \cdot \tfrac{b}{4} \cdot \cos \alpha\right) \end{aligned} \]

От координатите на върховете на триъгълника и върховете на параболите намираме уравненията на правите \(A V_{a}, B V_{b}\) и \(C V_{c}\) в следния вид:

\[ \begin{gathered} A V_{a}: a(2 \sin \beta-t \cos \beta) x+(2 a \cos \beta+t a \sin \beta-4 c) y=0, B V_{b}: \\ b(2 \sin \alpha-t \cos \alpha) x-(2 b \cos \alpha+t b \sin \alpha-4 c) y-b c(2 \sin \alpha-t \cos \alpha)=0 \\ C V_{c}:(4 b \sin \alpha-t c) x-2(2 b \cos \alpha-c) y-b c(2 \sin \alpha-t \cos \alpha)=0 \end{gathered} \] Тъй като \(b c \sin \alpha=a c \sin \beta=2 S \quad(S \quad\) е лицето на \(\quad A B C)\), \(\cos \beta=\tfrac{a^{2}-b^{2}+c^{2}}{a c}, \cos \alpha=\tfrac{-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2 b c}\), последните уравнения се преобразуват във вида:

\[ \begin{gathered} A V_{a}:\left[8 S-\left(a^{2}-b^{2}+c^{2}\right) t\right] x+2\left(2 S t+a^{2}-b^{2}-3 c^{2}\right) y=0, B V_{b}: \\ {\left[8 S-\left(-a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) t\right] x-\left(2 S t-a^{2}+b^{2}-3 c^{2}\right) y-c\left[8 S-\left(-a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) t\right]=0} \\ C V_{c}: 2\left(8 S-c^{2} t\right) x+4\left(a^{2}-b^{2}\right) y-c\left[8 S-\left(-a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) t\right]=0 \end{gathered} \] От уравненията на правите \(A V_{a}\) и \(B V_{b}\) намираме, че ако те имат пресечна точка \(V\), тя има следните координати:

\[ \begin{aligned} & x_{V}=\tfrac{\left[\left(-a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) t-8 S\right]\left(2 S t+a^{2}-b^{2}-3 c^{2}\right)}{4 c\left[S t^{2}-\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) t+12 S\right]} \\ & y_{V}=\tfrac{\left[\left(-a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) t-8 S\right]\left[\left(a^{2}-b^{2}+c^{2}\right) t-8 S\right]}{8 c\left[S t^{2}-\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) t+12 S\right]} \end{aligned} \]

Точката \(V\) съществува тогава и само тогава, когато \(S t^{2}-\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) t+12 S \neq 0\). С непосредствено заместване на последните равенства в лявата част на уравнението на \(C V_{c}\) се установява, че то се превръща във вярно равенство, т.е. правата \(C V_{c}\) минава през \(V\). Следователно правите \(A V_{a}\), \(B V_{b}\) и \(C V_{c}\) се пресичат в точката \(V\), когато \(S t^{2}-\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) t+12 S \neq \stackrel{a}{0}^{\prime}\). Ако е изпълнено равенството \(S t^{2}-\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) t+12 S=0\), тези прави са успоредни. Разглеждайки последното равенство като уравнение по отношение на \(t\), получаваме, че то има следните реални положителни корени:

\(t_{1,2}=\cfrac{a^{2}+b^{2}+c^{2} \pm 2 \sqrt{a^{4}+b^{4}+c^{4}-b^{2} c^{2}-c^{2} a^{2}-a^{2} b^{2}}}{2S}\) .

Намерените стойности за \(t\) показват, че при фиксиран \(\Delta ABC\) съществуват два случая, при които правите \(A V_{a}, B V_{b}\) и \(C V_{c}\) са успоредни. В останалите случаи за същия триъгълник тези прави се пресичат в една точка \(V\), чиито координати са получени по-горе. Тези изводи могат да се забележат на предложените фигури.