Задача 1. Да се намерят всички реални функции \(f(x):(1,+\infty) \rightarrow(1,+\infty)\), за които при \(x \gt 1\) и \(y \gt 0\) е изпълнено равенството \(f\left(x^{y}\right)=(f(x))^{y}\).

Йон Неделку, Плоещ и Лучиан Тутеску, Крайова, Румъния

Решение: Нека \(y=\tfrac{1}{\ln x}=\log _{x} e\). Тогава \(f\left(x^{y}\right)=f\left(x^{\log _{x} e}\right)=f(e)\). Полагаме \(f(e)=a \gt 1\). От условието получаваме \(a=f(e)=(f(x))^{\overline{\ln x}}\), откъдето \(f(x)=a^{\ln x}\). Освен това \(a^{\ln x}=e^{\ln a^{\ln x}}=e^{\ln x \cdot \ln a}=\left(e^{\ln x}\right)^{\ln a}=x^{\ln a}\). Затова, като положим \(\ln a=\alpha \gt 0\), получаваме, че търсените функции са \(f(x)=x^{\alpha}\) за всички \(\alpha \gt 0\).

Задача 2. Височините \(A A_{1}, B B_{1}\) и \(C C_{1}\) на остроъгълен триъгълник \(A B C\) се пресичат в точка \(H\). Ако правите \(l_{b}\) и \(l_{c}\) минават съответно през върховете \(B\) и \(C\), така че \(l_{b} \perp l_{c}, l_{b} \cap A A_{1}=N\) и \(l_{c} \cap A A_{1}=M\), lb ∩ AA1 = N и lc ∩ AA1 = M , да се докаже, че описаните окръжности на триъгълниците \(A B_{1} M, H C_{1} M, A C_{1} N, H B_{1} N, A_{1} B M, A_{1} C N\) и окръжността с диаметър страната \(B C\) имат обща точка.

Хаим Химов, Варна

Решение: Означаваме пресечната точка на \(l_{b}\) и \(l_{c}\) с \(P\). От условието имаме \(∢ B P M=∢ M A_{1} B=90^{\circ}\) на , откъдето следва, че точките \(M, B, A_{1}\) и \(P\) лежат на една окръжност. Следователно \(P\) лежи върху описаната окръжност \(k_{1}\) на \(\Delta A_{1} B M\). Аналогично от равенството \(∢ N P C=∢ N A_{1} C=90^{\circ}\) следва, че \(P\) лежи върху описаната окръжност \(k_{2}\) на \(\Delta A_{1} C N\). Лесно се вижда, че точката \(P\) лежи върху окръжността \(k_{3}\) с диаметър \(B C\). Тъй като \(P \in k_{1}\), то \(∢ P M A_{1}=∢ P B A_{1}\). Освен това от вписания четириъгълник \(P C_{1} B C\) следва, че \(∢ P B A_{1}=∢ P C_{1} C\). Така получаваме, че \(∢ P M A_{1}=∢ P C_{1} C\), т.е. \(∢ P M H=∢ P C_{1} H\), откъдето следва, че точките \(P, M, C_{1}\) и \(H\) лежат на една окръжност. Следователно \(P\) лежи върху описаната окръжност на \(\Delta H C_{1} M\). Аналогично се доказва, че \(P\) лежи върху описаната окръжност на \(\Delta H B_{1} N\). Тъй като четириъгълникът \(P B_{1} C C_{1}\) е вписан в \(k_{3}\), то \(∢ A B_{1} P=∢ P C_{1} C\). Това равенство заедно с вече доказаното \(∢ P M A_{1}=∢ P C_{1} C\) води до \(∢ A B_{1} P=∢ P M A_{1}\). Затова четириъгълникът \(A M P B_{1}\) е вписан в окръжност и следователно \(P\) лежи върху описаната окръжност на \(\Delta A B_{1} M\). По същия начин се доказва, че \(P\) лежи върху описаната окръжност на \(\Delta A C_{1} N\). С това задачата е решена.

Задача 3. Триъгълник с медицентър G едицентьр \(G\) е описан около окръжност \(k(I, r)\), така че \(I G \perp A B\).

а) Ако \(h_{\mathrm{c}}\) и \(r_{\mathrm{c}}\) са дължините на височината през \(C\) и радиусът на външно вписаната за \(\triangle A B C\) окръжност, допираща се до страната \(A B\), да се докаже, че \(h_{c}=4 r\) и \(r_{c}=2 r\).

б) Да се построи триъгълник \(A B C\) по дадени \(r\) и дължина \(c\) на страната \(A B\).

Христо Лесов, Казанлък

Решение: За определеност считаме, че \(A C \gt B C\). Нека \(P\) е средата на \(A B, L\) пресечната точка на \(C I\) с \(A B\). От свойството на ъглополовящата \(C L\) в \(\triangle A B C\) имаме \(\tfrac{A L}{B L}=\tfrac{A C}{B C}\) или \(\tfrac{A L+B L}{B L}=\tfrac{A C+B C}{B C}\), откъдето \(B L=\tfrac{B C}{A C+B C} \cdot A B \lt \tfrac{1}{2} A B=B P\). . Затова \(L\) е междуи \(B\) \(P\). Нека окръжността \(k\) се допира до страната \(A B\) в точка \(T_{3}\), а външновписаната окръжност \(k_{c}\) с център \(O_{c}\) и радиус \(r_{c}\) се допира до страната \(A B\) в точка \(T_{c}\). Тогава \(A T_{c}=\tfrac{1}{2}(A B+B C-A C) \lt \tfrac{1}{2} A B=A P\) и затова точките \(A, T_{c}, P, L, T_{3}\) и \(B\) са разположени в този ред върху правата \(A B\). По условие \(I G \perp A B\) и затова \(T_{3}\), \(I\) и \(G\) лежат в този ред на диаметър на \(k\). Ако ознаса чим с \(N\) диаметрално противоположната точка на \(T_{3}\) върху \(k\), то \(I N=I T_{3}\). Тъй като \(B T_{3}=\tfrac{1}{2}(A B+B C-A C)\), то \(P\) е среда на отсечката \(T_{3} T_{c}\). Следователно \(I P\) е средна отсечка в \(\Delta N T_{3} T_{c}\). Затова \(N T_{c} \| I P\) и \(N T_{c}=2 I P\). През точката \(N\) построяваме допирателната към \(k\). Нека тя пресича правите \(B C\) и \(A C\) съответно в точките \(D\) и \(E\). Тогава \(D E \perp I N, D E \| A B\) и триъгълниците \(A B C\) и \(E D C\) са хомотетични с център \(C\), при което \(T_{c}\) се преобразува в \(N\), а \(k_{c}\) в \(k\). Следователно точките \(C, N\) и \(T_{c}\) лежат на една права и \(C N \| I P\). Така получаваме, че триъгълниците \(C N G\) и \(P I G\) са хомотетични с център \(G\) и \(\tfrac{C N}{I P}=\tfrac{N G}{I G}=\tfrac{C G}{G P}=2\). Оттук \(C N=2 I P=N T_{c}\) и \(N G=2 I G\). Това означава, че \(I N\) е средна отсечка в \(\triangle C O O_{c}\). Следователно \(C I=I O_{c}, r_{c}=O_{c} T_{c}=2 I N=2 r\) и \(N\) е точката на Нагел за \(\triangle A B C\), която лежи върху средната отсечка \(D E\) на \(\triangle A B C\). Ако \(C F \perp A B(F \in A B)\), то \(C F \| N T_{3}\) и затова \(C F\) е средна отсечка в \(\Delta C E T_{c}\). Оттук \(h_{c}=C F=2 N T_{3}=2.2 r=4 r\).

б) Ще използваме твърдение 2 от статията „Разположение на забележителни точки и прави в триъгълника“ в кн. 4, 2014 г. на сп. „Математика и иформатика, стр. 339, съгласно което \(I G \perp A B\) тогава и само тогава, когато \(A C+B C=3 A B\) . Нека окръжнова \(C T_{1}=C T_{2}=\tfrac{1}{2}(A C+B C-A B)=A B\) стта \(k\) се допира до \(B C\) ии \(A C\) правоъгълнитесъответно в т ториъгълницички \(T_{1}\) и \(T_{2}\) \(C I T_{1}\) . Тогаи \(C I T_{2}\) могат да се построят по дадени катети \(I T_{1}=I T_{2}=r\) и \(C T_{1}=C T_{2}=c\). След това има два варианта: І) Построяваме окръжността \(k(I, r)\) и окръжност с център \(C\) и радиус \(4 r\). Общата външна допирателна към тези окръжности пресича правите \(C T_{1}\) и \(C T_{2}\) съответно в точките \(A\) и \(B\). ІІ) Върху продължението на \(C I\) нанасяме отсечка \(I O_{c}=C I\) и построяваме окръжността \(k_{c}\) с център \(O_{c}\) и радиус \(r_{c}=2 r\). Общата вътрешна допирателна на \(k\) и \(k_{c}\) пресича \(C T_{1}\) и \(C T_{2}\) съответно в точките \(A\) и \(B\).