Задача 1. Да се докаже, че за всяко цяло положително число \(k\) уравнението \(x_{1}^{3}+\ldots+x_{k}^{3}+x_{k+1}^{2}=x_{k+2}^{4}\) има безброй много решения в цели положителни числа \(x_{1}, \ldots, x_{k+2}\) такива, че \(x_{1} \lt x_{2} \lt \ldots \lt x_{k} \lt x_{k+1}\).

Решение на тази задача е поместено в брой 2 от тази година на страница 163.

Задача 2. Нека \(a, b\) и \(c\) са положителни реални числа такива, че \(a^{2}+b^{2}+c^{2}+(a+b+c)^{2} \leq 4\). Да се докаже неравенството \(\tfrac{a b+1}{(a+b)^{2}}+\tfrac{b c+1}{(b+c)^{2}}+\tfrac{c a+1}{(c+a)^{2}} \geq 3\).

Решение: Въвеждаме означенията \(\alpha=b+c, \beta=c+a\) и \(\gamma=a+b\). Оттук \(a=\tfrac{-\alpha+\beta+\gamma}{2}, b=\tfrac{\alpha-\beta+\gamma}{2} \quad\) и \(c=\tfrac{\alpha+\beta-\gamma}{2}\). От условието следва, че \(\quad(b+c)^{2}+(c+a)^{2}+(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+(a+b+c)^{2} \leq 4, \quad\) т.е. \(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2} \leq 4\). Сега след заместване в лявата страна на желаното неравенство получаваме последователно \[ \begin{aligned} & \tfrac{\gamma^{2}-(\alpha-\beta)^{2}+4}{4 \gamma^{2}}+\tfrac{\alpha^{2}-(\beta-\gamma)^{2}+4}{4 \alpha^{2}}+\tfrac{\beta^{2}-(\alpha-\beta)^{2}+4}{4 \gamma^{2}} \geq \\ & \geq \tfrac{\gamma^{2}-(\alpha-\beta)^{2}+\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}}{4 \gamma^{2}}+\tfrac{\alpha^{2}-(\beta-\gamma)^{2}+\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}}{4 \alpha^{2}}+\tfrac{\beta^{2}-(\alpha-\beta)^{2}+\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}}{4 \gamma^{2}}= \\ & =\tfrac{2 \gamma^{2}+2 \alpha \beta}{4 \gamma^{2}}+\tfrac{2 \alpha^{2}+2 \beta \gamma}{4 \alpha^{2}}+\tfrac{2 \beta^{2}+2 \gamma \alpha}{4 \beta^{2}}=\tfrac{3}{2}+\tfrac{\alpha \beta}{2 \gamma^{2}}+\tfrac{\beta \gamma}{2 \alpha^{2}}+\tfrac{\gamma \alpha}{2 \beta^{2}} \end{aligned} \]

Остава да отбележим, че от неравенството между средното аритметично и средното геометрично следва \(\tfrac{\alpha \beta}{2 \gamma^{2}}+\tfrac{\beta \gamma}{2 \alpha^{2}}+\tfrac{\gamma \alpha}{2 \beta^{2}} \geq \tfrac{3}{2}\), с което задачата е решена.

Задача 3. Съществуват ли цели положителни числа \(a, b\) и \(c\) такива, че и трите числа \(a^{2}+b+c, b^{2}+c+a\) и \(c^{2}+a+b\) са точни квадрати на цели числа?

Решение: Да предположим, че трите числа \(a^{2}+b+c, b^{2}+c+a\) и \(c^{2}+a+b\) са точни квадрати на цели числа. Тъй като \(a^{2}+b+c\) е квадрат на цяло число по-голямо от \(a^{2}\), то \(a^{2}+b+c \geq(a+1)^{2}\). Следователно \(b+c \geq 2 a+1\). Подобно се получават неравенствата \(c+a \geq 2 b+1\) и \(a+b \geq 2 c+1\). След почленно събиране на последните три неравенства получаваме \(2(a+b+c) \geq 2(a+b+c)+3\), което е невъзможно. Следователно числата \(a^{2}+b+c, b^{2}+c+a\) и \(c^{2}+a+b\) не могат да са едновременно точни квадрати.