Задача 1. Да се намерят всички реални стойности на \(a, b\) и \(c\), , при които корените на уравнението \(x^{2}+\left(1+a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) x+a b+b c+c a=0\) са цели числа.

Милен Найденов, Варна

Решение: Дискриминантата на уравнението е

\[ \begin{gathered} D=a^{2}+b^{2}+c^{2}+1^{2}-4 a b+b c+c a= \\ =a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a^{2}+b^{2}+c^{2}+1-4 a b+b c+c a+4 a^{2}+b^{2}+c^{2}-4 a^{2}+b^{2}+c^{2}= \\ =\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2}-2\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)+1+2\left(2 a^{2}+2 b^{2}+2 c^{2}-2 a b-2 c a-2 b c\right)= \\ =\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-1\right)^{2}+2(a-b)^{2}+2(b-c)^{2}+2(c-a)^{2} . \end{gathered} \]

За да са цели корените на уравнението, \(D\) трябва да е точен квадрат. От последното представяне се вижда, че едно достатъчно условие за това е \(a=b=c\). В този случай корените на уравнението са \(x_{1}=-1\) и \(x_{2}=-3 a^{2}\). Оттук следва, че уравнението има целочислени корени при \(a=b=c=k_{i}(i=1,2,3,4)\), 3,4) , където \(k_{1} \in \mathbb{Z}\), \(k_{2}=\tfrac{k_{1}}{\sqrt{3}}, k_{3} \in\{0, \pm \sqrt{1}, \pm \sqrt{2}, \pm \sqrt{3}, \pm \sqrt{4}, \pm \sqrt{5} \ldots\}\) и \(k_{4}=\tfrac{k_{3}}{\sqrt{3}}\). За пълното решение на задачата са необходими допълнителни изследвания.

Задача 2. В остроъгълния триъгълник \(A B C\) точката \(C_{x}\) се движи по най-малката страна \(A B\), а точките \(A_{x}\) и \(B_{x}\) се движат съответно по страните \(B C\) и \(A C\), така че във всеки момент са изпълнени равенствата \(C_{x} A_{x}=C_{x} B\) и \(C_{x} B_{x}=C_{x} A\). Да се докаже, че окръжността \(k_{x}\), определена от точките \(A_{x}, B_{x}\) и \(C\), , има втора неподвижна точка. Коя е тази точка?

Хаим Хаимов, Варна

Решение: Нека \(A A_{1}\) и \(B B_{1}\) са височини в \(\triangle A B C\), а \(H\) е неговият ортоцентър.

Ще покажем, че окръжността \(k_{x}\) минава през \(H\). От равенствата

\[ \begin{gathered} B_{x} B_{1}=\left|A B_{1}-A B_{x}\right|=\left|A B \cos ∢ B A C-2 A C_{x} \cos ∢ B A C\right|=\left|B C_{x}-A C_{x}\right| \cos ∢ B A C \text { и } \\ A_{x} A_{1}=\left|B A_{x}-B A_{1}\right|=\left|2 B C_{x} \cos ∢ A B C-A B \cos ∢ A B C\right|=\left|B C_{x}-A C_{x}\right| \cos ∢ A B C \end{gathered} \] Следва, че \(\tfrac{B_{x} B_{1}}{A_{x} A_{1}}=\tfrac{\cos ∢ B A C}{\cos ∢ A B C}=\tfrac{C H \sin ∢ A C H}{C H \sin ∢ B C H}=\tfrac{B_{1} H}{A_{1} H}\). Тогава \(\triangle A_{x} A_{1} H \sim \Delta B_{x} B_{1} H\) и оттук \(∢ B_{1} B_{x} H=∢ A_{1} A_{x} H\), което означава, че четириъгълникът \(B_{x} H A_{x} C\) е вписан в окръжността \(k_{x}\). С това задачата е решена.

Задача 3. Правоъгълният триъгълник \(A_{0} B_{0} C_{0}\) е вписан в окръжност \(k_{0}(O, R)\) и е описан около окръжност \(k_{\mathrm{i}}(I, r)\).

а) Да се намерят страните на триъгълник \(A B C\), вписан в \(k_{0}(O, R)\) и описан около \(k_{\mathrm{i}}(I, r)\), така че той да има ъгъл \(60^{\circ}\).

б) Да се докаже, че ако \(S_{0}\) и \(S\) са лицата съответно на \(\Delta A_{0} B_{0} C_{0}\) и \(\triangle A B C\), то е изпълнено равенството \(S=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\left(S_{0}+r^{2}\right)\).

Сава Гроздев, София и Веселин Ненков, Бели Осъм

Решение: Лицето \(S_{\Delta}\) на триъгълник, който има ъгъл \(\gamma\) и е вписан в \(k_{0}(O, R)\) и описан около \(k_{\mathrm{i}}(I, r)\), се пресмята по формулата \(S_{\Delta}=2 R r \sin \gamma+r^{2} c t g \tfrac{\gamma}{2}\). Оттук за лицата на разглежданите триъгълници при \(\gamma=90^{\circ}\) и \(\gamma=60^{\circ}\) се получават съответно формулите \(S_{0}=2 R r+r^{2}\) и \(S=\sqrt{3} r(R+r)\).

От тези формули непосредствено следва твърдение б) на задачата. Сега от равенствата \(a+b+c=\tfrac{2 S}{r}, a b+b c+c a=p^{2}+r^{2}+4 R r=\left(\tfrac{S}{r}\right)^{2}+r^{2}+4 R r\) и \(a b c=4 S R\) забелязваме, че страните на \(\triangle A B C\) са корени на кубичното уравнение

\[ x^{3}-\text { ù ù } \hat{u} \hat{u}(R+r) x^{2}+\left(R^{2}+R r+r^{2}\right) x-\sqrt{R} r(R+r)=. \]

Оттук \(x_{1}=R \sqrt{3}, x_{2}=\tfrac{1}{2}[(R+2 r) \sqrt{3}+\sqrt{(R-2 r)(3 R+2 r)}]\) и

\(x_{3}=\tfrac{1}{2}[(R+2 r) \sqrt{3}-\sqrt{(R-2 r)(3 R+2 r)}]\). С това са намерени страните на \(\triangle A B C\).