Задача 1. От две селища \(A\) и \(B\), разстоянието между които е \(S k m\), едновременно тръгнали един срещу друг автомобил и мотоциклет. В момента на срещата им от \(B\) за \(A\) тръгнал втори мотоциклет. При срещата на втория мотоциклет с автомобила се оказало, че разстоянието между местата на първата и втората среща е \(\cfrac{2}{9} . S\). Ако автомобилът се движи с \(20 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\) по-бавно, то той ще срещне първия мотоциклет \(3 h\) след тръгването си, а разстоянието между местата на двете срещи ще бъде 30 km . Определете разстоянието \(S\), ако скоростите на двата мотоциклета са равни и не надвишават скоростта на автомобила.

Румяна Несторова, Враца

Решение. С и \(y\) означаваме скоростите съответно на автомобила и мотоциклетите. От условието следва, че \(x \gt 20\) и \(y \leq x\). Въвеждаме още означенията: \(t_{1}\)– времето, което се е движил автомобилът до първата среща; \(t_{2}\)– времето, което се е движил автомобилът от първата среща до втората със скорост \(x k m / h ; t_{3}\)– времето, което би се е движил автомобилът от първата среща до втората със скорост \(x-20 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\). Условията на задачата се записват със следните уравнения:

(1) \((x+y) \cdot t_{1}=S, \)

(2) \(x \cdot\left(t_{1}+t_{2}\right)+y \cdot t_{2}=S, \\ \)

(3) \(x \cdot t_{2}=\cfrac{2}{9} \cdot S, \)

(4) \((x-20+y) \cdot 3=S, \)

(5) \((x-20) \cdot\left(3+t_{3}\right)+y \cdot t_{3}=S, \)

(6) \((x-20) \cdot t_{3}=30 .\)

От (1) и (3) изразяваме \(t_{1}=\cfrac{S}{x+y}\) и \(t_{2}=\cfrac{2 S}{9 x}\), които заместваме в (2) и получаваме \(2 x^{2}-5 x y+2 y^{2}=0\). Последното равенство записваме във вида 2. \(\left(\cfrac{x}{y}\right)^{2}-5 \cdot \cfrac{x}{y}+2=0\). Оттук следва, че \(\cfrac{x}{y}=2\) или \(\cfrac{x}{y}=\cfrac{1}{2}\). Тъй като \(y \leq x\), то \(x=2 . y\). Чрез това равенство и (4), (5), (6) получаваме уравнението \(y^{2}-25 y+100=0\). Неговите решения са \(y=5\) и \(y=20\). Тьй като \(x=2 y \gt 20\), то \(y=20 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\) и \(x=40 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\). Сега от (4) следва, че \(S=120 \mathrm{~km}\).

Задача 2. През точка \(P\) от страната \(A B\) на триъгълник \(A B C\) са построени прави, успоредни на \(A C\) и \(B C\), които пресичат страните \(B C\) и \(A C\) съответно в точки \(M\) и \(N\).

а) Да се докаже, че при \(A C \geq B C\) за периметъра \(P_{1}\) на четириъгълника \(C M P N\) са изпълнени неравенствата \(2 . B C \leq P_{1} \leq 2 . A C\). Кога се достига равенство?

б) Да се определи положението на точката \(P\), при което лицето на четириъгълника \(C M P N\) е най-голямо.

в) Да се определи положението на точката \(P\), при което сборът от квадратите на страните на четириъгълника \(C M P N\) е най-малък.

Христо Лесов, Казанлък

Решение. Въвеждаме означенията: \(B C=a, A C=b, P N=C M=x\), \(P M=C N=y\) и \(∢ A C B=\gamma\). От подобните триъгълници \(A P N\) и \(A B C\) имаме \(\cfrac{x}{a}=\cfrac{A P}{A B}\), а от подобните триъгълници \(B P M\) и \(B A C\) следва равенството \(\cfrac{y}{b}=\cfrac{B P}{A B}\). След почленно събиране на последните две равенства стигаме до зависимостта: (1) \(\cfrac{x}{a}+\cfrac{y}{b}=1\), като \(0 \lt x \lt a\) и \(0 \lt y \lt b\).

а) От условието \(b \geq a\) следва \(\cfrac{x+y}{b} \leq \cfrac{x}{a}+\cfrac{y}{b} \leq \cfrac{x+y}{a}\). Сега от (1) се по-лучава \(\cfrac{x+y}{b} \leq 1 \leq \cfrac{x+y}{a}\). Оттук имаме \(a \leq x+y \leq b\). Следователно за \(P_{1}=2(x+y)\) са изпълнени неравенствата \(2 a \leq P_{1} \leq 2 b\). Равенства се достигат само при \(a=b\), т.е. при равнобедрен триъгълник \(A B C\), за който \(A C=B C\).

б) Лицето на успоредника \(C M P N\) е \(S_{1}=x . y . \sin \gamma\). От (1) и неравенството между средното аритметично и средното геометрично имаме \(1=\cfrac{x}{a}+\cfrac{y}{b} \leq 2 \cdot \sqrt{\cfrac{x \cdot y}{a \cdot b}}\). Оттук следва, че \(x \cdot y \leq \cfrac{1}{4} a \cdot b\) и \(S_{1} \leq \cfrac{1}{4} a \cdot b \cdot \sin \gamma=\cfrac{1}{2} S_{A B C}\). Следователно най-голямото лице, което може да има \(C M P N\), е равно на половината от лицето на \(\triangle A B C\). То се достига, когато \(\cfrac{x}{a}=\cfrac{y}{b}=\cfrac{1}{2}\) или \(\cfrac{A P}{A B}=\cfrac{1}{2}=\cfrac{B P}{A B}\), т.е. когато \(P, M\) и \(N\) са средите съответно на \(A B, B C\) и \(C A\).

в) От (1) следва \(y=b \cdot\left(1-\cfrac{x}{a}\right)\). Оттук \(x^{2}+y^{2}=\left(1+\cfrac{b^{2}}{a^{2}}\right) x^{2}-2 \cdot \cfrac{b^{2}}{a} x+b^{2}\). Известно е, че квадратната функция \(m \cdot x^{2}+n \cdot x+p(m \gt 0)\) приема най-малка стойност при \(x=-\cfrac{m}{2 n}\). Затова сборът от от квадратите на страните на \(C M P N\) е най-малък при \(x=\cfrac{a \cdot b^{2}}{a^{2}+b^{2}} \lt a\) и \(y=\cfrac{a \cdot{ }^{2} b}{a^{2}+b^{2}} \lt b\). Оттук \(\cfrac{A P}{A B}=\cfrac{x}{a}=\cfrac{b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\) и \(\cfrac{B P}{A B}=\cfrac{y}{b}=\cfrac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}}\). Следователно \(\cfrac{A P}{B P}=\cfrac{b^{2}}{a^{2}}\). Това означава, че \(C P\) е симедиана на \(\triangle A B C\), т.е. \(C P\) е симетрична на медианата \(C D\) спрямо ъглополовящата \(C L\) на \(∢ A C B\).

Задача 3. В изпъкналия четириъгълник \(A B C D\) точката \(M\) лежи върху диагонала \(A C\), така че \(∢ A B M=∢ B D C\), а точката \(N\) лежи върху диагонала \(B D\), така че \(∢ B A N=∢ A C D\). Да се докаже, че една от общите точки на описаните окръжности \(c_{1}\) и \(c_{2}\) съответно за \(\triangle A D N\) и \(\triangle B C M\) лежи върху правата \(M N\).

Хаим Хаимов, Варна

Решение. Нека \(T\) е пресечната точка на диагоналите \(A C\) и \(B D\), а \(K\) е втората пресечна точка на описаните около триъгълниците \(A B T\) и \(C D T\) окръжности. Ще докажем, че \(K\) е една от пресечните точка на окръжностите \(c_{1}\) и \(c_{2}\). Тъй като \(∢ D C T=∢ B A N\), имаме \(∢ A K D=∢ A K T+∢ D K T=∢ A B T+∢ D C T=∢ A B N+∢ B A N==∢ A N D\).

Следователно \(K \in c_{1}\). Аналогично се показва, че \(K \in c_{2}\). Нека \(O\) е втората пресечна точка на \(c_{1}\) и \(c_{2}\).

Ще докажем, че \(O\) лежи върху правата \(M N\). Първо ще докажем, че \(∢ A O B=∢ A D T+∢ B C T\). Нека \(P\) е точка от правата \(K O\), лежаща в \(∢ A O B\). Понеже \(∢ T D K=∢ T C K\), то

\(∢ A O B=∢ A O P+∢ B O P=∢ A D K+∢ B C K=\)

\(=(∢ A D T+∢ T D K)+(∢ B C T-∢ T C K)=∢ A D T+∢ B C T\).

Сега означаваме с \(Q_{1}\) точка от правата \(N O\), а с \(Q_{2}\) точка от правата \(M O\), така че точките \(Q_{1}\) и \(Q_{2}\) да лежат в \(∢ A O B\). За да докажем, че точките \(M\), \(N\) и \(O\) лежат на една права, е достатъчно да докажем, че \(Q_{1}, Q_{2}\) и \(O\) лежат на една права. От \(∢ A O Q_{1}=∢ A D N=∢ A D T\) и \(∢ B O Q_{2}=∢ B C M=∢ B C T\) следва, че

\[ ∢ A O Q_{1}+∢ B O Q_{2}=∢ A D T+∢ B C T=∢ A O B . \]

Така заключаваме, че точките \(Q_{1}\) и \(Q_{2}\) лежат на една права с \(O\).