Задача 1. Едно цяло положително число \(n\) ще наричаме “интересно”, ако може да бъде записано във вида \(n=a+b+c\), където \(a \lt b \lt c\) са цели положителни числа и \(a\) дели \(b\), а \(b\) дели \(c\). Да се докаже, че само краен брой цели положителни числа не са “интересни” и да се намери сумата им.

Решение: 1) Нека \(n\) е нечетно. Ако \(n \gt 5\), то \(n=1+2+(n-3)\) и затова е “интересно”. Остава да отбележим, че \(n=1, n=3\) и \(n=5\) не са “интересни”.

2) Нека \(n\) е четно.

2.1) Ако \(n \equiv 1(\bmod 3)\) и \(n \gt 4\), то \(n=1+\tfrac{n-1}{3}+\tfrac{2(n-1)}{3}\) и затова е “интересно”. Останалото число \(n=4\) от същия вид не е “интересно”. В случай, че \(n=6 m\) и \(m \equiv 1(\bmod 3)\), по същия начин намираме, че при \(m \gt 4\) числото \(n\) е “интересно”, а числата \(n=6\) и \(n=24\) от същия вид не са “интересни”.

2.2) Ако \(n \equiv 2(\bmod 3)\) и \(n \gt 8\), то \(n=2+\tfrac{n-2}{3}+\tfrac{2(n-2)}{3}\) и затова е “интересно”. Останалите две числа \(n=2\) и \(n=8\) от същия вид не са “интересни”. В случай, че \(n=6 m\) и \(m \equiv 2(\bmod 3)\) по същия начин намираме, че при \(m \gt 8\) числото \(n\) е “интересно”, а при \(m \leq 8\) само числото \(n=12\) от същия вид не е “интересно”.

2.3) Ако \(n=3^{a} \cdot p\) и \(a \gt 1\), където \(p\) не се дели на 3, е изпълнено равенството \(n=p+2 p+\left(3^{a}-3\right) p\). Следователно тези \(n\) са “интересни”. Остава да отбележим, че случаят \(a=1\) беше разгледан в 2.1) и 2.2).

Така получихме, че само деветте числа \(1,2,3,4,5,6,8,12\) и 24 не са “интересни”. Сумата им е равна на 65.

Задача 2. Даден е триъгълник \(A B C\), в който \(O, H\) и \(I_{a}\) са съответно център на описаната окръжност, ортоцентър и център на външно вписаната окръжност, допираща се до страната \(B C\). Да се докаже, че ако \(∢ A: ∢ B: ∢ C=1: 2: 4\), то триъгълникът \(O I_{a} H\) е равнобедрен.

Николай Белухов, Стара Загора

Решение (Николай Белухов) : Нека \(H_{a} H_{b} H_{c}\) е педалният триъгълник на \(H\) спрямо \(\triangle A B C\), а \(O^{\prime}\) е центърът на неговата Ойлерова окръжност. Известно е, че триъгълниците \(A B C\) и \(H_{c} H_{a} H_{b}\) са подобни. Освен това лесно се вижда, че \(\triangle A B O \sim \Delta H_{b} H_{c} O^{\prime}\) и \(\triangle B C I_{a} \sim \Delta H_{b} H_{a} H\). Следователно петоъгълниците \(A O B I_{a} C\) и \(H_{c} O^{\prime} H_{b} H H_{a}\) са подобни като съставени от подобни триъгълници. Тъй като коефициентът на подобност на триъгълниците \(H_{a} H_{b} H_{c}\) и \(A B C\) е равен на \(2: 1\), то целите фигури имат същия коефициент на подобност. Следователно \(O I_{a}=2 O^{\prime} H=O H\). С това задачата е решена.

Задача 3. Дадени са правилен тетраедър \(T=A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) и точките ⋯ от правите \(A_{i} A_{j}(i, j=1,2,3,4)\). Нека \(H_{1}, H_{2}, H_{3}\) и \(H_{4}\) са точките на Монж, а \(E_{1}, E_{2}, E_{3}\) и \(E_{4}\) са центровете на Ойлеровите сфери съответно за тетраедрите \(T_{\overline{1}}=A_{1} A_{12} A_{13} A_{14}, T_{2}=A_{21} A_{2} A_{23} A_{24}, T_{3}=A_{31} A_{32} A_{3} A_{34}\) и \(T_{4}=A_{41} A_{42} A_{43} A_{4}\). Да се докаже, че:

1) центърът на тежестта на точките \(H_{1}, H_{2}, H_{3}\), H2, H3, и \(H_{4}\) съвпада с центъра на \(T\);

2) ако ориентираните обеми на \(T, T_{1}, T_{2}, T_{3}\) и \(T_{4}\) са съответно \(V, V_{1}, V_{2}, V_{3}\) и \(V_{4}\), то за ориентирания обем \(\bar{V}\) на тетраедъра \(H_{1} H_{2} H_{3} H_{4}\) е изпълнено равенството \(\bar{V}=\tfrac{1}{4}\left(V-V_{1}-V_{2}-V_{3}-V_{4}\right)\);

3) правите \(A_{1} E_{1}, A_{2} E_{2}, A_{3} E_{3}\) и \(A_{4} E_{4}\) се пресичат в една точка;

4) правите \(l_{1}=H_{1} E_{1}, l_{2}=H_{2} E_{2}, l_{3}=H_{3} E_{3}\) и \(l_{4}=H_{4} E_{4}\) са успоредни съответно на равнините \(\alpha_{1}=\left(A_{2} A_{3} A_{4}\right), \alpha_{2}=\left(A_{3} A_{4} A_{1}\right), \alpha_{3}=\left(A_{4} A_{1} A_{2}\right)\) и \(\alpha_{4}=\left(A_{1} A_{2} A_{3}\right)\);

5) тетраедърьт \(B_{1} B_{2} B_{3} B_{4}\), получаващ се като част от пространството, заградено от равнините, минаващи през правите \(l_{1}, l_{2}, l_{3}\) и \(l_{4}\) и успоредни съответно на \(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\) и \(\alpha_{4}\), α2 , α3 и α4 , е хомотетичен на \(T\).

Веселин Ненков, Бели Осъм

Решение (Веселин Ненков): Ще използваме барицентрични координати с координатен тетраедър \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\), като \(A_{1}(1,0,0,0), \quad A_{2}(0,1,0,0)\), \(A_{3}(0,0,1,0)\) и \(A_{4}(0,0,0,1)\) Нека \(A_{12}\left(\lambda_{12}, \lambda_{21}, 0,0\right) \in A_{1} A_{2}, A_{13}\left(\lambda_{13}, 0, \lambda_{31}, 0\right) \in A_{1} A_{3}\), \(A_{14}\left(\lambda_{14}, 0,0, \lambda_{41}\right) \in A_{1} A_{4}, \quad A_{23}\left(0, \lambda_{23}, \lambda_{32}, 0\right) \in A_{2} A_{3}, \quad A_{24}\left(0, \lambda_{24}, 0, \lambda_{42}\right) \in A_{2} A_{4}\), \(A_{34}\left(0,0, \lambda_{34}, \lambda_{43} \in A_{3} A_{4}\right)\). Нека \(L_{23}, L_{34}\) и \(L_{42}\) са средите съответно на отсечките \(A_{12} A_{13}, A_{13} A_{14}\) и \(A_{14} A_{12}\). Тъй като равнините, минаващи през \(L_{23}, L_{34}\) и \(L_{42}\), перпендикулярни съответно на правите \(A_{1} A_{14}, A_{1} A_{12}\) и \(A_{1} A_{13}\) се пресичат в точката на Монж \(H_{1}(x, y, z, t)\) на \(T_{1}\), y, z, t) на T1 , то \(L_{23} H_{1} \perp A_{1} A_{14}, L_{34} H_{1} \perp A_{1} A_{12}\) и \(L_{42} H_{1} \perp A_{1} A_{13}\).

Тогава \(\overrightarrow{L_{23} H_{1}} \cdot \overrightarrow{A_{1} A_{14}}=0, \overrightarrow{L_{34} H_{1}} \cdot \overrightarrow{A_{1} A_{12}}=0\) и \(\overrightarrow{L_{42} H_{1}} \cdot \overrightarrow{A_{1} A_{13}}=0\). От тези равен- ства лесно се вижда, че са изпълнени: \(2 x-2 t=\lambda_{12}+\lambda_{13}, 2 x-2 z=\lambda_{12}+\lambda_{14}\) и \(2 x-2 y=\lambda_{13}+\lambda_{14}\), които заедно с равенството \(x+y+z+t=1\) образуват система от четири линейни уравнения с четири неизвестни. След решаването на тази система получаваме

(1) \(H_{1}\left(\tfrac{\lambda_{12}+\lambda_{13}+\lambda_{14}+1}{4}, \tfrac{\lambda_{12}-\lambda_{13}-\lambda_{14}+1}{4}, \tfrac{-\lambda_{12}+\lambda_{13}-\lambda_{14}+1}{4}, \tfrac{-\lambda_{12}-\lambda_{13}+\lambda_{14}+1}{4}\right)\)

По аналогичен начин се получават

(2) \(\begin{aligned} & H_{2}\left(\tfrac{\lambda_{21}-\lambda_{23}-\lambda_{24}+1}{4}, \tfrac{\lambda_{21}+\lambda_{23}+\lambda_{24}+1}{4}, \tfrac{-\lambda_{21}+\lambda_{23}-\lambda_{24}+1}{4}, \tfrac{-\lambda_{21}-\lambda_{23}+\lambda_{24}+1}{4}\right) \\ & H_{3}\left(\tfrac{\lambda_{31}-\lambda_{32}-\lambda_{34}+1}{4}, \tfrac{-\lambda_{31}+\lambda_{32}-\lambda_{34}+1}{4}, \tfrac{\lambda_{31}+\lambda_{32}+\lambda_{34}+1}{4}, \tfrac{-\lambda_{31}-\lambda_{32}+\lambda_{34}+1}{4}\right) \\ & H_{4}\left(\tfrac{\lambda_{41}-\lambda_{42}-\lambda_{43}+1}{4}, \tfrac{-\lambda_{41}+\lambda_{42}-\lambda_{43}+1}{4}, \tfrac{-\lambda_{41}-\lambda_{42}+\lambda_{43}+1}{4}, \tfrac{\lambda_{41}+\lambda_{42}+\lambda_{43}+1}{4}\right) \end{aligned}\)

От (1) и (2) лесно се вижда, че центърът на тежеста на точките \(H_{1}, H_{2}, H_{3}\) и \(H_{4}\) е точката \(G\left(\tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{4}\right)\), която е центърът на \(T\). С това е доказано 1).

Ако точките \(M_{i}\left(x_{i}, y_{i}, z_{i}, t_{i}\right) \quad(i=1,2,3,4)\) са върхове на тетраедър \(M_{1} M_{2} M_{3} M_{4}\) с ориентиран обем \(V_{0}\), то е изпълнено

От (1) , (2) и (3) следва \[ \bar{V}=\tfrac{1}{4}\left(1-\lambda_{21} \lambda_{31} \lambda_{41}-\lambda_{12} \lambda_{32} \lambda_{42}-\lambda_{13} \lambda_{23} \lambda_{43}-\lambda_{14} \lambda_{24} \lambda_{34}\right) \cdot V . \] От друга страна от (3) следват още равенствата \(V_{1}=\lambda_{21} \lambda_{31} \lambda_{41} . V, V_{2}=\lambda_{12} \lambda_{32} \lambda_{42} . V\), \(V_{3}=\lambda_{13} \lambda_{23} \lambda_{43} . V\) и \(V_{4}=\lambda_{14} \lambda_{24} \lambda_{34} . V\). Така от последните пет равенства следва 2).

Ако \(G_{1}\) е медицентърът на \(T_{1}\), то \(G_{1}\left(\tfrac{\lambda_{12}+\lambda_{13}+\lambda_{14}+1}{4}, \tfrac{\lambda_{21}}{4}, \tfrac{\lambda_{31}}{4}, \tfrac{\lambda_{41}}{4}\right)\). Тогава от (1) и векторното равенство \(\overrightarrow{O E_{1}}=\tfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{O H_{1}}+2 \cdot \overrightarrow{O G_{1}}\right)\), където \(O\) е произволна точка в пространството, се получава

От друга страна уравненията на правата \(A_{1} G\) са следните:

\[ x=1-\tfrac{3}{4} \cdot p, y=\tfrac{1}{4} \cdot p, z=\tfrac{1}{4} \cdot p, t=\tfrac{1}{4} \cdot p, p \in R \] откъдето се вижда, че \(E_{1} \in A_{1} G\). Аналогично се показва, че \(E_{2} \in A_{2} G, E_{3} \in A_{3} G\) и \(E_{4} \in A_{4} G\). С това 3) е доказано.

Тъй като първата координата на вектора

\[ \overrightarrow{G_{1} H_{1}}\left(0, \tfrac{2 \lambda_{12}-\lambda_{13}-\lambda_{14}}{4}, \tfrac{-\lambda_{12}+2 \lambda_{13}-\lambda_{14}}{4}, \tfrac{-\lambda_{12}-\lambda_{13}+2 \lambda_{14}}{4}\right) \] е нула, то \(l_{1} \| \alpha_{1}\). Аналогично се вижда, че \(l_{2}\left\|\alpha_{2}, l_{3}\right\| \alpha_{3}\) и \(l_{4} \| \alpha_{4}\). С това е доказано 4).

За да докажем 5), определяме уравненията на равнините \(\alpha_{i}(i=1,2,3,4)\) :

\[ \alpha_{1}: x=\tfrac{\lambda_{1}+\lambda_{3}+\lambda_{4}+1}{4}, \alpha_{2}: y=\tfrac{\lambda_{2}+\lambda_{3}+\lambda_{3}+1}{4} \] \[ \alpha_{3}: z=\tfrac{\lambda_{31}+\lambda_{32}+\lambda_{34}+1}{4}, \alpha_{4}: t=\tfrac{\lambda_{41}+\lambda_{42}+\lambda_{43}+1}{4} . \]

От тези уравнения намираме върховете на тетраедъра \(B_{1} B_{2} B_{3} B_{4}\) : \[ \begin{array}{r} B_{1}\left(\tfrac{\lambda_{12}+\lambda_{13}+\lambda_{14}-5}{4}, \tfrac{\lambda_{21}+\lambda_{23}+\lambda_{24}+1}{4}, \tfrac{\lambda_{31}+\lambda_{32}+\lambda_{34}+1}{4}, \tfrac{\lambda_{41}+\lambda_{42}+\lambda_{43}+1}{4}\right), \\ B_{2}\left(\tfrac{\lambda_{12}+\lambda_{13}+\lambda_{14}+1}{4}, \tfrac{\lambda_{21}+\lambda_{23}+\lambda_{24}-5}{4}, \tfrac{\lambda_{31}+\lambda_{32}+\lambda_{34}+1}{4}, \tfrac{\lambda_{41}+\lambda_{42}+\lambda_{43}+1}{4}\right), \\ B_{3}\left(\tfrac{\lambda_{12}+\lambda_{13}+\lambda_{14}+1}{4}, \tfrac{\lambda_{21}+\lambda_{23}+\lambda_{24}+1}{4}, \tfrac{\lambda_{31}+\lambda_{32}+\lambda_{34}-5}{4}, \tfrac{\lambda_{41}+\lambda_{42}+\lambda_{43}+1}{4}\right), \\ B_{4}\left(\tfrac{\lambda_{12}+\lambda_{13}+\lambda_{14}+1}{4}, \tfrac{\lambda_{21}+\lambda_{23}+\lambda_{24}+1}{4}, \tfrac{\lambda_{31}+\lambda_{32}+\lambda_{34}+1}{4}, \tfrac{\lambda_{41}+\lambda_{42}+\lambda_{43}-5}{4}\right) . \end{array} \]

Разглеждаме точката

\(M\left(\tfrac{\lambda_{12}+\lambda_{13}+\lambda_{14}+1}{10}, \tfrac{\lambda_{21}+\lambda_{23}+\lambda_{24}+1}{10}, \tfrac{\lambda_{31}+\lambda_{32}+\lambda_{34}+1}{10}, \tfrac{\lambda_{41}+\lambda_{42}+\lambda_{43}+1}{10}\right)\).

Тогава са изпълнени равенствата \(\overrightarrow{M B_{k}}=-\tfrac{3}{2} \overrightarrow{M A_{k}}, k=1,2,3,4\). Следователно \(B_{1} B_{2} B_{3} B_{4}\) е хомотетичен на \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) с център на хомотетия точката \(M\) и коефициент \(-\tfrac{3}{2}\).

С това задачата е решена.