Задача 1. Ако \(p=16 k-5, k \in \mathbb{N}\) е цяло положително число, да се докаже, че съществуват безброй много цели положителни числа \(x, y\) и \(z\), y и z , за които е изпълнено равенството \(x^{2}+y^{2}-z^{2}=p\).

Веселин Ненков, Бели Осъм

Решение (Светлозар Дойчев) : Като използваме, че за произволно цяло число \(t\) е изпълнено равенството \(\left[2 t^{2}-(8 k-2)\right]^{2}+4 t^{2}-\left[2 t^{2}-(8 k-3)\right]^{2}=p\), виждаме, че тройката от цели числа \(x=2 t^{2}-(8 k-2), y=2 t^{2}, z=2 t^{2}-(8 k-3)\) е решение на уравнението.

Задача 2. Съществува ли такава линейна функция на пет променливи \(f(u, w, x, y, z)\), че за всеки триъгълник с радиуси на описаната, вписаната и трите външно вписани окръжности \(R, r, r_{a}, r_{b}, r_{c}\) съответно, да е изпълнено \(f\left(R, r, r_{a}, r_{b}, r_{c}\right)=0\).

Николай Белухов, Стара Загора

Решение (Николай Белухов) : Да, съществува – такава е функцията \(f=4 u+w-x-y-z\). Това следва от известното равенство \(4 R+r=r_{a}+r_{b}+r_{c}\). Последното равенство може да се докаже по следния начин:

Нека \(L_{1}\) и \(L_{2}\) са средите на дъгите \(\overparen{A C B}\) и \(\overparen{B A}\) на описаната за \(\triangle A B C\) окръжност, а \(O, I, I_{a}, I_{b}\) и \(I_{c}\) са обичайните означения за центровете на описаната и вписаните окръжности за \(\triangle A B C\). Освен това с \(M\) означаваме средата на \(A B\), а с \(T, T_{a}, T_{b}\) и \(T_{c}\) допирните точки на вписаните за \(\triangle A B C\) окръжности с правата \(A B\). Тъй като \(I_{a} I_{b} A\) и \(I_{a} I_{b} B\) са правоъгълни триъгълници с обща хипотенуза \(I_{a} I_{b}\), то \(L_{1}\) е среда на отсечката \(I_{a} I_{b}\). Следователно \(L_{1} M\) е средна основа на трапеца \(I_{a} I_{b} T_{b} T_{a}\) и затова \(L_{1} M=\tfrac{1}{2}\left(r_{a}+r_{b}\right)\). Аналогично \(M L_{2}\) е отсечката свързваща средите на диагоналите на трапеца \(I T I_{c} M\), откъдето \(M L_{2}=\tfrac{1}{2}\left(r_{c}-r\right)\). Сега от равенствата \(2 R=L_{1} L_{2}=L_{1} M+M L_{2}\) следва, че \(4 R=r_{a}+r_{b}+r_{c}-r\), което е еквивалентно с желаното равенство.

Бележка на автора: Задачата е съставена по задача Сангаку, твърдяща, че радиусът на описаната окръжност на триъгълника, заграден от вторите външни допирателни на външно вписаните окръжности на \(\triangle A B C\), има радиус на вписаната окръжност \(2 R+r=\tfrac{1}{2}\left(r_{a}+r_{b}+r_{c}+r\right)\).

Задача 3. Нека \(V\) и \(V_{k}\) са съответно обемът на правилна \(n\)-ъгълна пирамида и обемът на вписаното в нея кълбо. Да се определи ъгъла между околната стена и основата на пирамидата, така че частното \(\tfrac{V}{V_{k}}\) да е най-малко.

Христо Лесов,

Решение (Христо Лесов) : Нека \(M P=h\) е височината към основата на правилна \(n\)-ъгълна пирамида, като \(P\) е центъра на правилния \(n\) -ъгълник, а \(K_{1}, K_{2}, \ldots, K_{n}\) са средите на страните му. Означаваме \(P K_{1}=P K_{2}=\cdots=P K_{n}=r_{1}\) и \(∢ M K_{1} P=∢ M K_{2} P=\cdots ∢ M K_{n} P=\alpha\). Центърът \(I\) на вписаното кълбо лежи върху \(M P\) и \(I P=r\) е неговия радиус, а \(K_{2} I\) е ъглополовяща на \(∢ M K_{2} P\). Обемът на кълбото е \(V_{k}=\tfrac{4}{3} \pi r^{3}\), а за обема \(V\) на пирамидата имаме \(V=\tfrac{1}{3} S_{A_{1} A_{2} \ldots A_{n}} . h\). h . Тъй като \(S_{A_{1} A_{2} \ldots A_{n}}=n . r_{1}^{2} \cdot \operatorname{tg} \tfrac{\pi}{n}\), а от правоъгълния триъгълник \(M P K_{2}\) следва \(h=r_{1} \operatorname{tg} \alpha\), то \(V=\tfrac{n}{3} r_{1}^{3} \operatorname{tg} \tfrac{\pi}{n} \operatorname{tg} \alpha\). Следователно \(\tfrac{V}{V_{k}}=\tfrac{n}{4 \pi} \operatorname{tg} \tfrac{\pi}{n}\left(\tfrac{r_{1}}{r}\right)^{3} \operatorname{tg} \alpha\). Тьй като от \(\triangle M P K_{2}\) имаме \(\tfrac{r_{1}}{r}=\operatorname{cotg} \tfrac{\alpha}{2}\), то \(\tfrac{V}{V_{k}}=\tfrac{n \operatorname{tg} \tfrac{\pi}{n}}{4 \pi} \cdot \tfrac{\operatorname{cotg}^{3} \tfrac{\alpha}{2}}{\operatorname{cotg} \alpha}\). Остава да намерим най-малката стойност на израза \(A=\tfrac{\operatorname{cotg} \tfrac{3 \alpha}{2}}{\operatorname{cotg} \alpha}\) за \(\alpha \in\left(0^{\circ}, 90^{\circ}\right)\), т. е. \(\tfrac{\alpha}{2} \in\left(0^{\circ}, 45^{\circ}\right)\) и \(\operatorname{cotg} \tfrac{\alpha}{2} \gt \operatorname{cotg} 45^{\circ}=1\). Тъй като \(\operatorname{cotg} \alpha=\tfrac{\operatorname{cotg}^{2} \tfrac{\alpha}{2}-1}{2 \operatorname{cotg} \tfrac{\alpha}{2}}\), то \(A=\tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{\operatorname{cotg}^{4} \tfrac{\alpha}{2}}{\operatorname{cotg}^{2} \tfrac{\alpha}{2}-1}\). Полагаме \(\operatorname{cotg} \tfrac{\alpha}{2}=t \gt 1\) и разглеждаме функцията \(f(t)=\tfrac{t^{2}}{t-1}\) за \(t \gt 1\). Тъй като \(f(t)-4=\tfrac{(t-2)^{2}}{t-1}\), то \(f(t) \geq 4\), което показва, че най-малката стойност на \(f(t)\) е 4, а на \(A\)– е 2 и се достига при \(t=2\). Следователно най-малката стойност на \(\tfrac{V}{V_{k}}\) се получава при \(\operatorname{cotg} \tfrac{\alpha}{2}=\sqrt{2}\) \(\left(\alpha \in\left(0^{\circ}, 90^{\circ}\right)\right)\).