Рубриката се води от доц. д-р Веселин Ненков

Задача 1. Да се намерят всички тройки естествени числа, които са дължини в сантиметри на ръбовете на правоъгълен паралелепипед с телесен диагонал \(\sqrt{2019} \mathrm{~cm}\).

Христо Лесов, Казанлък

Решение. Нека \(a \geq b \geq c \geq 1\) са дължините в сантиметри на ръбовете на правоъгълен паралелепипед с диагонал \(\sqrt{2019} \mathrm{~cm}\). Изпълнено е равенството \(a^{2}+b^{2}+c^{2}=2019\). Оттук имаме \(3 a^{2} \geq a^{2}+b^{2}+c^{2}=2019\). Следователно \(a^{2} \geq 673 \gt 625=25^{2}\). Затова \(a \gt 25\), т.е. \(a \geq 26\). От друга страна, \(a^{2}+1^{2}+1^{2} \leq a^{2}+b^{2}+c^{2}=2019\), което означава, че \(a^{2} \lt 2017 \lt 2025=45^{2}\). Затова \(a \lt 45\), т.е. \(a \leq 44\). По този начин получихме, че \(26 \leq a \leq 44\). Като направим необходимите проверки при съответните стойности на \(a\), ще намерим решенията на задачата.

1) При \(a=44\) имаме \(b^{2}+c^{2}=83\). Оттук \(2 b^{2} \geq b^{2}+c^{2}=83\) и \(b^{2} \gt 41 \gt 36=6^{2}\). Следователно \(b \geq 7\). Освен това \(b^{2}+1^{2} \leq b^{2}+c^{2}=83\), откъдето \(b^{2} \leq 82 \lt 100=10^{2}\). Следователно \(b \leq 9\). Така получихме \(7 \leq b \leq 9\). При \(b=7, b=8\) и \(b=9\) получаваме съответно \(c^{2}=34, c^{2}=14\) и \(c^{2}=2\). И трите случая не водят до решение на задачата.

2) При \(a=43\) имаме \(b^{2}+c^{2}=170\). Оттук намираме \(10 \leq b \leq 13\). При \(b=10\) и \(b=12\) последното равенство не води до целочислени стойности за \(c\). При \(b=11\) и \(b=13\) получаваме съответно \(c=7\) и \(c=1\). Така получихме следните две тройки решения на задачата \(a=43, b=11, c=7\) и \(a=43\), \(b=13, c=1\).

3) При \(a=42\) имаме \(b^{2}+c^{2}=255\). Оттук намираме \(12 \leq b \leq 15\). С непосредствена проверка се забелязва, че при тези цели стойности за \(b\) не се получават цели решения на последното уравнение. Така установяваме, че в този случай не се получават решения на задачата за \(c\).

4) При \(a=41\) имаме \(b^{2}+c^{2}=338\). Оттук намираме \(13 \leq b \leq 18\). При \(b=14, b=15, b=16\) и \(b=18\) последното равенство не води до целочислени стойности за \(c\). При \(b=13\) и \(b=17\) получаваме съответно \(c=13\) и \(c=7\). Така получихме следните две тройки решения на задачата \(a=41, b=13\), \(c=13\) и \(a=41, b=17, c=7\).

5) При \(a=40\) имаме \(b^{2}+c^{2}=419\). Оттук намираме \(15 \leq b \leq 20\). С непосредствена проверка се забелязва, че при тези цели стойности за \(b\) не се получават цели решения на последното уравнение за \(c\). Така установяваме, че в този случай не се получават решения на задачата.

6) При \(a=39\) имаме \(b^{2}+c^{2}=498\). Оттук намираме \(16 \leq b \leq 22\). С непосредствена проверка се забелязва, че при тези цели стойности за \(b\) не се получават цели решения на последното уравнение за \(c\). Така установяваме, че в този случай не се получават решения на задачата.

7) При \(a=38\) имаме \(b^{2}+c^{2}=575\). Оттук намираме \(17 \leq b \leq 23\). С непосредствена проверка се забелязва, че при тези цели стойности за \(b\) не се получават цели решения на последното уравнение за \(c\). Така установяваме, че в този случай не се получават решения на задачата.

8) При \(a=37\) имаме \(b^{2}+c^{2}=650\). Оттук намираме \(19 \leq b \leq 25\). При \(b=20, b=21, b=22\) и \(b=24\) последното равенство не води до целочислени стойности за \(c\). При \(b=19, b=23\) и \(b=25\) получаваме съответно \(c=17\), \(c=11\) и \(c=5\). Така получихме следните две тройки решения на задачата \(a=37, b=19, c=17 ; a=37, b=23, c=11\) и \(a=37, b=25, c=5\).

9) При \(a=36\) имаме \(b^{2}+c^{2}=723\). Оттук намираме \(20 \leq b \leq 26\). С непосредствена проверка се забелязва, че при тези цели стойности за \(b\) не се получават цели решения на последното уравнение за \(c\). Така установяваме, че в този случай не се получават решения на задачата.

10) При \(a=35\) имаме \(b^{2}+c^{2}=794\). Оттук намираме \(20 \leq b \leq 28\). При \(b=20, b=21, b=22, b=23, b=24, b=26, b=27\) и \(b=28\) последното равенство не води до целочислени стойности за \(c\). При \(b=25\) получаваме \(c=13\). Така получихме следната тройка \(a=35, b=25, c=13\), b = 25 , c = 13, която е решение на задачата.

11) При \(a=34\) имаме \(b^{2}+c^{2}=863\). Оттук намираме \(21 \leq b \leq 29\). С непосредствена проверка се забелязва, че при тези цели стойности за \(b\) не се получават цели решения на последното уравнение за \(c\). Така установяваме, че в този случай не се получават решения на задачата.

12) При \(a=33\) имаме \(b^{2}+c^{2}=930\). Оттук намираме \(22 \leq b \leq 30\). С непосредствена проверка се забелязва, че при тези цели стойности за \(b\) не се получават цели решения на последното уравнение за \(c\). Така установяваме, че в този случай не се получават решения на задачата.

13) При \(a=32\) имаме \(b^{2}+c^{2}=995\). Оттук намираме \(23 \leq b \leq 31\). С непосредствена проверка се забелязва, че при тези цели стойности за \(b\) не се получават цели решения на последното уравнение за \(c\). Така установяваме, че в този случай не се получават решения на задачата.

14) При \(a=31\) имаме \(b^{2}+c^{2}=1058\). Оттук намираме \(23 \leq b \leq 31\). При \(b=24, b=25, b=26, b=27, b=28, b=29, b=30\) и \(b=31\) по-следното равенство не води до целочислени стойности за \(c\). При \(b=23\) получаваме \(c=23\). Така получихме следната тройка \(a=31, b=23\), \(c=23\), която е решение на задачата.

15) При \(a=30\) имаме \(b^{2}+c^{2}=1119\). Оттук намираме \(24 \leq b \leq 30\). С непосредствена проверка се забелязва, че при тези цели стойности за \(b\) не се получават цели решения на последното уравнение за \(c\). Така установяваме, че в този случай не се получават решения на задачата.

16) При \(a=29\) имаме \(b^{2}+c^{2}=1178\). Оттук намираме \(24 \leq b \leq 29\). С непосредствена проверка се забелязва, че при тези цели стойности за \(b\) не се получават цели решения на последното уравнение за \(c\). Така установяваме, че в този случай не се получават решения на задачата.

17) При \(a=28\) имаме \(b^{2}+c^{2}=1235\). Оттук намираме \(25 \leq b \leq 28\). С непосредствена проверка се забелязва, че при тези цели стойности за \(b\) не се получават цели решения на последното уравнение за \(c\). Така установяваме, че в този случай не се получават решения на задачата.

18) При \(a=27\) имаме \(b^{2}+c^{2}=1290\). Оттук намираме \(24 \leq b \leq 27\). С непосредствена проверка се забелязва, че при тези цели стойности за \(b\) не се получават цели решения на последното уравнение за \(c\). Така установяваме, че в този случай не се получават решения на задачата.

19) При \(a=26\) имаме \(b^{2}+c^{2}=1343\). Оттук намираме \(24 \leq b \leq 26\). С непосредствена проверка се забелязва, че при тези цели стойности за \(b\) не се получават цели решения на последното уравнение за \(c\). Така установяваме, че в този случай не се получават решения на задачата.

Заключаваме, че целочислените тройки ( \(a, b, c\) ), които са решения на задачата, се изчерпват със следните девет: \((43,13,1),(43,11,7)\), \((41,17,7),(41,13,13),(37,25,5),(37,23,11),(37,19,17),(35,25,13)\), \((31,23,23)\).

Задача 2. Окръжност \(k\) с диаметър \(d_{1}\) и правоъгълник \(D E F G\) с диагонал \(d_{2}\) имат общ център. Да се докаже, че за произволна точка \(M\) от \(k\) е изпълнено равенството \(M D^{2}+M E^{2}+M F^{2}+M G^{2}=d_{1}^{2}+d_{2}^{2}\).

Милен Найденов, Варна

Решение. Нека \(O\) е общият център на \(k\) и \(D E F G\). Разглеждаме Декартова координатна система \(O x y\), така че \(O x \perp E F\). Ако \(F(n, m)\), m) , то \(G(n,-m), E(-n, m)\) и \(D(-n,-m)\). Сега, ако \(M(x, y), \quad\) то \(\quad M D^{2}=(x+n)^{2}+(y+m)^{2}, \quad M E^{2}=(x+n)^{2}+(y-m)^{2}\), \(M F^{2}=(x-n)^{2}+(y-m)^{2}\) и \(M G^{2}=(x-n)^{2}+(y+m)^{2}\). От последните равенства следва \(M D^{2}+M E^{2}+M F^{2}+M G^{2}=4\left(x^{2}+y^{2}\right)+4\left(n^{2}+m^{2}\right)\). Тъй като \(x^{2}+y^{2}=\tfrac{d_{1}^{2}}{4}\) и \(n^{2}+m^{2}=\tfrac{d_{2}^{2}}{4}\), то \(M D^{2}+M E^{2}+M F^{2}+M G^{2}=d_{1}^{2}+d_{2}^{2}\).

Задача 3. В изпъкналия четириъгълник \(A B C D\) са изпълнени равенствата \(A D \cdot C D=A B \cdot B C\) и \(∢ D A B=∢ D C B\).CD = AB.BC и DAB = DCB . Точката \(L\) е средата на диагонала \(B D\), а \(M, N, P\) и \(Q\) са ортогоналните проекции на \(L\) съответно върху правите \(A B, B C, C D\) и \(D A\). Ако \(E\) и \(F\) са средите съответно на отсечките \(M P\) и \(N Q\), да се докаже, че точките \(E, L\) и \(F\) лежат на една права.

Хаим Хаимов, Варна Решение. От равенството \(A D \cdot C D=A B \cdot B C\) следва, че \(\tfrac{A D}{B C}=\tfrac{A B}{C D}\). От това равенство и \(∢ D A B=∢ D C B\) следва \(\triangle A B D \sim \triangle C D B\). Оттук получаваме, че \(∢ A B D=∢ C B D\). Затова \(A B C D\) е успоредник. Следователно \(L \equiv E \equiv F\). Това означава, че всяка права през \(L\) има желаното свойство.