Задача 1. За всяко естествено число \(n\) да се намери растяща редица от естествени числа \(x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{n}\), за които е изпълнено равенството \(x_{1}^{2}+2 . x_{2}^{2}+3 . x_{3}^{2}+\cdots+n . x_{n}^{2}=\tfrac{1}{4} n^{2}(n+1)^{2}\).

Христо Лесов, Казанлък

Решение: от условието имаме \(1 \leq x_{1} \lt x_{2} \lt x_{3} \lt \cdots \lt x_{n}\). Затова \(\quad x_{1} \geq 1, \quad x_{2} \geq x_{1}+1 \geq 2, \quad x_{3} \geq x_{2}+1 \geq 3, \quad \ldots, \quad x_{n} \geq n \quad\) и \(x_{1}^{2} \geq 1, \quad 2 . x_{2}^{2} \geq 2^{3}, \quad 3 . x_{3}^{2} \geq 3^{3}, \quad n . x_{n}^{2} \geq n^{3}\). Оттук получаваме \(\tfrac{1}{4} n^{2}(n+1)^{2}=x_{1}^{2}+2 \cdot x_{2}^{2}+3 \cdot x_{3}^{2}+\cdots n \cdot x_{n}^{2} \geq 1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+n^{3}=\tfrac{1}{4} n^{2}(n+1)^{2}\). В последното неравенство е изпълнено равенство при всяко \(n\). Следователно единственото решение на задачата е редицата: \(x_{1}=1, x_{2}=2, x_{3}=3, \ldots\), \(x_{n}=n, \ldots\).

Задача 2. Нека в неравностранния триъгълник \(A_{1} A_{2} A_{3}\) петите на височините към страните \(A_{2} A_{3}, A_{3} A_{1}\) и \(A_{1} A_{2}\) са съответно \(H_{1}, H_{2}\) и \(H_{3}\), , а вторите пресечни точки на медианите към тези страни с Фойербаховата окръжност са съответно \(F_{1}, F_{2}\) и \(F_{3}\). Да се докаже, че правите \(F_{1} H_{1}, F_{2} H_{2}\) и \(F_{3} H_{3}\) се пресичат в една точка от Ойлеровата права на \(\Delta A_{1} A_{2} A_{3}\) или са успоредни на нея.

Хаим Хаимов, Варна

Решение: нека точките \(E_{1}, E_{2}\) и \(E_3\) са средите съответно на страните \(A_{2} A_{3}, A_{3} A_{1}\) и \(A_{1} A_{2}\). Достатъчно е да докажем, че двойките прави \(F_{1} H_{1}\), \(F_{3} H_{3}\) и \(F_{1} H_{1}, F_{2} H_{2}\) се пресичат в точка от Ойлеровата права \(l\) на \(\Delta A_{1} A_{2} A_{3}\). Тези точки ще бъдат общи и затов \(F_{1} H_{1}\) и \(l\) и за а съвпадат. Оттук ще следва, че правите \(F_{1} H_{1}, F_{2} H_{2}\) и \(F_{3} H_{3}\) се пресичат в една точка от \(l\) (която може да е и безкрайна).

Нека \(X=F_{1} H_{1} \cap F_{3} H_{3}\) и \(P=H_{3} E_{1} \cap H_{1} E_{3}\). Точките \(E_{i}, F_{i}(i=1,2,3)\) лежат на една окръжност (Фойербаховата окръжност на \(\Delta A_{1} A_{2} A_{3}\) ). Затова от теоремата на Паскал за точките \(E_{3}, F_{3}, H_{3}, E_{1}, F_{1}, H_{1}\) следва, че точките \(G=E_{3} F_{3} \cap E_{1} F_{1}, X=F_{3} H_{3} \cap F_{1} H_{1}\) и \(P=H_{3} E_{1} \cap H_{1} E_{2}\) лежатнаеднаправа \(l_{1}\). От друга страна, двете тройки точки \(A_{1}, E_{3}, H_{3}\) и \(A_{3}, E_{1}, H_{1}\) са разположени върху две прави. Затова от теоремата на Пап следва, че точките \(G=A_{1} E_{1} \cap A_{3} E_{3}, P=E_{3} H_{1} \cap H_{3} E_{1}\) и \(H=A_{1} H_{1} \cap H_{3} A_{3}\) лежат на една права \(l_{2}\). Правите \(l_{1}\) и \(l_{2}\) имат две общи точки \(G\) и \(P\). Следователно \(l_{1} \equiv l_{2}\), т.е. точките \(G, X, P\) и \(H\) лежат на една права. Затова \(X\) лежи върху Ойлеровата права \(l=G H\). По същия начин се доказва, че точката \(Y=F_{1} H_{1} \cap F_{2} H_{2}\) лежи върху \(l\). С това задачата е решена.

Задача 3. Пръчката \(l_{1}\) е \(k\) пъти по-дълга от пръчката \(l_{2}\). Двете пръчки са счупени по случаен начин по на две парчета. Ако \(p\) е вероятността от получените четирите парчета да може да се построи четириъгълник, да се намерят стойностите на \(k\), при които \(\tfrac{1}{p}\) е куб на естествено число.

Милен Найденов, Варна

Решение: нека дължините на пръчките \(l_{2}\) и \(l_{1}\) са съответно 1 и \(k\). Тогава получените четири парчета имат дължини \(x, 1-x, y\) и \(k-y\). Елементарното събитие се характеризира с два параметьра \(x\) и \(y\), които може да се разглеждат като координати на точка в равнината. Формулата за геометрична вероятност е \(p=\tfrac{S_{D}}{S_{\Omega}}\), където \(\Omega\) е правоъгълник, състоящ се от точките, за координатите на които са изпълнени неравенствата \(0 \lt x \lt 1\) и и \(0 \lt y \lt k\), а \(S\) (множеството на благоприятните събития) се състои от точките на \(\Omega\), координатите на които удовлетворяват условията: \(x+1-x+y \gt k-y\) и \(x+1-x+k-y \gt y\), т.е. \(\tfrac{k+1}{2} \lt y \lt \tfrac{k-1}{2}\). Следователно \(S_{\Omega}=k\) и \(S_{D}=1\). Тогава \(p=\tfrac{1}{k}\) и \(k=\tfrac{1}{p}\). Оттук се вижда, че \(\tfrac{1}{p}\) е куб на естествено число, когато \(k=2^{3}, 3^{3}, 4^{3}, 5^{3} \ldots\).