Задача 1. В множеството на реалните числа е дефинирана бинарна операция \(\otimes: \mathbb{R}^{*} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\), където \(\mathbb{R}^{*}:=\mathbb{R} \backslash\{0\}\), която условно ще наричаме умножение и такава, че за всеки три реални числа \(a, b\) и \(c\), b и c , където \(b \neq 0\), е в сила равенството \(a \otimes(b \otimes c)=\tfrac{a . c}{b}\). Ако е известно, че \(2012 \otimes 2012=1\), да се пресметне \((2011 \otimes 2012) \otimes(2011 \otimes 2012)\).

Живко Желев, Стара Загора

Решение: Първи начин (авторско решение).

Нека \(\quad 1 \otimes 1=t \in \mathbb{R}\). Тогава \(\quad a \otimes t=a \otimes(1 \otimes 1)=\tfrac{a .1}{1}=a\). Оттук получаваме \(1=2012 \otimes 2012=2012 \otimes(2012 \otimes t)=\tfrac{2012 . t}{2012}=t\). Следователно \(t=1 \otimes 1=1\). Тогава \((2011 \otimes 2012) \otimes(2011 \otimes 2012)=(2011 \otimes(2012 \otimes 1)) \otimes(2011 \otimes(2012 \otimes 1))=\) \( \tfrac{2011.1}{2012} \otimes \tfrac{2011.1}{2012}=\tfrac{2011}{2012} \otimes \tfrac{2011}{2012}=\tfrac{2011}{2012} \otimes\left(\tfrac{2011}{2012} \otimes 1\right)=\tfrac{2011}{2012} \cdot \tfrac{2012}{2011}=1 \).

Втори начин (автор доц. др Юлия Нинова).

\[ \begin{gathered} (2011 \otimes 2012) \otimes(2011 \otimes 2012)=\tfrac{(2011 \otimes 2012) \cdot 2012}{2011}= \\ =\tfrac{2012}{2011} \cdot(2011 \otimes 2012)=2012 \otimes(2011 \otimes(2011 \otimes 2012))= \\ =2012 \otimes \tfrac{2011.2012}{2011}=2012 \otimes 2012=1 \end{gathered} \]

Както обръща внимание доц. д-р Юлия Нинова, близки по съдържание на тази задача са и следни две задачи.

Задача 1.1. В множеството на положителните рационални числа е дефинирана операция ∗ така, че за всеки четири елемента \(x, y, z\) и \(t\) са изпълнени:

1) \((x * y)(z * t)=(x z) *(y t) ; 2) x * x=1 ; 3) x * 1=x\).

Намерете \(27 * 43\).

Решение. \(27 * 43=\left(43 . \tfrac{27}{43}\right) *(43.1)=(43 * 43) \cdot\left(\tfrac{27}{43} * 1\right)=1 . \tfrac{27}{43}=\tfrac{27}{43}\).

Задача 1.2. В множеството \(\mathbb{R}^{*}=\mathbb{R} \backslash\{0\}\) е дадена бинарна операция ∗ с условията: 1) \((x y) * z=x(y * z) ; 2) x * x=1\), за всяко \(x, y, z \in \mathbb{R} \backslash\{0\}\).

Пресметнете \(12 * 18\).

Решение. \(12 * 18=\left(\tfrac{12}{18} .18\right) * 18=\tfrac{12}{18} .(18 * 18)=\tfrac{12}{18} .1=\tfrac{12}{18}\).

Задача 2. Нека \(A B C D\) е правоъгълник, за който \(A B \geq B C\), а \(M\) е такава вътрешна точка за \(A B C D\), че \(∢ M A B=∢ M C B=30^{\circ}\). Да се докаже, че \(A B C D\) е квадрат тогава и само тогава, когато \(M A \cdot M C=2(2-\sqrt{3}) \cdot A B \cdot B C\).

Каталин Кристеа, Крайова, Румъния

Решение: Нека \(A B=a, B C=b, M A=x\) и \(M B=y\). Означавамеортогоналнитепроекции на \(M\) върху \(A B\), \(B C, C A\) и \(D A\) съответно с \(P, Q, R\) и \(S\). От условието следват равенствата \(M P=\tfrac{x}{2}, M R=\tfrac{y \sqrt{3}}{2}\), 2 \(M S=\tfrac{x \sqrt{3}}{2}\) и \(M Q=\tfrac{y}{2}\). Като вземем предвид, че \(M P+M R=b\) и \(M S+M Q=a\), получаваме системата уравнения \(\left\lvert\, \begin{aligned} & \tfrac{x}{2}+\tfrac{y \sqrt{3}}{2}=b, \\ & \tfrac{x \sqrt{3}}{2}+\tfrac{y}{2}=a .\end{aligned}\right.\)

Решенията на тази система се изразяват с равенствата \(x=a \sqrt{3}-b\) и \(y=b \sqrt{3}-a\). Нека сега \(A B C D\) е квадрат, т.е. \(a=b\). Тогава \(M A . M C=(a \sqrt{3}-a)^{2}=\) \((\sqrt{3}-1)^{2} \cdot a^{2}=2(2-\sqrt{3}) A B \cdot B C\). BC . Обратно, да предположим, че е изпълнено равенството MA. MC \(=2(2-\sqrt{3}) \cdot A B \cdot B C\). Тогава \(M A \cdot M C=(a \sqrt{3}-b)(b \sqrt{3}-a)=\) \(4 a b-\left(a^{2}+b^{2}\right) \sqrt{3} \leq 4 a b-2 a b \sqrt{3}=2(2-\sqrt{3}) a b\). Тъй като равенство се достига, когато \(a=b\), то \(A B C D\) е квадрат.

Задача 3. Нека \(\alpha_{\mathrm{i}}(i=1,2,3,4,5,6,7)\) са вътрешните ъгли на изпъкнал седмоъгълник. Каква зависимост съществува между коефициентите на уравнението \(a x^{7}+b x^{6}+c x^{5}+d x^{4}+e x^{3}+f x^{2}+g x+h=0, a b c d e f g h \neq 0\), ако корените му са равни на \(\operatorname{ctg} \tfrac{\alpha_{i}}{20}(i=1,2,3,4,5,6,7)\)? Как би изглеждала такава зависимост, ако корените на уравнението са \(\operatorname{tg} \tfrac{\alpha_{i}}{20}(i=1,2,3,4,5,6,7)\) ?

Милен Найденов, Варна

Решение: Означаваме \(\beta_{i}=\tfrac{\alpha_{i}}{20}\) и \(A_{i}=\operatorname{ctg} \beta_{i}(i=1,2,3,4,5,6,7)\). За произволни \(\beta_{i}(i=1,2,3,4)\) (не непременно свързани с условието на задачата) са изпълнени следните равенства:

\(\operatorname{ctg}\left(\beta_{1}+\beta_{2}\right)=\tfrac{\operatorname{ctg} \beta_{1} \operatorname{ctg} \beta_{2}-1}{\operatorname{ctg} \beta_{1}+\operatorname{ctg} \beta_{2}}=\tfrac{A_{1} A_{2}-1}{A_{1}+A_{2}}, \operatorname{ctg}\left(\beta_{1}+\beta_{2}+\beta_{3}\right)=\tfrac{A_{1} A_{2} A_{3}-A_{1}-A_{2}-A_{3}}{A_{1} A_{2}+A_{2} A_{3}+A_{3} A_{1}-1}\), \(\operatorname{ctg}\left(\beta_{1}+\beta_{2}+\beta_{3}+\beta_{4}\right)=\tfrac{A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}-A_{1} A_{2}-A_{1} A_{3}-A_{1} A_{4}-A_{2} A_{3}-A_{2} A_{4}-A_{3} A_{4}+1}{A_{1} A_{2} A_{3}+A_{1} A_{2} A_{4}+A_{2} A_{3} A_{4}+A_{3} A_{4} A_{1}-A_{1}-A_{2}-A_{3}-A_{4}}\).

Тъй като \(\sum_{i=1}^{7} \beta_{i}=45^{\circ}\), от първото равенство получаваме:

\(\operatorname{ctg}\left(\beta_{1}+\beta_{2}^{i=1}+\beta_{3}+\beta_{4}\right) \cdot \operatorname{ctg}\left(\beta_{5}+\beta_{6}+\beta_{7}\right)-1=\operatorname{ctg}\left(\beta_{1}+\beta_{2}+\beta_{3}+\beta_{4}\right)+\operatorname{ctg}\left(\beta_{5}+\beta_{6}+\beta_{7}\right)\),

което според второто и третото равенства води до \[ \begin{aligned} & \left(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}-A_{1} A_{2}-A_{1} A_{3}-A_{1} A_{4}-A_{2} A_{3}-A_{2} A_{4}-A_{3} A_{4}+1\right) \cdot\left(A_{5} A_{6} A_{7}-A_{5}-A_{6}-A_{7}\right)- \\ & -\left(A_{1} A_{2} A_{3}+A_{1} A_{2} A_{4}+A_{2} A_{3} A_{4}+A_{3} A_{4} A_{1}-A_{1}-A_{2}-A_{3}-A_{4}\right) \cdot\left(A_{5} A_{6}+A_{6} A_{7}+A_{7} A_{5}-1\right)= \\ & =\left(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}-A_{1} A_{2}-A_{1} A_{3}-A_{1} A_{4}-A_{2} A_{3}-A_{2} A_{4}-A_{3} A_{4}+1\right) \cdot\left(A_{5} A_{6}+A_{6} A_{7}+A_{7} A_{5}-1\right)+ \\ & +\left(A_{5} A_{6} A_{7}-A_{5}-A_{6}-A_{7}\right) \cdot\left(A_{1} A_{2} A_{3}+A_{1} A_{2} A_{4}+A_{2} A_{3} A_{4}+A_{3} A_{4} A_{1}-A_{1}-A_{2}-A_{3}-A_{4}\right) \end{aligned} \]

Означаваме с \(\sigma_{\mathrm{i}}\) елементарните симетрични полиноми от степен \(i \quad(i=1,2\), \(3,4,5,6,7\) ) на величините \(A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}, A_{6}\) и \(A_{7}\). След разкриване на скобите отляво и отдясно на последното равенство получаваме съответно \(\sigma_{7}-\sigma_{5}+\sigma_{3}-\sigma_{1}\) и \(\sigma_{2}-\sigma_{4}+\sigma_{6}-1\) т.е. изпълнено е равенството \(\sigma_{7}-\sigma_{5}+\sigma_{3}-\sigma_{1}=\sigma_{2}-\sigma_{4}+\sigma_{6}-1\). \(\sigma_{3}=-\tfrac{d}{a}, \sigma_{4}=\tfrac{e}{a}, \sigma_{5}=-\tfrac{f}{a}, \sigma_{6}=\tfrac{g}{a}\) От формулите на Виет за разглежданоти \(\sigma_{7}=-\tfrac{h}{a}\)о уравнение. След заме следвства, ане в г че \(\sigma_{1}=-\tfrac{b}{a}, \sigma_{2}=\tfrac{c}{a}\)орното, равенство окончателно получаваме търсената зависимост \(a+b+e+f=c+d+g+h\). Същата зависимост между коефициентите на уравнението се получава, ако то има за корени числата \(\operatorname{tg} \tfrac{\alpha_{i}}{20}(i=1,2,3,4,5,6,7)\).