https://doi.org/10.53656/math2021-4-8-res

Рубриката се води от проф. д.н. Емил Колев

Задача 1. Да се намерят всички естествени числа \(x\) и \(y\), за които \(x+y+1\) дели \(2 x y\) и \(x+y-1\) дели \(x^{2}+y^{2}-1\).

Решение. От тъждеството \((x+y+1)(x+y-1)=(x+y)^{2}-1=x^{2}+y^{2}-1+2 x y\) следва, че \(x+y+1\) дели \(x^{2}+y^{2}-1\). Следователно \(x+y+1\) и \(x+y-1\) делят \(x^{2}+y^{2}-1\). Тьй като най-големият общ делител на \(x+y+1\) и \(x+y-1\) е 1 е 1 или 2, имаме, че произведението \((x+y+1)(x+y-1)\) дели \(x^{2}+y^{2}-1\) или \(2\left(x^{2}+y^{2}-1\right)\). Първият случай е невъзможен, тъй като \((x+y+1)(x+y-1)=x^{2}+y^{2}+2 x y-1 \gt x^{2}+y^{2}-1\), а вторият случай дава \((x+y+1)(x+y-1)=2\left(x^{2}+y^{2}-1\right)\). Това равенство е еквивалентно на \((x-y)^{2}=1\). Следователно \(|x-y|=1\) и директно се проверява, че двойките \((x, x \pm 1)\) са решения на задачата.

Задача 2. Нека \(a, b\) и \(c\) са страни на триъгълник и \(a b+b c+c a=1\). Да се докаже неравенството

\[ (a+1)(b+1)(c+1) \lt 4 \]

Решение. Ако \(\quad a \geq 1\), то \(\quad b+c \gt a \geq 1 \quad\) и получаваме \(a b+b c+c a=a(b+c)+b c \gt 1+b c \gt 1, \quad\) противоречие. Следователно \(a \lt 1, b \lt 1, c \lt 1\), откъдето получаваме

\[ (1-a)(1-b)(1-c) \gt 0 \]

Това неравенство е еквивалентно на

\[ 1+a b+b c+c a \gt a+b+c+a b c \Leftrightarrow 4 \gt 1+a+b+c+a b+b c+c a+a b c \] От последното неравенство имаме \((a+1)(b+1)(c+1) \lt 4\).

Задача 3. Да се намерят всички естествени числа \(n\), за които множеството \(\{1,2, \ldots, 3 n\}\) може да се раздели на \(n\) триелементни множества, като за всяко такова множество \(\{a, b, c\}\) числата \(b-a\) и \(c-b\) са различни елементи от множеството \(\{n-1, n, n+1\}\).

Решение. Да разгледаме правилен \(3 n\)-ъгълник \(P_{1} P_{2} \ldots P_{3 n}\). Условието на задачата е еквивалентно на разделяне на върховете на този \(3 n\)-ъгълник на тройки \(\left\{A_{i}, B_{i}, C_{i}\right\}\), като ъглите на всеки триъгълник \(A_{i} B_{i} C_{i}\) са \(\tfrac{n-1}{3 n} \pi\), \(\tfrac{n}{3 n} \pi\) и \(\tfrac{n+1}{3 n} \pi\). Без ограничение можем да приемем, че една от тройките е \((n, 2 n-1,3 n)\). Една от останалите \(n-1\) тройки съдържа две числа от интервала \([2 n, 3 n-1]\), като тези две числа могат да бъдат само \(2 n\) и \(3 n-1\), като единствената възможна тройка е ( \(n-1,2 n, 3 n-1\) ). Всяка от останалите тройки съдържа по един елемент от всеки от интервалите \([1, n-2]\), \([n+1,2 n-2]\) и \([2 n+1,3 n-2]\). За всяка от тези тройки \((a, b, c)\) образуваме \((a, b-2, c-4)\), което дава разделяне на множеството \(\{1,2, \ldots, 3(n-2)\}\). Тъй като при \(n=1\) такова разделяне е невъзможно, то при нечетно \(n\) такова разделяне е невъзможно. При \(n=2 m\) разделянето ( \(2 i-1,2 i+n, 2 i+2 n-1\) ) и \((2 i, 2 i+n-1,2 i+2 n)\) за \(i=1,2, \ldots, m\) удовлетворява условието на задачата.