https://doi.org/10.53656/math2021-6-9-res

Рубриката се води от проф. д.н. Емил Колев

Задача 1. Число, което е точен квадрат на естествено число, се записва с няколко единици и една двойка. Докажете, че това число се дели на 11.

Решение. Нека \(\mathrm{M}\) е такова число. Можем да го запишем като

\[ \mathrm{M}=\underbrace{11 \ldots 1}_{m} 2 \underbrace{11 \ldots 1}_{n} \] където \(m, n \geq 0\) са броят на единиците съответно преди и след цифрата 2.

Тъй като няма точен квадрат, завършващ на \(2: n \geq 1\).

\[ \begin{aligned} & M=\left(1+10^{1}+\cdots+10^{n-1}\right)+2.10^{n}+10^{n+1}\left(1+10^{1}+\cdots+10^{m-1}\right)= \\ & \tfrac{10^{n}-1}{9}+2.10^{n}+\tfrac{10^{n+1}\left(10^{m}-1\right)}{9}=\tfrac{10^{n}\left(9+10^{m+1}\right)-1}{9} \end{aligned} \]

Знаменателят е точен квадрат, значи числителят също е точен квадрат.

Очевидно числителят е нечетно число, следователно е \(1(\bmod 4)\).

Ако \(n \geq 2: 10^{n} \equiv 0(\bmod 4) \Rightarrow 10^{n}\left(9+10^{m+1}\right)-1 \equiv-1(\bmod 4)-\) противоречие. Следователно \(n=1\) и

\[ M=\tfrac{10^{m+2}+89}{9} \]

Тъй като \(10^{m+2}+89 \equiv(-1)^{m+2}+1(\bmod 11)\), е достатъчно да докажем, че \(m\) е нечетно.

Да допуснем обратното. Тогава

\[ \begin{aligned} & 10^{m+2}+89=r^{2} \Leftrightarrow \\ & \left(r+10^{\tfrac{m+2}{2}}\right)\left(r-10^{\tfrac{m+2}{2}}\right)=89 \end{aligned} \]

Числото \(89\) е просто и \(r-10^{\tfrac{m+2}{2}} \lt r+10^{\tfrac{m+2}{2}}\), следователно \(r+10^{\tfrac{m+2}{2}}=89, r-10^{\tfrac{m+2}{2}}=1\), откъдето \(10^{\tfrac{m+2}{2}}=44\), което е невъзможно.

Задача 2. Квадрат \(2021 \times 2021\) е разделен на квадрати \(1 \times 1\) и \(2 \times 2\). Докажете, че има ред от квадрата, който пресичат нечетен брой от квадратите на разделянето.

Решение. Да допуснем, че твърдението не е вярно, т.е. всеки ред пресича четен брой квадрати. Нека квадратите \(2 \times 2\), които се пресичат от някой ред, са x на брой. Тъй като всички останали квадрати са \(1 \times 1\), то този ред пресича \(x\) квадрата \(2 \times 2\) и \(2021-2 x\) квадрата \(1 \times 1\), т.е. общо \(x+2021-2 x=2021-x\) квадрата. Следователно х е нечетно число, което означава, че всеки ред пресича нечетен брой квадрати \(2 \times 2\).

Да номерираме редовете на квадрата от долу нагоре с \(1,2, \ldots, 2021\). Като приложим доказаното по-горе за първия ред, получаваме, че броят на квадратите, които лежат изцяло в първите два реда, е нечетен. Сега същото свойство за втория ред дава, че броят на квадратите, които лежат изцяло във втория и третия ред, е четен. По индукция следва, че броят на квадратите \(2 \times 2\), които лежат изцяло в \(i\)-ия и в \(i+1\)-ия ред, е нечетен при нечетно \(i\) и четен при четно \(i\). Това означава, че броят на квадратите \(2 \times 2\), които лежат изцяло в 2020 -ия и в 2021 -вия ред е четен. Това е противоречие с доказаното, че всеки ред пресича нечетен брой квадрати \(2 \times 2\).

Задача 3: Дадени са различни естествени числа \(a, b\) и \(c\), за които \((a+b)(a+c)=(b+c)^{2}\)

Докажете, че \((b-c)^{2} \gt 8(b+c)\).

Решение. Нека d е най-големият общ делител на \(a+b\) и \(a+c\), т.е. \(d=\) НОД \((a+b, a+c)\). Тогава \(d\) дели \((a+b)-(a+c)=b-c\), а от условието следва, че \(d\) дели \(b+c\). Следователно \(d\) дели \((b+c)+(b-c)=2 b\).

Ако съществува прост делител \(p\) на \(d\), който дели \(b\), то \(p\) дели \(a\) и \(c\) (тогава \(a=p a_{1}\), \(b=p b_{1}\) и \(c=c a_{1}\) ) и равенството от условието се свежда до

\[ \left(a_{1}+b_{1}\right)\left(a_{1}+c_{1}\right)=\left(b_{1}+c_{1}\right)^{2} \]

В този случай трябва да докажем, че \(p^{2}\left(b_{1}-c_{1}\right)^{2} \gt 8\left(b_{1}+c_{1}\right)\), и тъй като \(p^{2}\left(b_{1}-c_{1}\right)^{2} \gt \left(b_{1}-c_{1}\right)^{2}\), задачата се свежда до \(d=1\) или \(d=2\).

Ако \(d=2\), получаваме \(a+b=2 m^{2}, a+c=2 n^{2}\), като тогава \(b+c=2 m n\) и \(b-c=2\left(m^{2}-n^{2}\right)\). В този случай трябва да докажем

\[ 4\left(m^{2}-n^{2}\right)^{2} \gt 8.2 . m n \Leftrightarrow\left(m^{2}-n^{2}\right)^{2} \gt 4 m n \Leftrightarrow(m-n)^{2}(m+n)^{2} \gt 4 m n \]

Последното неравенство е вярно, защото \(m \neq n\), и тогава \((m-n)^{2} \gt 1,(m+n)^{2} \gt 4 m n\).

Ако \(d=1\), получаваме \(a+b=m^{2}, a+c=n^{2}\), ,като тогава \(b+c=m n \quad\) и \(b-c=m^{2}-n^{2}\).

В този случай трябва да докажем \(\left(m^{2}-n^{2}\right)^{2} \gt 8 m n \Leftrightarrow(m-n)^{2}(m+n)^{2} \gt 8 m n\). Тъй като \(b+c=m n\) и \(b-c=m^{2}-n^{2}\) трябва да са с еднаква четност, то m и n са четни числа. Тогава \((m-n)^{2} \geq 4\), а \((m+n)^{2} \gt 4 m n\) и неравенството е вярно.

Мартин Любомиров Димитров, София