Рубриката се води от проф. д.н. Емил Колев

Задача 1. В равнината са дадени точка \(A\) и окръжност \(k\) с център \(O\). Намерете геометричното място на центровете на описаните окръжности на триъгълници \(A B C\), където \(B C\) е диаметър на \(k\).

Решение. Ако точката \(A\) лежи на окръжността \(k\), то всички триъгълници \(A B C\) имат център на описаната окръжност точка \(O\). В този случай търсеното множество е точката \(O\).

Нека \(A\) е външна за окръжността. Да разгледаме диаметър на \(k\), който е перпендикулярен на \(A O\). Центърът на описаната окръжност за \(\triangle A B C\) е точка \(S\) върху отсечката \(A O\), за която \(S A=S B=S C\). Ще докажем, че търсеното геометрично място е права \(p\) през \(S\), перпендикулярна на \(A O\). Да разгледаме произволен диаметър \(B_{1} C_{1}\) на \(k\) и нека \(S_{1}\) е пресечната точка на симетралата на \(B_{1} C_{1}\) и правата \(p\). Тогава

\[ S_{1} B_{1}=S_{1} C_{1}=\sqrt{S_{1} O^{2}+r^{2}}=\sqrt{S_{1} S^{2}+S O^{2}+r^{2}} \] От друга страна, за дължината на \(S_{1} A\) получаваме:

\[ S_{1} A=\sqrt{A S^{2}+S_{1} S^{2}}=\sqrt{B S^{2}+S_{1} S^{2}}=\sqrt{S O^{2}+r^{2}+S_{1} S^{2}} \]

Следователно \(S_{1} A=S_{1} B=S_{1} C\), т.е. \(S_{1}\) е центърът на описаната окръжност за \(\triangle A B_{1} C_{1}\). Когато \(A\) е вътрешна точка за окръжността, доказателството е аналогично.

Задача 2. Точките \(P, Q\) и \(R\) от страните на \(A B, B C\) и \(C A\) на триъгълник \(A B C\) \((A C \neq B C)\) са такива, че \(A Q, B R\) и \(C P\) се пресичат в една точка, \(C P\) е перпендикулярна на \(A B\) и около четириъгълника \(A B Q R\) може да се опише окръжност. Докажете, че \(A Q\) и \(B R\) са височини на триъгълника \(A B C\).

Решение. Тъй като ABQR е вписан, получаваме \(∢ R Q C=∢ B A C\) и следователно \(\triangle A B C\) и \(\triangle Q R C\) са подобни. Ако k е коефициентът на подобие на двата триъгълника, имаме \(\mathrm{CQ}=\mathrm{kb}\) и \(\mathrm{CR}=\mathrm{ka}\). Сега от теоремата на Чева получаваме:

\[ \tfrac{A P}{P B} \cdot \tfrac{B Q}{Q C} \cdot \tfrac{C R}{R A}=1 \Leftrightarrow \tfrac{A P}{P B} \cdot \tfrac{a \quad k b}{k b} \cdot \tfrac{k a}{b \quad k a}=1 \]

и понеже \(\tfrac{A P}{B P}=\tfrac{b \cos \alpha}{a \cos \beta}\), намираме:

\(\tfrac{b \cos \alpha}{a \cos \beta} \cdot \tfrac{a-k b}{k b} \cdot \tfrac{k a}{b-k a}=1 \Leftrightarrow \tfrac{\cos \alpha}{\cos \beta} \cdot \tfrac{a-k b}{b-k a}=1 \Leftrightarrow \cos \alpha(a-k b)=\cos \beta(b-k a)\)

От горното равенство при \(\alpha \neq \beta\) получаваме

\(k=\tfrac{a \cos \alpha-b \cos \beta}{b \cos \alpha-a \cos \beta}=\tfrac{\sin \alpha \cos \alpha-\sin \beta \cos \beta}{\sin \beta \cos \alpha-\sin \alpha \cos \beta}=\tfrac{\sin 2 \alpha-\sin 2 \beta}{2 \sin (\beta-\alpha)}=\tfrac{\cos (\alpha+\beta) \operatorname{in}(\alpha-\beta)}{\operatorname{in}(\beta-\alpha)}=\cos \gamma\)

Следователно коефициентът на подобие е равен на \(\cos \gamma\), т.е. триъгълник \(P Q R\) е педалният триъгълник за триъгълник \(A B C\), т.е. \(A Q\) и \(B R\) са височини на триъгълника \(A B C\).

Задача 3. Дадена е функция \(f: N \rightarrow N\), където \(N\) е множеството от положителните цели числа. Ако за всеки две \(x, y \in N\) е изпълнено равенството \(f(x f(y))=y f(x)\), намерете най-малката възможна стойност на \(f(2007)\).

Решение. Ако \(f\left(y_{1}\right)=f\left(y_{2}\right)\), то за всяко \(\quad \mathrm{x}\) имаме: \(y_{1} f(x)=f\left(x f\left(y_{1}\right)\right)=f\left(x f\left(y_{2}\right)\right)=y_{2} f(x)\) и понеже \(f(x)\) е естествено число, то \(y_{1}=y_{2}\). При \(x=y=1\) получаваме \(f(f(1))=f(1)\) и следователно \(f(1)=1\). При \(x=1\) сега следва \(f(f(y))=y\), откъдето следва, че ако \(f(y)=z\), то \(f(z)=y\). Получаваме:

\(f(x z)=f(x f(y))=y f(x)=f(z) f(x)\)

Да забележим, че ако p е просто число, то \(f(p)\) е също просто число. Наистина, ако \(f(p)=a b\), то \(p=f(f(p))=f(a b)=f(a) f(b)\) и понеже \(a \neq 1\) и \(b \neq 1\),то \(f(a) \neq 1\) и \(f(b) \neq 1\), противоречие. Следователно

\(f(2007)=f(3)^{2} f(223)\)

Ако \(f(3)=2\), то \(f(2)=3\) и най-малката стойност на \(f(223)\) е 5, като \(f(2007) \geq 2^{2} .5=20\)

Ако \(f(3)=3\), то най-малката стойност на \(f(223)\) е 2, като \(f(2007) \geq 3^{2} .2=18\). Лесно се проверява, че функцията \(f\left(2^{k} .223^{m} . q\right)=2^{m} .223^{k} . q\) при \(x=2^{k} .223^{m} . q\) за \(k\) и \(m\) неотрицателни цели числа удовлетворява условието на задачата и \(f(2007)=3^{2} .2=18\).