ПЪТЕШЕСТВИЕ В СВЕТА НА КОМБИНАТОРИКАТА
Резюме. В Индия на главния вход на едно училище стои надпис: „Стреми се, действай, постигай!”. Нашият малък, но амбициозен екип реши да погледне по друг начин на учебното съдържание по математика, като представи материал от раздел „Комбинаторика” в края на 10 клас – интересен, забавен и дори вълнуващ. Статията съдържа първата част от компютърната презентация „Множества и съединения”, класирана на второ място в националния етап на Международни конкурс за учители „Математика и проектиране”. В нея след кратка историческа справка са разгледани понятията множества и съединения, подкрепени с подходящи интересни примери. Следват правилата за събиране и умножение на съединения, както и разнообразни задачи: за шахматни дъски, за приказни герои, електронни пощи, хакери, пароли, сейфове, цветя и др. Включените слайдове са само малка част от презентацията. Те се въвеждат постепенно, стъпка по стъпка, което осигурява необходимото учебно време за по-пълно осмисляне и разбиране на новите знания, както и за анализи и разсъждения при решаването на задачи. Цялата презентация се намира на сайта на ГПЧЕ „Екзарх Йосиф”, гр. Разград.
Ключови думи: Combinatorics, set, compound, multiplication rule.
Започва нашето пътешествие в света на комбинаториката. Тук ще се срещнем със случайността, ще се научим да прогнозираме някои случайни събития. Други ще останат невъзможни или неосъществими и ще чакат своя отговор в бъдещето. В този свят има място за приказни герои, хакери, пароли, кодове, сейфове, фишове, зарове и разбира се за числа.
Комбинаториката е дял от математиката, предметът на който е пресмятането на броя на елементите на дадено крайно множество.
Ще се върнем в миналите векове, за да се срещнем с онези, които първи са открили този сложен и интересен свят – света на комбинаториката.
„Живяло някога едно момче, момче като всички останали момчета по света. Но за нещастие то имало зла съдба – останало без майка съвсем мъничко. Момчето имало умен и добър баща, който забелязал необикновените му способности и започнал да го занимава с наука. Блез Паскал, откривателят на сметачната машина, ученият, който първи използва термина „комбинаторика” и който заедно с Ферма поставя основите на теорията на вероятностите. Много са учените, допринесли за развитието на тази наука: Пиер дьо Ферма, Готфрид Лайбниц, Якоб Бернули, Кристиян Крамп и др.
Светът около нас е пълен с множества от различни обекти: буквите от една азбука, учениците от една паралелка, атомите в една молекула и др.
Някои от множествата са крайни, други безкрайни. Безкраен и необятен е светът на Галактиките, безкрайна е Вселената, в която живеем.
Различно е и подреждането на обектите в крайните множества. Графитът и диамантът, две толкова различни вещества, са изградени от едни и същи атоми, само че са подредени по различен начин.
Ако изберем само някои елементи от едно множество, отговарящи на определени условия, получаваме съединение. Всяко съединение си има клас. Множествата от примери се състоят от обекти от еждневието. Докато числата могат да се събират, изваждат, умножават, делят, степенуват, коренуват, то съединенията могат само да се събират и умножават. Много е важно не само да познаваме тези правила, но и да знаем кога и кое от тях трябва да се приложи. Затова използваме един и същ пример, в който от витрината на магазин трябва да си изберем маратонки и антистрес топки. Обръщаме внимание на зададения въпрос и особено на частиците или и и.
Можем да изброим всички възможности или знаейки правилата, да си спестим това изброяване и да извършим пресмятанията направо. Затвърждаваме правилата чрез задачата за шахматната дъска, която разглеждаме в два различни варианта.
Авторите на приказки и разкази често завършват с думите: „… и вдигнали голяма и весела сватба, три дни яли, пили и се веселили”. За да достигне до този щастлив край, авторът на роман, в който участват 4 героя и 6 героини, трябвало да реши кой герой за коя героиня да ожени. Колко са възможните начини за избор? За първия герой възможностите са 6, за втория 5, за третия 4, а за четвъртия остават три.
Съвременните герои използват мобилни апарати и компютри, електронни пощи, защитени с пароли. Подбрали сме и такава задача: Паролата за електронната поща на Иван се получава чрез разместване на буквите в думата ЗАДАЧА, а паролата за електронната поща на Мария – от думата БАОБАБ. Ако любопитен хакер, който знае това, иска да прочете тяхната кореспонденция, чия парола ще налучка по-лесно?
За затвърждаване на знанията решаваме още няколко задачи за съставяне на букети, за избор на дрехи при обличане, за плодове, ястия и др.
Решенията поднасяме последователно, като изискваме учениците сами да достигнат всяка следваща стъпка.
ЛИТЕРАТУРА
1. Лозанов, Ч. (2009). Учебник по математика за 10 клас. София: Анубис.
2. Додунеков, С. (2009). Учебник по математика за 10 клас. София: Регалия 6.