Резюме. В статията се разглеждат параметрични неравенства, решенията на които се свеждат до решаване на квадратни неравенства. Задачите са решени алгебрично и геометрично. Използват се таблици за алгебричните решение и динамичната среда GeoGebra за геометричните.

Ключови думи: parameters, tables, dynamic software, GeoGebra.

В различни области от практиката широко се използват таблици с данни. Те са резултатно и често използвано дидактическо средство и в обучението. Записването на данни в таблици подпомага систематизирането на знания, дава възможност за удобни сравнения и важни изводи. Задачи за тълкуване нa текст, който е свързан с информация в таблица или графика, се включват и в тестовете за оценяване на математическата грамотност на учениците в Програмата за международно оценяване на учениците (PISA).

Решението на параметрично уравнение или неравенство е удобно да се оформи във вид на таблица, когато то зависи от характеристиките на няколко условия, изразяващи се чрез параметъра. Съобразявайки се условията, лесно се правят изводите за решението при всяка стойност на параметъра.

Използването на динамични графични конструкции в програмната среда GeoGebra за визуализиране и анализиране на решението или за изграждане на хипотеза за него е ефективно средство, което трудно може да бъде постигнато с чертежите върху хартия.

По-долу ще покажем удобството от използването на таблици при решаване на математически задачи с параметри, свеждащи се до квадратни неравенства. За проверка на отговора на алгебричното решение прилагаме графично решение в динамичната среда GeoGebra.

Да реализираме казаното дотук, чрез няколко задачи.

Задача 1. Да се реши неравенството \((\sqrt{2})^{a x^{2}} \gt (\sqrt{3-\sqrt{8}}+1)^{(2-a) x}\).

Решение: Записваме показателното неравенство във вида \((\sqrt{2})^{a x^{2}} \gt (\sqrt{2})^{(2-a) x}\) \(\left(\sqrt{3-\sqrt{8}}+1=\sqrt{(1-\sqrt{2})^{2}}+1=\sqrt{2}-1+1=\sqrt{2}\right)\), което е еквивалентно на неравенството \(a x^{2}-(2-a) x \gt 0\). При \(a=0\) неравенството е линейно и има решение \(x \lt 0\).

При \(a \neq 0\) квадратното неравенство има корени \(x_{1}=0\) и \(x_{2}=\tfrac{2-a}{a}\), като \(x_{1} \lt x_{2}\) при \(a \in(0 ; 2)\) и \(x_{2} \lt x_{1}\) при \(a \in(-\infty ; 0) \cup(2 ;+\infty)\).

Решението на неравенството зависи от знака на старшия коефициент, разположението на корените и знака на неравенството. Да запишем тези условия в таблица, като скицираме и графиката на квадратната функция.

Отговор: При \(a \lt 0, x \in\left(\tfrac{2-a}{a} ; 0\right)\);

при \(a=0, x \lt 0\);

при \(a \in(0 ; 2), x \in(-\infty ; 0) \cup\left(\tfrac{2-a}{a} ;+\infty\right)\);

при \(a=2, x \in(-\infty ; 0) \cup(0 ;+\infty)\);

при \(a \gt 2, x \in\left(-\infty ; \tfrac{2-a}{a}\right) \cup(0 ;+\infty)\).

Задача 2. Да се реши неравенството

\[ -\log _{\tfrac{1}{\sqrt{3}}}\left(a(a+3) x^{2}+(2 a+6) x-3 a\right) \leq \log _{\tfrac{1}{3}}(\sqrt{27})^{-6} \]

Решение: След преминаване към основа \(\tfrac{1}{3}\) логаритмичното неравенство е еквивалентно на системата \(\left\lvert\, \begin{aligned} & a(a+3) x^{2}+(2 a+6) x-3 a \gt 0 \\ & a(a+3) x^{2}+(2 a+6) x-3 a \geq 9\end{aligned}\right.\), а тя на неравенството \(a(a+3) x^{2}+2(a+3) x-3 a-9 \geq 0\).

При \(a=0, x \geq \tfrac{3}{2}\).

При \(a=-3\) се получава неравенството \(0 . x \geq 0\) с решение всяко \(x \in R\).

При \(a \neq 0, \quad a \neq-3\) квадратнотонеравенство \(a(a+3) x^{2}+(2 a+6) x-3 a-9 \geq 0\) имареални дискриминанта корени \(x_{1}=\tfrac{-1-\sqrt{1+3 a}}{a}\) \(D=(1+3 a)(a+3)^{2}\)и \(x_{2}=\tfrac{-1+\sqrt{1+3 a}}{a}\), която е неотрица, като \(x_{1} \lt x_{2}\) телна приза всяк \(a \geq-\tfrac{1}{3}\) о \(a \gt 0\)и има , \(x_{2} \lt x_{1}\) при \(a \in\left[-\tfrac{1}{3} ; 0\right)\) и \(x_{1}=x_{2}\) при \(a=-\tfrac{1}{3}\).

Записваме резултатите в таблицата, където \(g(x)=a(a+3) x^{2}+(2 a+6) x-3 a-9\).

Отговор: При \(a \leq-3\), всяко \(x \in R\) е решение;

При \(a \in\left(-3 ;-\tfrac{1}{3}\right)\) няма решение;

При \(a=-\tfrac{1}{3}, x=3\);

При \(a \in\left(-\tfrac{1}{3} ; 0\right), x \in\left[\tfrac{-1+\sqrt{1+3 a}}{a} ; \tfrac{-1-\sqrt{1+3 a}}{a}\right]\);

При \(a=0, x \geq \tfrac{3}{2}\);

При \(a \gt 0, x \in\left(-\infty ; \tfrac{-1-\sqrt{1+3 a}}{a}\right] \cup\left[\tfrac{-1+\sqrt{1+3 a}}{a} ; \phi\right)\) .

Задача 3. Да се реши неравенството \[ \log _{\sqrt{\pi}}\left(\left(a^{2}+4 a\right) x^{2}+(3 a+4) x-3 a-9\right) \geq \log _{\sqrt{\pi}}\left(a x^{2}-(2-a) x\right) \] където \(a\) е реален параметър.

Решение: Логаритмичното неравенство, при основа \(\sqrt{\pi} \gt 1\), е еквивалентно на системата \(\left\lvert\, \begin{aligned} & a x^{2}-(2-a) x \gt 0 \\ & \left(a^{2}+4 a\right) x^{2}+(3 a+4) x-3 a-9 \gt 0 \\ & \left(a^{2}+4 a\right) x^{2}+(3 a+4) x-3 a-9 \geq a x^{2}-(2-a) x\end{aligned}\right.\), а тя на системата

\[ \left\lvert\, \begin{aligned} & a x^{2}-(2-a) x \gt 0 \\ & a(a+3) x^{2}+(2 a+6) x-3 a-9 \geq 0 \end{aligned}\right. \]

Неравенствата в последната система са решените неравенства в задача 1 и задача 2. Означаваме с \(x_{1}\) и \(x_{2}\) корените на първото неравенство, а с \(x_{3}\) и \(x_{4}\)- корените на второто, където

\[ x_{1}=0, x_{2}=\tfrac{2-a}{a}, x_{3}=\tfrac{-1-\sqrt{1+3 a}}{a}, x_{4}=\tfrac{-1+\sqrt{1+3 a}}{a} . \]

Сечениeтo на интервалите за параметьра \(a\) от задача 1 и задача 2 разделят числовата ос на нови интервали, в които ще разглеждаме решението на системата от неравенства.

При \(a \leq-3\) решенията на системата са \(x \in\left(\tfrac{2-a}{a} ; 0\right)\), които са решенията на първото неравенство, тъй като второто е изпълнено за всяко \(x \in R\).

При \(a \in\left(-3 ;-\tfrac{1}{3}\right)\) системата няма решение, защото второто неравенство няма решение.

При \(a \geq-\tfrac{1}{3}\) съществуват корените \(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\).

Да определим разположението им в зависимост от стойностите на параметъра \(a\).

От задача 1 е известно, че при \(a \in(-\infty ; 0) \cup(2 ;+\infty), x_{2} \lt x_{1}=0\), а при \(a \in(0 ; 2)\), \(x_{1} \lt x_{2}\), а от задача 2 , че при \(a \in\left(-\tfrac{1}{3} ; 0\right), 0 \lt x_{4} \lt x_{3}\), 0 < x4 < x3 , a при \(a \gt 0, x_{3} \lt 0 \lt x_{4}\).

При \(a \in\left(-\tfrac{1}{3} ; 0\right)\) за корените на неравенствата е изпълнено \(x_{2} \lt x_{1} \lt x_{4} \lt x_{3}\). Решенията на неравенствата са между съответните корени, следователно системата няма решение.

При \(a \in(0 ; 2)\) знаците на корените са: \(x_{3} \lt 0, x_{1}=0, x_{2} \gt 0 x_{4} \gt 0\). Достатъчно еима решение да сравним к \(a \in(1 ;+\infty)\)орените \(x_{2}\) . и \(x_{4}\). Неравенството \(x_{2} \lt x_{4}\), т.е. \(\tfrac{2-a}{a} \lt \tfrac{-1+\sqrt{1+3 a}}{a}\)

При \(a \in(0 ; 1)\) подреждането на корените е \(x_{3} \lt x_{1} \lt x_{4} \lt x_{2}\), а при \(a \in(1 ; 2)\), \(x_{3} \lt x_{1} \lt x_{2} \lt x_{4}\).

В интервала \(a \in(0 ; 1), x_{2} \lt 0, x_{3} \lt 0, x_{1}=0, x_{4} \gt 0\). Необходимо е да сравним корените \(x_{2}\) и \(x_{3}\). Неравенството \(x_{3} \lt x_{2}\), т.е. \(\tfrac{-1-\sqrt{1+3 a}}{a} \lt \tfrac{2-a}{a}\) има решение \(a \in(2 ; 8)\). Тогава \(x_{2} \lt x_{3}\) при \(a \in(8 ;+\infty)\).

При \(a \in(2 ; 8)\) подреждането на корените е \(x_{3} \lt x_{2} \lt x_{1} \lt x_{4}\), а при \(a \in(8 ;+\infty)\), \(x_{2} \lt x_{3} \lt x_{1} \lt x_{4}\).

Съставяме таблица, в която скицираме графиките на двете функции в зависимост от стойностите на параметъра и направените дотук изводи за разположението на корените. Тьрсим тези стойности на \(x\), за които графиките и на двете функции са разположени над оста \(O x\).

Отговор: При \(a \leq-3, x \in\left(\tfrac{2-a}{a} ; 0\right)\);

При \(a \in(-3 ; 0]\) няма решение;

При \(a \in(0 ; 1], \quad x \in\left(-\infty ; \tfrac{-1-\sqrt{1+3 a}}{a}\right] \cup\left(\tfrac{2-a}{a} ;+\infty\right)\);

При \(a \in(1 ; 8), x \in\left(-\infty ; \tfrac{-1-\sqrt{1+3 a}}{a}\right] \cup\left[\tfrac{-1+\sqrt{1+3 a}}{a} ; \phi\right)\)

При \(a \in[8 ;+\infty), x \in\left(-\infty ; \tfrac{2-a}{a}\right) \cup\left[\tfrac{-1+\sqrt{1+3 a}}{a} ;+\infty\right)\).

Да проверим получените чрез доста логически разсъждения и пресмятане резултати, като решим задачата и графично. За построяване на графиките на функциите \(f(x)=a^{2}-(2-a) x\) и \(g(x)=a(a+3) x^{2}+(2 a+6) x-3 a-9\) използваме динамичната среда GeoGebra.

Чрез плъзгача въвеждаме стойности на параметьра \(a \in(-10 ; 10)\). От отговора се вижда, че избраните стойности на параметъра са достатъчни, за да се получат всички различни взаимни положения на графиките и оста \(O x\). Чрез инструмента веди: въвеждаме функциите \(f(x)=a x^{2}-(2-a) x\) и \(g(x)=a(a+3) x^{2}+(2 a+6) x-3 a-9\). На фигурите \(1-13\) плътната крива е графиката на \(f(x)\), а пунктираната – на \(g(x)\). Чрез инструментапострояваме пресечните точки на графиките на функциите с оста \(O x\).

Чрез плъзгача избираме произволни стойности на параметъра от всеки от получените в отговора интервали.

В следващите фигури \(1-13\) илюстрираме разположението на двете графики при избраните стойности на параметъра.Сравняваме разположението на корените по-лучено в таблицата и на чертежа. Търсим тези стойности на \(x\), за които графиките на двете функции едновременно са разположени над оста \(O x\).

Заместваме с избраната стойност на параметъра в отговора и сравняваме двата резултата.

Същите резултати се получават и при алгебричното решение.

Задача 4. Да се определи броят на реалните корените на уравнението \((a-5) x^{4}-4 a x^{2}+a-2=0\) за всяка стойност на параметъра.

Решение: Без учениците да познават графиката на биквадратната функция, но знаейки, че броят на корените на уравнението е равен на броя на пресечните точки на графиката на функцията и оста \(O x\), отново могат да използват динамичната среда GeoGebra, за да съставят хипотеза за решението на задачата.

Разглеждаме графичното решение.

Чрез плъзгача задаваме стойности на параметъра \(a \in(-15 ; 15)\), ако не са достатъчни за описване на всички взаимни положения на графиката и оста \(O x\), интервалът се увеличава.

Въвеждаме функцията \(f(x)=(a-5) x^{4}-4 a x^{2}+a-2\). На фигурите 14–19 са представени всички различни взаимни положения на графиката на функцията \(f(x)\) и оста \(O x\).

При стойности на параметъра \(a \in(-\infty ;-3,3)\) графиката на функцията пресича четири пъти оста \(O x\),т.е. уравнението има четири решения.(фиг. 14) .

При \(a=-3,3\) пресечните точки са две.(фиг. 15)

При \(a \in(-3,3 ; 2)\) графиката не пресича оста \(O x\) (фиг. 16).

При \(a=2\) пресечната точка е една, т.е. решението е едно.(фиг. 17)

При \(a \in(2 ; 5]\) графиката отново пресича оста \(O x\) в две точки (фиг. 18).

В интервала \(a \in(5 ;+\infty)\) броят на пресечните точки е четири (фиг. 19).

Сега да решим задачата алгебрично.

При \(a=5\) се получава квадратното уравнение \(-20 x^{2}+3=0\), което има два реални корена.

Броят на корените на биквадратно уравнение зависи от броя и знаците на корените на квадратното уравнение, до което се свежда, а техните знаци – от знаците на дискриминантата, сбора и произведението на корените .

При \(a \neq 5\) след полагането \(x^{2}=u\) биквадратното уравнение се свежда до квадратното уравнение \((a-5) u^{2}-4 a u+a-2=0\). Дискриминантата \(D=3 a^{2}+7 a-10\) се анулира при \(a=-\tfrac{10}{3}\) и \(a=1, D \gt 0\) при \(a \in\left(-\infty ;-\tfrac{10}{3}\right) \cup(5 ;+\infty)\) и \(D \lt 0\) при \(a \in\left(-\tfrac{10}{3} ; 5\right)\).

От формулите на Виет следва \(u_{1}+u_{2}=\tfrac{4 a}{a-5}, u_{1} \cdot u_{2}=\tfrac{a-2}{a-5}\). След решаване на неравенствата \(u_{1}+u_{2} \gt 0\) и \(u_{1} \cdot u_{2} \gt 0\) попълваме таблицата за знаците на дискриминантата, сбора и произведението от корените.

Във всеки от така получените интервали за параметъра лесно се прави извод за броя и знаците на корените на квадратното уравнение, а след това и за броя на корените на биквадратното уравнение.

Oтговор: При \(a \in\left(-\infty ;-\tfrac{10}{3}\right) \cup(5 ;+\infty)\) уравнението има 4 корена;

при \(a=-\tfrac{10}{3} \cup a \in(2 ; 5]\) уравнението има 2 корена;

при \(a=2\) уравнението има 1 корен;

при \(a \in\left(-\tfrac{10}{3} ; 2\right)\) уравнението няма реални корени.

Алгебричното решение на задачата потвърждава графичното.

Задачи за самостоятелна работа

Задача 1. Да се определи броят на реалните корените на уравнението \(a(a+3) x^{4}+(2 a+6) x^{2}-3 a-9=0\) за всяка стойност на параметъра.

Отговор: При \(a \in(-\infty ;-3) \cup\left(-3 ;-\tfrac{1}{3}\right)\)– няма реални корени;

При \(a=-3-\) безброй много решения;

При \(a=-\tfrac{1}{3} \cup[0 ;+\infty)-2\) корена;

При \(a \in\left(-\tfrac{1}{3} ;+\infty\right)-4\) корена.

Задача 2. Да се реши неравенството \(\tfrac{2 x+1}{(a-1) x}-\tfrac{3}{x} \gt \tfrac{a+5}{a-1}\).

Отговор: При \(a \in(-\infty ;-3) \cup\left(\tfrac{4}{3} ;+\infty\right), x \in\left(\tfrac{4-3 a}{a+3} ; 0\right)\);

При \(a=-3, x \in(-\infty ; 0)\);

При \(a \in(-3 ; 1), x \in(-\infty ; 0) \cup\left(\tfrac{4-3 a}{a+3} ;+\infty\right)\);

При \(a=1\) неравенството не съществува;

При \(a \in\left(1 ; \tfrac{4}{3}\right), x \in\left(0 ; \tfrac{4-3 a}{a+3}\right)\);

При \(a=\tfrac{4}{3}\) няма решение.

ЛИТЕРАТУРА

Горнщейн, П. И., Полонский, В. Б. & Якир, М. С. (1996). Задачи с параметри. София: АИ “Проф. М. Дринов”.