Резюме. Статията е посветена на методика за определяне броя на корените на един клас уравнения от трета степен с реален параметър, при които един от корените може да се намери непосредствено. Представен е и по-общ подход за изследване на кубични параметрични уравнения, който използва производни и графики на функции.

Ключови думи: parametric equation; cubic function; methodology

В много теми от кандидатстудентски изпити и методически разработки – напр. (Grozdev, 2007), (Grozdev et al., 2008), (Grozdev & Bajcheva, 2016), се срещат задачи с параметрични уравнения от трета степен, в които се търсят стойностите на реалния параметър, за които уравнението има:

– точно един реален корен;

– точно два различни реални корена;

– три различни реални корена.

Често подходът за решаване на подобни задачи се свежда до изследване графиката на кубична функция (използвайки производната на функцията) и съобразяване броя на пресечните ѝ точки с абсцисната ос.

Може да бъде отделен обаче един клас подобни задачи, при които лесно се открива корен (рационално или реално число, дори и зависещо от параметъра), вследствие на което кубичният многочлен може да бъде разложен на линеен и квадратен множител. Целта на авторите в настоящата разработка е изследване на такъв клас задачи.

Нека разгледаме кубично уравнение в следния общ вид:

(*) \[ x^{3}+(a-k) x^{2}+(b-k a) x-k b=0 \]

Можем да поставим следните въпроси.

Каква е зависимостта между реалните параметри \(a, b\) и \(k\), , така че уравнението да има:

(1) само един реален корен;

(2) точно два различни реални корена;

(3) три различни реални корена?

Лесно се открива, че \(x \quad k\) е корен на уравнението и тогава то придобива вида:

\((x-k)\left(x^{2}+a x+b\right)=0\). За решаването на (1) е достатъчно да бъде изпълнено:

\[ a^{2}-4 b \lt 0 \cup \left\lvert\, \begin{aligned} & a^{2}-4 b=0 \\ & k^{2}+a k+b=0 \end{aligned}\right. \]

Решаването на (2) се свежда до решаване на системите:

\[ \left|\begin{array}{l} a^{2}-4 b=0 \\ k^{2}+a k+b \neq 0 \end{array} \cup\right| \begin{aligned} & a^{2}-4 b \gt 0 \\ & k^{2}+a k+b=0 \end{aligned} \]

За решаването на (3) е достатъчно да бъде изпълнено:

\[ \left\lvert\, \begin{aligned} & a^{2}-4 b \gt 0 \\ & k^{2}+a k+b \neq 0 \end{aligned}\right. \]

За да демонстрираме предложената методика, ще представим две задачи с техните решения.

Задача 1. За кои стойности на реалния параметър \(a\) уравнението:

\[ x^{3}+(a-2) x^{2}-(3+a) x-2 a+6=0 \] има

а) само един реален корен;

б) точно два различни реални корена;

в) три различни реални корена?

Решение: ако заместим с \(x= \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm a\) и т.н., лесно се вижда, че \(x=2\) е корен на даденото уравнение, тъй като

\[ 2^{3}+(a-2) 4-(3+a) 2-2 a+6=8+4 a-8-6-2 a-2 a+6=0 \]

Тогава уравнението придобива вида: \((x-2)\left(x^{2}+a x+a-3\right)=0\).

За решенията на трите подусловия получаваме:

a) \(a^{2}-4(a-3) \lt 0 \cup \left\lvert\, \begin{aligned} & a^{2}-4(a-3)=0 \\ & 4+2 a+a-3=0\end{aligned} \Rightarrow a \in \varnothing\right.\).

б) \(\left|\begin{array}{l}a^{2}-4(a-3)=0 \\ 4+2 a+a-3 \neq 0\end{array} \cup\right| \begin{aligned} & a^{2}-4(a-3) \gt 0 \\ & 4+2 a+a-3=0\end{aligned} \Rightarrow a=-\tfrac{1}{3}\).

в) \(\left\lvert\, \begin{aligned} & a^{2}-4(a-3) \gt 0 \\ & 4+2 a+a-3 \neq 0\end{aligned} \Rightarrow a \in\left(-\infty ;-\tfrac{1}{3}\right) \cup\left(-\tfrac{1}{3} ;+\infty\right)\right.\).

Лесно може да се провери, че в тази задача \(k=2, a=a, b=a-3\), изхождайки от общия вид на задачата (*).

Сега ще разгледаме пример, в който \(k\) не е конкретно число, а зависи от параметъра \(a\). Нека например \(k=a\) и \(b=a^{2}+a\).

Задача 2. Дадено е уравнението

\[ x^{3}+a x-a^{3}-a^{2}=0 \]

За кои стойности на параметъра \(a \in \mathrm{R}\) уравнението има:

а) само един реален корен;

б) точно два различни реални корена;

в) три различни реални корена?

Решение: имайки предвид начина на конструиране на задачата, е ясно, че \(x=a\) е корен на даденото уравнение и след разлагане то придобива вида:

\[ (x-a)\left(x^{2}+a x+a^{2}\right)+a(x-a)=0, \quad(x-a)\left(x^{2}+a x+a^{2}+a\right)=0 \]

За решенията на трите подусловия получаваме:

а) \( a^{2}-4 a^{2}-4 a \lt 0 \cup\left|\begin{array}{l} a^{2}-4 a^{2}-4 a=0 \\ a^{2}+a^{2}+a^{2}+a=0 \end{array} \Leftrightarrow 3 a^{2}+4 a \gt 0 \cup\right| \begin{array}{l} 3 a^{2}+4 a=0 \\ 3 a^{2}+a=0 \end{array} \Leftrightarrow \\\)
\( \Leftrightarrow a(3 a+4) \gt 0 \cup \left\lvert\, \begin{array}{l} a=0 \cup a=-\cfrac{4}{3} \\ a=0 \cup a=-\cfrac{1}{3} \end{array} \Rightarrow a \in\left(-\infty ;-\cfrac{4}{3}\right) \cup(0 ;+\infty) \cup a=0 \Rightarrow a \in\left(-\infty ;-\cfrac{4}{3}\right) \cup[0 ;+\infty)\right. \\ \Rightarrow a \in\left(-\infty ;-\cfrac{4}{3}\right) \cup(0 ;+\infty) \cup a=0 \Rightarrow a \in\left(-\infty ;-\cfrac{4}{3}\right) \cup[0 ;+\infty) . \)

б) \(\left|\begin{array}{l} a^{2}-4 a^{2}-4 a=0 \\ a^{2}+a^{2}+a^{2}+a \neq 0 \end{array} \cup\right| \begin{array}{l} a^{2}-4 a^{2}-4 a \gt 0 \\ a^{2}+a^{2}+a^{2}+a=0 \end{array} \Leftrightarrow\left|\begin{array}{l} 3 a^{2}+4 a=0 \\ 3 a^{2}+a \neq 0 \end{array} \cup\right| \begin{array}{l} 3 a^{2}+4 a \lt 0 \\ 3 a^{2}+a=0 \end{array} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow\left|\begin{array}{l} a=0 \cup a=-\cfrac{4}{3} \\ a \neq 0, \quad a \neq-\cfrac{1}{3} \end{array}\right| \begin{array}{l} a \in\left(-\cfrac{4}{3} ; 0\right) \\ a=0 \cup a=-\cfrac{1}{3} \end{array} \Rightarrow a \in\left\{-\cfrac{4}{3} ;-\cfrac{1}{3}\right\} . \)

в) \(\left.\left|\begin{array}{l}a^{2}-4 a^{2}-4 a \gt 0 \\ a^{2}+a^{2}+a^{2}+a \neq 0\end{array} \Leftrightarrow\right| \begin{aligned} & 3 a^{2}+4 a \lt 0 \\ & 3 a^{2}+a \neq 0\end{aligned} \Rightarrow \right\rvert\, \begin{aligned} & a \in\left(-\cfrac{4}{3} ; 0\right) \\ & a \neq 0 ;-\cfrac{1}{3}\end{aligned} \Rightarrow a \in\left(-\cfrac{4}{3} ;-\cfrac{1}{3}\right) \cup\left(-\cfrac{1}{3} ; 0\right)\)

В следващото изложение ще представим още един начин за решаване на подобен тип задачи, който е достъпен за по-големи ученици, притежаващи знания за графика на функция и изследване изменението на функция с помощта на производни.

Да разгледаме общия вид на кубично уравнение: \(x^{3}+a x^{2}+b x+c=0\).

Означаваме \(f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c\). Търсим отговор на трите въпроса:

а) уравнението да има точно един реален корен;

б) уравнението да има точно два реални корена;

в) уравнението да има три различни реални корена.

Ако обвържем трите въпроса с графиката на кубичната функция \(f(x)\), то можем да изложим за тях следните основни положения:

а) функцията е монотонна (фиг. 1а) и 1б)) или има локални екстремуми \(f_{\text {min }}(x)=m, f_{\text {max }}(x)=M\), fmax (x) = M , като \(m . M \gt 0\) (с други думи, локалният максимум и локалният минимум имат еднакви знаци) (фиг. 1в), 1в \({ }^{\text {c }}\) ) и 1г), 1г \({ }^{\text {c }}\) )).

Както знаем, ако функцията (и конкретно кубичната) е монотонна, то производната ѝ има постоянен знак, а ако функцията има екстремуми, то те се
получават за тези стойности на променливата \(x\) , които са корени (различни) на нейната производна.

б) уравнението има точно два различни реални корена, ако има двукратен (но не и трикратен) корен, т.е. има екстремум, който е равен на нула. С други думи (фиг. 2а), а›), б), б›)):

\[ \left|\begin{array}{l} f(x)=0 \\ f^{\prime}(x)=0 \\ D_{f^{\prime}} \gt 0 \end{array} \cup\right| \begin{aligned} & D_{f^{\prime}} \gt 0 \\ & f\left(x_{1}\right) f\left(x_{2}\right)=0 \end{aligned} \]

където \(x_{1}\) и \(x_{2}\) са корени на уравнението \(f^{\prime}(x)=0\).

в) уравнението има три различни реални корена, ако \(f(x)\) има два екстремума, които имат различни знаци, т.е.

\[ \left\lvert\, \begin{aligned} & D_{f^{\prime}} \gt 0 \\ & f\left(x_{1}\right) f\left(x_{2}\right) \lt 0 \end{aligned}\right. \]

където \(x_{1}\) и \(x_{2}\) са корени на уравнението \(f^{\prime}(x)=0\) ( (фиг. 3а) и 3б)).

Ще демонстрираме този подход за решаването на уравнение от трета степен, при което предходният метод е неприложим поради трудното откриване на корен.

Задача 3. Дадено е уравнението \(f(x)=x^{3}-6 a x^{2}+1=0\), където \(a\) е реален параметър. За кои стойности на \(a\) уравнението има:

а) точно един реален корен;

б) точно два различни реални корена;

в) три различни реални корена?

Решение: \(f^{\prime}(x)=3 x^{2}-12 a x=3 x(x-4 a)=0\).

При \(a=0\) функцията \(f(x)\) е монотонно растяща и уравнението \(f(x)=0\) има само един реален корен.

Нека \(a \neq 0\). Тогава уравнението \(f^{\prime}(x)=0\) има два различни реални корена:

\[ \begin{aligned} & x_{1}=0 \text { и } x_{2}=4 a \\ & x_{1}+x_{2}=4 a, x_{1} x_{2}=0 \\ & x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-2 x_{1} x_{2}=16 a^{2} \\ & x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=\left(x_{1}+x_{2}\right)\left(x_{1}^{2}-x_{1} x_{2}+x_{2}^{2}\right)=4 a \cdot 16 a^{2}=64 a^{3} \\ & f\left(x_{1}\right) f\left(x_{2}\right)=\left(x_{1}^{3}-6 a x_{1}^{2}+1\right)\left(x_{2}^{3}-6 a x_{2}^{2}+1\right)= \\ & =\left(x_{1} x_{2}\right)^{3}-6 a\left(x_{1} x_{2}\right)^{2}\left(x_{1}+x_{2}\right)+x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+36 a^{2}\left(x_{1} x_{2}\right)^{2}-6 a\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)+1= \\ & =64 a^{3}-6 a \cdot 16 a^{2}+1=1-32 a^{3} \end{aligned} \]

За решенията на трите подусловия получаваме:

a) \(a=0 \cup 1-32 a^{3} \gt 0 \Leftrightarrow a=0 \cup a \lt \tfrac{\sqrt[3]{2}}{4} \Rightarrow a \in\left(-\infty ; \tfrac{\sqrt[3]{2}}{4}\right)\).

б) \(a \neq 0\) и \(f\left(x_{1}\right) f\left(x_{2}\right)=0 \Leftrightarrow 1-32 \grave{a}^{3}=0 \Rightarrow=\tfrac{\sqrt[3]{2}}{4}\).

в) \(a \neq 0\) и \(f\left(x_{1}\right) f\left(x_{2}\right) \lt 0 \Leftrightarrow a \neq 0\) и \(1-32 a^{3} \lt 0 \Rightarrow \grave{a} \in\left(\tfrac{\sqrt[3]{2}}{4} ;+\infty\right)\).

Изводът, който може да се направи, е, че първият изложен подход е по-кратък и разбираем, но той е приложим, ако може лесно да бъде открит корен на уравнението. Ако такъв не може да бъде намерен, е приложим вторият подход.

Следващите задачи предлагаме на читателя за самостоятелна работа.

В зависимост от стойностите на реалния параметър \(a\) да се определи броят на различните реални корени на уравнението:

\( x^{3}+(a+1) x^{2}+x+1-a=0 ;\)

\(x^{3}+(2 a-1) x^{2}+(1-a)^{2} a=0; \)

\(a x^{3}-(1+a) x^{2}+1=0 ;\)

\(x^{3}+a^{2} x-2 a^{3}=0\);

\(x^{3}+6 x^{2}+a=0\).

REFERENCES/ЛИТЕРАТУРА

Grozdev, S. (2007). For High Achievements in Mathematics.The Bulgarian Experience (Theory and Practice). Sofia: ADE, 295 pages (ISBN 978954-92139-1-1).

Grozdev, S., Ts. Bajcheva, P. Piperkov & K. Kirilova-Lupanova (2008). School-leaving examination in Mathematics, V. Tirnovo: Abagar, 108 pages (ISBN 978-954-427-782-6). (In Bulgarian).

Grozdev, S. & Ts. Bajcheva (2016). University entering exams in Mathematics. Sofia: Mathematics Plus, 72 pages (ISSN 0861-8321). (In Bulgarian).