Проучвания, резултати
ОБВЪРЗВАНЕ НА ОБУЧЕНИЕТО ПО АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ
Резюме. В настоящата статия показваме приложението на безкрайно малка геометрична прогресия в геометрията. За целта предлагаме система от задачи, илюстриращи тази връзка.
Ключови думи: interdisciplinary relations, infinitely small geometric series
Идеята за обвързване на учебните предмети в процеса на обучение е твърде стара и повече или по-малко е изяснена в работите на А. Дистерверг (Diesterweg, 1966), Я. А. Коменски (Comenius, 1956), Дж. Лок (Locke, 1985), Й. Т. Песталоци (Pestalozzi, 1963) и много други.
Я. А. Коменски (Comenius, 1956) пръв издига тази идея и подчертава значението є за обучението. Той отбелязва: „Никому не трябва да се раздава образование на основата на една която и да е частна наука, независимо от останалите науки... както в природата всичко е свързано едно с друго, така и в обучението е нужно да се свързва всяко нещо...“. Коменски подчертава важното значение на обвързването на близки учебни предмети, което е необходима предпоставка за осигуряване на цялостност и системност на знанията.
Още през XIX в. интересът към проблема за обвързване на учебните предмети нараства значително, тъй като по-нататъшната диференциация довежда до увеличаване броя на учебните предмети. Осъществяването на връзка между учебните предмети е сложна задача, която изисква решаване на редица въпроси, свързани със съдържанието, методите и организационните форми на обучение.
В (Rashkova, 1977) Ст. Рашкова използва термина междупредметни връзки и прави опит да дефинира това понятие. Тя счита, че за правилното осъществяване на тези връзки е важно протичането им на три нива: вътрешнопредметно, вътрециклично и междуциклично. Имайки предвид нейното мнение за всяко едно от тези нива, считаме, че в обучението по математика в училище може успешно да се осъществи първото ниво.
В настоящата статия ще илюстрираме обвързването на конкретна тема от алгебричния материал с теми от геометричния материал. В часовете по математика в XI клас (Lozanov, Vitanov & Nedevski, 2001; Paskalev & Paskaleva, 2002 и др.) се изучават аритметична, геометрична и безкрайно малка геометрична прогресия. Показано е приложението на първите две прогресии при пресмятане на различни видове лихви, кредити, ренти и др. Разгледаните свойства на безкрайно малка геометрична прогресия се свеждат до използване на формулата за нейната сума и намиране на един от участващите в нея елементи, ако са известни другите два. Изучаването на тази прогресия дава възможност да се осъществят вътрешнопредметни връзки в обучението по математика. Подходящо е да се покаже приложението при решаване на геометрични задачи.
В статията предлагаме поредица от задачи, при решаването на които се изискват различни геометрични знания и свойствата на безкрайно малка геометрична прогресия. Предложените задачи сме обособили в няколко групи.
Първа група. Безкрайна редица от триъгълници или окръжности и триъгълници, отговарящи на определени условия.
Задача 1. Даден е \(\triangle A B C\). През средата на височината му през върха \(C\) е построена права, успоредна на \(A B\). Тя отсича \(\triangle A_{1} B_{1} C\). По същия начин за \(\triangle A_{1} B_{1} C\) е построен \(\triangle A_{2} B_{2} C\) и т. н. Ако периметърът на \(\triangle A B C\) е \(P=a\), а лицето му \(-S=b\), то намерете сумата от периметрите и сумата от лицата на всички триъгълници.
Решение: по условие (черт. 1) \(P_{A B C}=A B+B C+C A=a\). Лесно определяме \(P_{A_{1} B_{1} C}=\tfrac{1}{2} A B+\tfrac{1}{2} B C+\tfrac{1}{2} C A=\tfrac{1}{2} a, \quad P_{A_{2} B_{2} C}=\tfrac{1}{2} P_{A_{1} B_{1} C}=\tfrac{1}{4} a\) и т. н. Така получаваме следната редица от числа, задаващи периметрите на триъгълниците:
\(a, \tfrac{1}{2} a, \tfrac{1}{4} a, \tfrac{1}{8} a, \ldots\), която е безкрайно малка геометрична прогресия с частно \(q=\tfrac{1}{2}\) и първи член \(a\). Тогава сумата на всички тези периметри е \(S=\tfrac{a}{1-\tfrac{1}{2}}=2 a\).
За лицата на получените триъгълници имаме \(S_{A B C}=b, S_{A B C}=b, S_{A_{1} B_{1} C}=\tfrac{b}{4}\), \(S_{A_{2} B_{2} C}=\tfrac{b}{16}\) и т. н.
Отново се получава безкрайно малка геометрична прогресия с първи член \(b\) и частно \(q=\tfrac{1}{4}\). Следователно сборът от лицата е \(S=\tfrac{b}{1-\tfrac{1}{4}}=\tfrac{4}{3} b\).
В тази задача обвързахме знанията за безкрайно малка геометрична прогресия с тези за средна отсечка в триъгълник.
Задача 2. Даден е равностранен триъгълник със страна \(a\). Чрез съединяване средите на страните му в него е вписан друг триъгълник. По същия начин във втория триъгълник е вписан трети триъгълник и т. н. Намерете сумата от периметрите и сумата от лицата на тези триъгълници (Лозанов, Витанов & Недевски, 2001: 41).
Решение: нека даденият триъгълник е \(A B C\) и \(A B=a_{1}=a\) (черт. 2). Тогава \(A_{1} B_{1}=a_{2}=\tfrac{a}{2}, A_{2} B_{2}=a_{3}=\tfrac{a}{4}\) и т.н. Така стигаме до следната редица от периметри на тези триъгьлници: \(3 a, 3 \tfrac{a}{2}, 3 \tfrac{a}{4}\), ... .
Получената редица е безкрайно малка геометрична прогресия, чиято сума е \(S=\tfrac{3 a}{1-\tfrac{1}{2}}=6 a\).
Ако с \(S_{1}\) означим лицето на \(\triangle A B C\), то \(S_{1}=\tfrac{a^{2} \sqrt{3}}{4}\). За лицето на \(\triangle A_{1} B_{1} C_{1}\) със страна \(\tfrac{a}{2}\) намираме \(S_{2}=\tfrac{\left(\tfrac{a}{2}\right)^{2} \sqrt{3}}{4}=\tfrac{a^{2} \sqrt{3}}{16}\). Лесно се установява, че \(S_{3}=\tfrac{a^{2} \sqrt{3}}{64}\) и т. н. Така стигнахме до редицата \(\tfrac{a^{2} \sqrt{3}}{4}, \tfrac{a^{2} \sqrt{3}}{16}, \tfrac{a^{2} \sqrt{3}}{64}, \ldots\), която е безкрайно малка геометрична прогресия със сума \(S=\tfrac{a^{2} \sqrt{3}}{3}\).
Тук обвързахме знанията за безкрайно малка геометрична прогресия с периметър и лице на равностранен триъгълник, както и средна отсечка в него.
Задача 3. Даден е равностранен триъгълник със страна \(a\). Една от височините на триъгълника е взета за страна на друг равностранен триъгълник. Една от височините на новия триъгълник е взета за страна на трети равностранен триъгълник и т. н. Намерете сумата от периметрите и сумата от лицата на така получените равностранни триъгълници (Paskalev & Paskaleva, 2002).
Решение: ако \(h\) е височината на дадения \(\triangle A B C\) (черт. 3), то \(h=\tfrac{a \sqrt{3}}{2}\). Ако \(h_{1 \text { е }}\) височината на \(\triangle A_{1} B_{1} C\), то \(h_{1}=\tfrac{h \sqrt{3}}{2}=\tfrac{3 a}{4}\). За височината \(h_{2}\) на \(\triangle A_{2} B_{2} C\) получаваме \(h_{2}=\tfrac{h_{1} \sqrt{3}}{2}=\tfrac{3 a}{4} \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2}=\tfrac{3 a \sqrt{3}}{8} \quad\) и т.н. Периметрите на тези триъгълници образуват редицата \(3 a, \tfrac{3 a \sqrt{3}}{2}, \tfrac{9 a}{4}\), \(\tfrac{9 a \sqrt{3}}{8}, \ldots\) и сумата от членовете ѝ е \(S=\tfrac{3 a}{1-\tfrac{\sqrt{3}}{2}}=6 a(2+\sqrt{3})\).
По аналогичен път стигаме до извода, че сумата от лицата им е \(S=a^{2} \sqrt{3}\).
Задача 4. В окръжност с радиус \(R\) е вписан равностранен триъгълник. В него е вписана окръжност и в нея е вписан отново равностранен триъгълник и т. н. Намерете сумата от лицата на получените кръгове и сумата от лицата на получените равностранни триъгълници.
Упътване: установете, че радиусите на разглежданите кръгове са: \(R, \tfrac{R}{2}, \tfrac{R}{4}, \ldots\), а сумата от лицата им е \(\tfrac{4}{3} \pi R^{2}\). За страните на триъгълниците установете, че те са: \(R \sqrt{3}, \tfrac{R \sqrt{3}}{2}, \tfrac{R \sqrt{3}}{4} \ldots\). Пресметнете съответните лица и установете, че тяхната сума е \(R^{2} \sqrt{3}\).
По аналогичен начин се постъпва и при решаване на следната задача.
Задача 5. В равностранен триъгълник със страна \(a\) е вписан кръг. В него е вписан равностранен триъгълник и така до безкрайност. Намерете сумата от:
а) радиусите на получените кръгове;
б) дължините на ограждащите ги окръжности;
в) лицата на получените кръгове. (Rangelova 2006)
Задача 6. В равностранен триъгълник със страна \(a\) е вписана окръжност. Построена е безкрайна редица от окръжности, всяка от които се допира до две от страните на триъгълника и до предходната окръжност (черт. 5). Намерете сумата от дължините на тези окръжности и сумата от лицата на кръговете, които те ограждат.
Упътване: установете, че радиусите на тези окръжности са: \(r_{1}=\tfrac{a \sqrt{3}}{6}, r_{2}=\tfrac{a \sqrt{3}}{18}, r_{3}=\tfrac{a \sqrt{3}}{54}\) и т. н.
Пресметнете дължините на съответните окръжности и лицата на кръговете, които те ограждат. За получените безкрайно малки геометрични прогресии намерете сумите.
Втора група. Безкрайна редица от квадрати или квадрати и кръгове, отговарящи на определени условия.
Задача 7. В квадрат със страна \(a\) е вписан друг квадрат, а в него е вписан трети квадрат и т. н. Намерете сумата от лицата на тези квадрати.
Решение: ако \(S_{1}\) е лицето на дадения квадрат \(A B C D\), то \(S_{1}=a^{2}\) (черт. 6). Разделяме всяка от страните му на \(n\) равни части и избираме \(A A_{1}=B B_{1}=C C_{1}=D D_{1}=\tfrac{1}{4} a\), а \(A_{1} B=B_{1} C=C_{1} D=D_{1} A=\tfrac{n-1}{n} \cdot a\). Тогава лицето \(S_{2}\) на квадрата \(A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}\) е \(S_{2}=A_{1} B_{1}^{2}=\tfrac{(n-1)^{2} a^{2}}{n^{2}}+\tfrac{a^{2}}{n^{2}}=\tfrac{a^{2}}{n^{2}}\left[(n-1)^{2}+1\right]\).
След разделяне на страните на квадрата \(A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}\) на \(n\) равни части определяме \(A_{2} B_{1}=\tfrac{n-1}{n} \cdot \tfrac{a}{n} \sqrt{(n-1)^{2}+1}\) и \(B_{1} B_{2}=\tfrac{a}{n^{2}} \sqrt{(n-1)^{2}+1}\), откъдето лицето на този квадрат е \(S_{3}=A_{2} B_{2}{ }^{2}=\tfrac{(n-1)^{2} a^{2}}{n^{4}}\left[(n-1)^{2}+1\right]+\tfrac{a^{2}}{n^{4}}\left[(n-1)^{2}+1\right]=\tfrac{a^{2}\left[(n-1)^{2}+1\right]^{2}}{n^{4}}\).
Аналогично \[ S_{4}=\tfrac{a^{2}\left[(n-1)^{2}+1\right]^{3}}{n^{6}} \]
т. н. Понеже \(\tfrac{S_{2}}{S_{1}}=\tfrac{S_{3}}{S_{2}}=\ldots=\tfrac{(n-1)^{2}+1}{n^{2}}\)
\( \lt 1\), то редицата \(S_{1}, S_{2}, S_{3}, \ldots\) е без
крайно малка геометрична прогресия и сумата й е \(S=\tfrac{a^{2} n^{2}}{(n-1)^{2}+1}, n \geq 2\).
С тази задача обобщаваме задача от (Lozanov, Vitanov & Nedevski, 2001).
Задача 8. В квадрат със страна \(a\) е вписан квадрат с най-малко лице, а в него е вписан трети квадрат с най-малко лице и т. н. Намерете сумата от лицата на тези квадрати и сумата от периметрите им.
Упътване: нека \(A_{1} B=B_{1} C=C_{1} D=D_{1} A=x\) (черт. 7). Тогава \(A A_{1}=B B_{1}\) \(=C C_{1}=D D_{1}=a-x(0 \lt x \lt a)\). Лицето \(S_{A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}}=A_{1} B_{1}^{2}=x^{2}+(a-x)^{2}=\) \(2\left(x-\tfrac{a}{2}\right)^{2}+\tfrac{a^{2}}{2}\). От последната формула се вижда, че лицето ще приеме наймалка стойност при \(x-\tfrac{a}{2}=0\), т.е. \(x=\tfrac{a}{2}\).
Следователно върховете \(A_{1}, B_{1}, C_{1}\) и \(D_{1}\) са среди на съответните страни в квадрата \(A B C D\). Аналогично и останалите квадрати са с върхове средите на страните на предходния квадрат.
Така задачата става частен случай на задача 7 при \(n=2\). Тогава сумата от лицата на всички получени квадрати е \(S=\tfrac{a^{2} \cdot 2^{2}}{(2-1)^{2}+1}=2 a^{2}\).
Понеже \(\quad A_{1} B_{1}=\sqrt{\left(\tfrac{a}{2}\right)^{2}+\left(\tfrac{a}{2}\right)^{2}}=\tfrac{a}{\sqrt{2}}\), \(A_{2} B_{2}=\tfrac{a}{2}\) и т. н., то периметрите на квадратите са \(4 a, \tfrac{4 a}{\sqrt{2}}, \tfrac{4 a}{2}, \ldots\).
Последната редица е безкрайно малка геометрична прогресия и сумата от членовете й е \(S=4 a \sqrt{2}(1+\sqrt{2})\).
Задача 9. Даден е квадрат с диагонал d. Страната на този квадрат е взета за диагонал на втори квадрат, страната на втория квадрат е диагонал на трети квадрат и т. н. (черт. 8). Намерете сумата от периметрите и сумата от лицата на получените квадрати.
Решение: използваме теоремата на Питагор за \(\triangle A M B\) и получаваме, че страната на квадрата \(A B C D\) е \(a_{1}=\tfrac{d}{\sqrt{2}}\). Аналогично за страните на втория и третия квадрат намираме \(a_{2}=\tfrac{d}{2}\) и \(a_{3}=\tfrac{d}{2 \sqrt{2}}\). Периметрите на тези квадрати образуват редицата \(\tfrac{4 d}{\sqrt{2}}, \tfrac{4 d}{2}, \tfrac{4 d}{2 \sqrt{2}}, \ldots\), а лицата им задават редицата \(\tfrac{d^{2}}{2}, \tfrac{d^{2}}{4}, \tfrac{d^{2}}{8}, \ldots\), които са безкрайно малки геометрични прогресии. Техните суми са съответно \(S_{1}=4 d(\sqrt{2}+1)\) и \(S_{2}=d^{2}\).
С аналогични разсъждения разгледайте
Задача 10. В кръг с радиус \(R\) е вписан квадрат. В този квадрат е вписан кръг, а в него е вписан нов квадрат и така до безкрайност. Намерете сумата от:
а) радиусите на тези кръгове;
б) лицата на тези кръгове.
Задача 11. В кръг с радиус \(R\) е вписан правилен шестоъгълник, в него е вписан кръг и отново е вписан правилен шестоъгълник. Намерете сумата от лицата на получените:
а) кръгове;
б) шестоъгълници.
Упътване: ако страните на получените правилни шестоъгълници са \(b_{6}\), \(b^{\prime}{ }_{6}, b^{\prime \prime}{ }_{6}, \ldots\), b′′6,... , а радиусите на кръговете са \(R, R_{1}, R_{2}, \ldots\), R1, R2, ... , то установете, че \(b_{6}=R\), \(b_{6}^{\prime}=\tfrac{R \sqrt{3}}{2}, b^{\prime \prime}{ }_{6}=\tfrac{3 R \sqrt{3}}{8}, \ldots\) и \(R, R_{1}=\tfrac{R \sqrt{3}}{2}, R_{2}=\tfrac{3 R}{4} \ldots\)
Намерете лицата им и установете, че те образуват безкрайно малки геометрични прогресии.
Аналогични въпроси могат да се разглеждат и за стереометрични задачи. Ето условията с кратки упътвания и отговори на няколко такива задачи.
Задача 12. В права призма с основа квадрат е вписана друга права призма, върховете на която са среди на основните ръбове на дадената призма. Във втората призма е вписана по същия начин трета призма и т. н. Намерете сбора от обемите на тези призми, ако основният ръб на първата призма е \(a\), а височината є е \(h\).
Упътване: установете, че \(V=a^{2} h, V_{1}=\tfrac{a^{2} h}{2}, V_{3}=\tfrac{a^{2} h}{4}, \ldots\).
Задача 13. В куб с ръб a е вписано кълбо, в него е вписан куб, а в този куб е вписано отново кълбо и т. н. Намерете сбора от обемите на всички кубове и сбора от обемите на всички кълба.
Отговор: \(\tfrac{3 a^{3} \sqrt{3}}{3 \sqrt{3}-1}\) и \(\tfrac{\pi a^{3} \sqrt{3}}{2(3 \sqrt{3}-1)}\).
Задача 14. В правилна четириъгълна пирамида с основен ръб \(2 a\) и околни стени, наклонени към основата под ъгъл \(\alpha\), е вписана безкрайна редица от кълба, така че първото кълбо се допира до основата и до околните стени на пирамидата. Всяко следващо кълбо се допира до предходното кълбо и до околните стени на пирамидата. Намерете сбора от обемите на така получените кълба.
Упътване: установете, че \(R_{1}=\operatorname{atg} \tfrac{\alpha}{2}, R_{2}=R_{1} \operatorname{tg}^{2} \tfrac{\alpha}{2}=\operatorname{atg}^{3} \tfrac{\alpha}{2}, R_{3}=\operatorname{atg}^{4} \tfrac{\alpha}{2}\) и т. н. Следователно обемите образуват безкрайно малка геометрична прогресия с частно \(q=\operatorname{tg}^{6} \tfrac{\alpha}{2}\).
С настоящата статия провокираме читателите да съставят и решават сами задачи от разглежданата тема.
REFERENCES / ЛИТЕРАТУРА
Comenius, J. A. (1956). Velikaya didaktika. Moskva: Uchpedgiz [Коменски, Я. А. (1956). Великая дидактика. Москва: Учпедгиз].
Diestewerg, A. (1966). Izbrannyye pedagogicheskiye sochineniya. Moskva: Uchpedgiz [Дистерверг, А. (1966). Избранные педагогические сочинения. Москва: Учпедгиз].
Locke, J. (1985). Sochineniya v trekh tomakh (vol 1 – 2). Moskva: Mysl' [Лок, Дж. (1985). Сочинения в трех томах (т. 1 – 2) . Москва: Мысль.].
Lozanov, Ch., Vitanov, T. & Nedevski, P. (2001). Matematika XI klas (profilirana podgotovka). So fi a: Anubis [Лозанов, Ч., Витанов, Т. & Недевски, П. (2001). Математика XI клас (профилирана подготовка) . София: Анубис].
Paskalev, G. & Paskaleva, Zdr. (2002). Matematika XI klas (vtoro ravnishte). Sofi a: Arhimed [Паскалев, Г. & Паскалева, Здр. (2002). Математика XI клас (второ равнище) . София: Архимед.].
Pestalozzi, J. T. (1963). Izbrannyye pedagogicheskiye sochineniya. Moskva: APN [ Песталоци, И. Т. (1963). Избранные педагогические сочинения. Москва: АПН].
Rangelova, P. (2006). Sbornik po matematika IX – XII klas s metodicheski ukazaniya. Plovdiv: Makros [Рангелова, П. (2006). Сборник по математика IX – XII клас с методически указания. Пловдив: Макрос].
Rashkova, St. (1977). Mezhdupredmetni vrazki. So fia: Narodna prosveta [Рашкова, Ст. (1977). Междупредметни връзки. София: Народна просвета].