Рубриката се води от д-р Светлозар Дойчев и д-р Веселин Ненков

Задача 1. Нека \(p\) е просто число и \(n\) е естествено число, по-малко от \(p\). Да се докаже, че числото (\(p-1\) )! \(C_{n+p}^{n}+1\) се дели на \(p\).

Йонуц Иваненску, Крайова, Румъния

Задача 2. Даден е изпъкнал четириъгълник \(A B C D\). Окръжностите \(k\left(J_{1}\right)\), \(k(J), k\left(I_{1}\right)\) и \(k(I)\) се допират външно съответно до страните \(A B, B C, C D\) и \(D A\), както и до продълженията на съответните им съседни страни. Ако \(k\left(J_{1}\right)\) и \(k\left(I_{1}\right)\) се допират до \(A B\) и \(C D\) съответно в точките \(S\) и \(T\), да се докаже, че \(S\) и \(T\) са равноотдалечени от средата на отсечката \(I J\).

Николай Белухов, Стара Загора

Задача 3. Шестоъгълникът \(A B C D E F\) е вписан в окръжност, а диагоналите му \(A D, B E\) и \(C F\) се пресичат в една точка \(O\). Ако са изпълнени равенствата \(A C=C E=E A\), да се докаже неравенството \(\left|\tfrac{D E}{F E}-\tfrac{D C}{B C}\right| \lt 1\).

Хаим Хаимов, Варна

Забележка. Поради известни неточности във формулировката на задача 2 от брой 2 на сп. Математика и информатика, тук публикуваме отново тази задача с правилната й формулировка: Нека \(A B C D\) е правоъгълник, за който \(A B \geq B C\), а \(M\) е такава вътрешна точка за \(A B C D\), че \(∢ M A B=∢ M C B=30^{\circ}\). Да се докаже, че \(A B C D\) е квадрат тогава и само тогава, когато \(M A \cdot M C=2(2-\sqrt{3}) \cdot A B \cdot B C\).

Краен срок за изпращане на решения 31 януари 2013 г.