Рубриката се води от доц. д-р Веселин Ненков и д-р Живко Желев

Задача 1. Да се намерят всички реални функции \(f(x):(1,+\infty) \rightarrow(1,+\infty)\), за които при \(x \gt 1\) и \(y \gt 0\) е изпълнено равенството \(f\left(x^{y}\right)=(f(x))^{y}\).

Йон Неделку, Плоещ и Лучиан Тутеску, Крайова, Румъния

Задача 2. Височините \(A A_{1}, B B_{1}\) и \(C C_{1}\) на остроъгълен триъгълник \(A B C\) се пресичат в точка \(H\). Ако правите \(l_{b}\) и \(l_{c}\) минават съответно през върховете \(B\) и \(C\), така че \(l_{b} \perp l_{c}, l_{b} \cap A A_{1}=N\) и \(l_{b} \cap A A_{1}=M\), lb  AA 1 = N и lb  AA1 = M, да се докаже, че описаните окръжности на триъгълниците \(A B_{1} M, H C_{1} M, A C_{1} N, H B_{1} N, A_{1} B M, A_{1} C N\) и окръжността с диаметър страната \(B C\) имат обща точка.

Хаим Химов, Варна

Задача 3. Триъгълник с медицентър \(G\) е описан около окръжност \(k(I, r)\) така, че \(I G \perp A B\).

а) Ако \(h_{c}\) и \(r_{c}\) са съответно дължините на височината през \(C\) и радиусът на външновписаната за \(\triangle A B C\) окръжност, допираща се до страната \(A B\), да се докаже, че \(h_{c}=4 r\) и \(r_{c}=2 r\).

б) Да се построи триъгълникът \(A B C\) по дадени \(r\) и дължина \(c\) на страната \(A B\).

Христо Лесов, Казанлък

Краен срок за изпращане на решения 31 май 2014 г.

В края на годината ще бъдат определени читателите, изпратили най-интересни решения на задачите. Първите трима ще получат безплатен годишен абонамент за списанието за 2014 г.

Решенията трябват да бъдат представяни ясно, като всяка задача е задължително да бъде на отделен лист. Моля, изпращайте решенията на адреса на редакцията или в електронен вид на mathinfo@azbuki.bg и vnenkov@mail.bg.