Рубриката се води от доц. д-р Веселин Ненков и д-р Живко Желев

Задача 1. Да се намерят всички наредени тройки от реални числа \((x, y, z)\), за които са изпълнени неравенствата:

\[ \left\lvert\, \begin{aligned} & 2^{x}+2^{y+1}+2^{z+2} \leq 28 \\ & x+y+z \geq 6 \\ & y+3 z \geq 8 \end{aligned}\right. \]

Даниела Белдеа, Баилещ, Румъния

Задача 2. Да се построи триъгълник \(A B C\), описан около окръжност с радиус \(r\), така че страните му \(B C, A B\) и \(A C\) да образуват в този ред аритметична прогресия с разлика \(d\), където \(r\) и \(d\) са дадени отсечки.

Христо Лесов, Казанлък

Задача 3. Нека \(O\) и \(H\) са центърът на описаната окръжност и ортоцентърът на остроъгълен триъгълник \(A B C\), за който \(∢ A C B=\gamma\). Ако \(M\) и \(N\) са такива точки съответно върху страните \(A C\) и \(B C\), за които \(∢ M H N=\gamma\), да се докаже, че:

а) ортогоналните проекции \(P\) и \(Q\) съответно на точките \(O\) и \(H\) върху правата \(M N\) лежат на Ойлеровата окръжност на \(\triangle A B C\);

б) \(∢ M O N=180^{\circ}-2 \gamma\).

Хаим Хаимов, Варна
Краен срок за изпращане на решения 31 март 2014 г.

В края на годината ще бъдат определени читателите, изпратили най-интересни решения на задачите. Първите трима ще получат безплатен годишен абонамент за списанието за 2014 г.

Решенията трябва да бъдат представяни ясно, като всяка задача е задължително да бъде на отделен лист. Моля, изпращайте решенията на адреса на редакцията или в електронен вид на mathinfo@azbuki.bg \(u\) vnenkov@mail.bg.