Рубриката се води от доц. д-р Веселин Ненков

Задача 1. Ако \(a \geq 3\) е нечетно число и \(k \geq 2\) е естествено число, да се намери остатъкът от делението на \(a^{k}\) с \(\tfrac{a^{2}+1}{2}\).

Лучиан Туцеску, Крайова, Димитру Савулеску, Букурещ, Румъния

Задача 2. В окръжност с център \(O\) е вписан триъгълник \(A B C\) с ортоцентър \(H\). Точките \(M\) и \(N\) са средите съответно на страните \(B C\) и \(A C\), точката \(I\) е център на вписаната в \(\triangle A B C\) окръжност, а \(O_{9}\) е центърът на Ойлеровата окръжност за \(\triangle A B C\). Да се докаже, че следващите твърдения са равносилни.

\(T_{1}\). Мерките на ъглите при върховете \(A, C\) и \(B\) образуват в този ред аритметична прогресия;

\(T_{2}\). Изпълнено е равенството \(O I=I H\);

\(T_{3}\). Точките \(C, O, M, N\) и \(O_{9}\) лежат на една окръжност.

Христо Лесов, Казанлък

Задача 3. Нека \(A B C D\) е изпъкнал четириъгълник, за който \(T=A C \cap B D\) е пресечната точка на диагоналите и \(S_{A D T}=\tfrac{1}{2}\left(S_{A B T}+S_{C D T}\right)\). Ако \(G\) е медицентърът на \(A B C D\), да се докаже, че: а) GT \(\| \mathrm{AD}\); б) \(G T \lt \tfrac{A D}{4}\).

Хаим Хаимов, Варна

Краен срок за изпращане на решения 30 септември 2014 г.

В края на 2014 г. ще бъдат определени читателите с най-интересни решения на конкурсните задачи, а така също най-активните композитори на нови задачи, както и авторите на най-интересните статии. Първенците ще получат безплатни годишни абонаменти за 2015 г. .

Решенията трябват да бъдат представяни ясно, като всяка задача е задължително да бъде на отделен лист. Моля, изпращайте решенията на адреса на редакцията или в електронен вид на mathinfo@azbuki.bg \(u\) vnenkov@mail.bg