Рубриката се води от доц. д-р Веселин Ненков

Задача 1. Намерете всички естествени четирицифрени числа \(\overline{u x y v}\), за които са изпълнени равенствата \(x+y=u v\) и \(u+v=x y\).

Милен Найденов, Варна

Задача 2. Ъглите при върховете \(A, B\) и \(C\) на \(\triangle A B C\) са съответно \(\alpha, \beta\) и \(\gamma\), b и g, а \(M\) и \(N\) са такива точки от \(∢ A C B\), че са изпълнени равенствата \(∢ A M C=\beta+\tfrac{\gamma}{2}\), \(∢ B M C=\tfrac{3 \alpha}{2}, ∢ A N C=\tfrac{3 \beta}{2}\) и \(∢ B N C=\alpha+\tfrac{\gamma}{2}\). Ако \(E\) е средата на \(A B\), а \(L\) пресечната точка на ъглополовящата на \(∢ A C B\) с \(A B\), да се докаже, че точките \(M, N, L\) и \(E\) лежат на една окръжност.

Хаим Хаимов, Варна

Задача 3. Множеството от реални числа \(A=\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{2 n+1}\right\} \quad(n \in \mathbb{N})\) притежава свойството \(\left(x_{i}+x_{i+1}+\cdots+x_{i+n-1}-x_{i+n}-x_{i+n+1}-\cdots-x_{i+2 n-1}\right)^{2} \geq x_{i+2 n}^{2}\), където \(i=1,2, \ldots, 2 n+1\) и \(x_{2 n+2}=x_{1}, x_{2 n+3}=x_{2}, \ldots, x_{4 n+1}=x_{2 n}\). Да се докаже, че \(A\) може да се разбие на две подмножества с равни суми на елементите им.

Тодор Митев, Русе

Краен срок за изпращане на решения: 30 ноември 2014 г.

В края на 2014 г. ще бъдат определени читателите с най-интересни решения на конкурсните задачи, а така също най-активните композитори на нови задачи, както и авторите на най-интересните статии. Първенците ще получат безплатни годишни абонаменти за 2015 г.

Решенията трябват да бъдат представяни ясно, като всяка задача е задължително да бъде на отделен лист. Моля, изпращайте решенията на адреса на редакцията или в електронен вид на mathinfo@azbuki.bg и vnenkov@mail.bg