Рубриката се води от доц. д-р Веселин Ненков

Задача 1. За реалните положителни числа \(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}(\mathrm{n} \geq 2)\) е изпълнено равенството \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}=s\). Да се докаже неравенството

\[ \tfrac{x_{1}^{3}}{s-x_{1}^{2}}+\tfrac{x_{2}^{3}}{s-x_{2}^{2}}+\cdots+\tfrac{x_{n}^{3}}{s-x_{n}^{2}} \geq \tfrac{\sqrt{n s}}{n-1} . \] Кога се достига равенство?

Лучиан Туцеску, Крайова и Мариан Вионеа, Букурещ

Задача 2. Нека \(M\) и \(N\) са такива точки съответно от страните \(A C\) и \(B C\) на остроъгълния триъгълник \(A B C\), че да е изпълнено равенството \(∢ A M B+∢ A N B=180^{\circ}\). Ако \(P\) и \(Q\) са средите съответно на отсечките \(A N\) и \(B M\), а \(T\) е пресечната им точка, да се докаже, че когато точките \(M\) и \(N\) менят положенията си върху страните \(A C\) и \(B C\), описаната около \(\triangle P Q T\) окръжност минава през постоянна точка. Къде лежи тази точка?

Хаим Хаимов, Варна

Задача 3. Дадени са сфера \(S\) и точките \(A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}\) върху нея. Да се определи множеството от точки \(P\), които са вътрешни за \(S\) и удовлетворяват равенството \(\tfrac{A_{1} P}{P B_{1}}+\tfrac{A_{2} P}{P B_{2}}+\cdots+\tfrac{A_{n} P}{P B_{n}}=n\), където \(B_{k}\) е пресечната точка на \(A_{k} P\) и \(S(k=1,2, \ldots n)\).

Христо Лесов, Казанлък

Краен срок за изпращане на решения 31 декември 2015 г.

Конкурсът продължава и през настоящата година. В края на 2015 г. ще бъдат определени читателите с най-интересни решения на конкурсните задачи, а така също най-активните композитори на нови задачи, както и авторите на най-интересните статии. Първенците ще получат безплатни годишни абонаменти за 2016 г.

Решенията трябват да бъдат представяни ясно, като всяка задача е задължително да бъде на отделен лист. Моля, изпращайте решенията на адреса на редакцията или в електронен вид на mathinfo@azbuki.bg \(u\) vnenkov@mail.bg