Рубриката се води от доц. д-р Веселин Ненков

Задача 1. Дадена е функцията \(f(x)=x^{2}-m x+n\), където \(m, n \in \mathbb{N}\). Ако \(x_{1}\) и \(x_{2}\) са корените на уравнението \(f(x)=0\) и е изпълнено \(\tfrac{f(-2)}{x_{1}+x_{2}}=\tfrac{f(-3)}{x_{1} x_{2}}=t \in \mathbb{N}\), да се намерят \(m\) и \(n\).

Росен Николаев, Варна

Задача 2. Окръжност \(k\) с център \(O\) се допира до правата \(c\) в точка \(M\). Точките \(A\) и \(B\) лежат върху \(c\) така, че \(M\) е между \(A\) и \(B\). През точките \(A\) и \(B\) са построени допирателните \(a\) и \(b\) към \(k\), които се пресичат в точка \(C\). Ако \(A M=m, B M=n\) и лицето на \(\triangle A B C\) е равно на \(A M . B M\), да се намери дължината на \(O C\).

Милен Найденов, Варна

Задача 3. Дадени са \(\triangle A B C\) и точка \(P\) от равнината му. Нека \(A_{1}=A P \cap B C\), \(B_{1}=P B \cap C A\) и \(C_{1}=C P \cap A B\). Описаните окръжности на триъгълниците \(A B B_{1}\) и \(A C C_{1}\) се пресичат за втори път в точката \(Q_{a}\). Аналогично се получават точките \(Q_{b}\) и \(Q_{c}\). Да се докаже, че правите \(A Q_{a}, B Q_{b}\) и \(C Q_{c}\) се пресичат в една точка.

Хаим Хаимов, Варна

Краен срок за изпращане на решения 31 май 2016 г.

Конкурсът продължава и през настоящата година. В края на 2015 г. ще бъдат определени читателите с най-интересни решения на конкурсните задачи, а така също най-активните композитори на нови задачи, както и авторите на най-интересните статии. Първенците ще получат безплатни годишни абонаменти за 2016 г.

Решенията трябват да бъдат представяни ясно, като всяка задача е задължително да бъде на отделен лист. Моля, изпращайте решенията и новите предложения на адреса на редакцията или в електронен вид на mathinfo@azbuki. bg \(u\) vnenkov@mail.bg