Рубриката се води от доц. д-р Веселин Ненков

Задача 1. Да се докаже, че съществуват безброй много двойки естествени числа \(x\) и \(y\), при които числата \(x^{2}+2016 x y+y^{2}\) са квадрати на естествени числа.

Лучиан Туцеску, Крайова, Румъния

Задача 2. Точките \(B_{1}, B_{2}\) и \(B_{3}\) лежат съответно върху страните \(A_{1} A_{2}\), \(A_{2} A_{3}\) и \(A_{3} A_{1}\) на \(\triangle A_{1} A_{2} A_{3}\), като \(A_{2} B_{1}=2 A_{1} B_{1}, A_{3} B_{2}=2 A_{2} B_{2}\) и \(A_{1} B_{3}=2 A_{3} B_{3}\). Ако вторите общи точки на описаните около триъгълниците \(B_{2} B_{3} A_{3}, B_{3} B_{1} A_{1}\) и \(B_{1} B_{2} A_{2}\) окръжности с описаната окръжност на \(\Delta A_{1} A_{2} A_{3}\) са съответно \(C_{1}\), \(C_{2}\) и \(C_{3}\), да се докаже, че правите \(A_{1} C_{1}, A_{2} C_{2}\) и \(A_{3} C_{3}\) се пресичат в една точка. Коя е тази точка?

Хаим Хаимов, Варна

Задача 3. Спрямо координатната система \(O x y\) кривата \(k\) е такава, че лицето \(S\) на триъгълника, образуван от ординатната ос \(O y\), допирателната към \(k\) в произволна точка \(T\) и правата \(O T\), не зависи от \(T\). Да се намери уравнението на кривата \(k\), ако е известно, че тя минава през точката \((S, 2)\).

Милен Найденов, Варна

Краен срок за изпращане на решения 31 януари 2017 г.

Конкурсът продължава и през настоящата година. В края на 2016 г. ще бъдат определени читателите с най-интересни решения на конкурсните задачи, а така също най-активните композитори на нови задачи, както и авторите на най-интересните статии. Първенците ще получат безплатни годишни абонаменти за 2017 г. .

Решенията трябват да бъдат представяни ясно, като всяка задача е задължително да бъде на отделен лист. Моля, изпращайте решенията на адреса на редакцията или в електронен вид на mathinfo@azbuki.bg и vnenkov@ mail.bg