Рубриката се води от доц. д-р Веселин Ненков

Задача 1. Ако \(N_{1}\) и \(N_{2}\) са съвършени числа, за които целите части на числата \(\tfrac{N_{1}}{2018}\) и \(\tfrac{2018}{N_{2}}\) са равни и различни от нула, да се намери \(N_{1}+N_{2}\).

Сава Гроздев, София и Веселин Ненков, Бели Осъм

Задача 2. Даден е квадрат \(A B C D\) с център \(O\) и страна \(a\). Точката \(K\) е среда на \(C D\), а \(C_{1}\) и \(D_{1}\) са средите съответно на \(C K\) и \(D K\). Ако \(A C \cap B C_{1}=B_{1}\), \(B D \cap A D_{1}=A_{1}\) и \(S\) е лицето на петоъгълника \(A_{1} O B_{1} C_{1} D_{1}\), да се намерят всички целочислени двойки \((a, S)\).

Милен Найденов, Варна

Задача 3. Даден е изпъкнал четириъгълник \(A B C D\), в който \(∢ B A D=∢ A B D=∢ C B D=\beta\left(\beta \gt 45^{\circ}\right)\) и \(∢ B C D=\gamma\). Нека \(O\) е центърът на описаната около \(\triangle A B D\) окръжност, а \(P\) е такава вътрешна за \(\triangle B C D\) точка, че са изпълнени равенствата \(∢ D P C=180^{\circ}-\beta\) и \(∢ B P C=180^{\circ}-\gamma\). Да се докаже, че описаните около триъгълниците \(A O B, B P C, C O D\) и \(A B D\) окръжности минават през една точка.

Хаим Хаимов, Варна

Краен срок за изпращане на решения 31 март 2019 г.

В края на 2018 г. ще бъдат определени читателите с най-интересни решения на конкурсните задачи, а така също най-активните композитори на нови задачи, както и авторите на най-интересните статии. Първенците ще получат безплатни годишни абонаменти за 2019 г.

Решенията трябва да бъдат представени ясно, като е задължително всяка задача да е на отделен лист. Моля, изпращайте решенията на адреса на редакцията или в електронен вид на mathinfo@azbuki.bg и vnenkov@mail.bg