Рубриката се води от доц. д-р Веселин Ненков

Задача 1. Нека \(x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{n}\) са различни прости числа, по-малки от 2017 , за които числото \(s_{n}=x_{1}^{2017}+x_{2}^{2017}+\cdots+x_{n}^{2017}\) се дели на 2017 . Да се намери най-малкото естествено число \(n\), при което \(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}\) приема най-малка стойност.

Христо Лесов, Казанлък

Задача 2. Целите числа \(a, b\) и \(c\) удовлетворяват равенството \(a^{3}+b^{3}+c^{3}+6 a b c=0\). Да се докаже, че \((b+c-2 a)(c+a-2 b)(a+b-2 c)\) е точна трета степен на цяло число.

Тодор Митев, Русе

Задача 3 . За изпъкналия четириъгълник \(A B C D\) са изпълнени условията \(A C=B D, C D^{2}=A D \cdot A B(C D \neq A D)\) и \(∢ C A D=∢ A B D\). Ако \(E\) и \(F\) са средите съответно на диагоналите \(A C\) и \(B D\), да се докаже, че \(C D=2 . E F\).

Хаим Хаимов, Варна

Краен срок за изпращане на решения 31 юли 2017 г.

С годишни абонаменти за 2016 г. се награждават: учителят Христо Лесов (Природо-математическа гимназия „Акад. Н. Обрешков“, 6100 Казанлък), както и преподавателите от Варна Хаим Хаимов (ул. „Братя Шкорпил“ № 16, 9000 Варна) и Милен Найденов (ул. „Сан Стефано“ № 2, вход В, 9000 Варна) за активното им участие в предлагането на нови авторски задачи за рубриката. Наградата за оригинална статия (също абонамент) получава д-р Тодор Митев от Русенския университет „А. Кънчев“ (МГ „Баба Тонка“, ул. „Иван Вазов“ № 15, 7000 Русе) за статията „Някои нови неравенства между средните аритметично, геометрично, хармонично и квадратично“ от бр. 6, 2016 г. Значението на тази статия е за разгледаните в нея възможности за решаване на задачи с повишена трудност от задължителната и свободноизбираемата подготовка по математика.

Конкурсът продължава и през настоящата година. В края на 2017 г. ще бъдат определени читателите с най-интересни решения на конкурсните задачи, а така също най-активните композитори на нови задачи, както и авторите на най-интересните статии. Първенците ще получат безплатни годишни абонаменти за 2018 г.

Решенията трябва да бъдат представени ясно, като е задължително всяка задача да е на отделен лист. Моля, изпращайте решенията на адреса на редакцията или в електронен вид на mathinfo@azbuki.bg и vnenkov@mail.bg