Рубриката се води от доц. д-р Веселин Ненков

Задача 1. От две селища \(A\) и \(B\), разстоянието между които е \(S k m\), едновременно тръгнали един срещу друг съответно автомобил и мотоциклет. В момента на срещата им от \(B\) за \(A\) тръгнал втори мотоциклет. При срещата на втория мотоциклет с автомобила се оказало, че разстоянието между местата на първата и втората среща \(\tfrac{2}{9} . S\). Ако автомобилът се движи с \(20 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\) по-бавно, то той ще срещне първия мотоциклет \(3 h\) след тръгването си, а разстоянието между местата на двете срещи ще бъде \(30 k m\). Определете разстоянието \(S\), ако скоростите на двата мотоциклета са равни и не надвишават скоростта на автомобила.

Румяна Несторова, Враца

Задача 2. През точка \(P\) от страната \(A B\) на триъгълник \(A B C\) са построени прави, успоредни на \(A C\) и \(B C\), които пресичат страните \(B C\) и \(A C\) съответно в точки \(M\) и \(N\).

а) Да се докаже, че при \(A C \geq B C\) за периметъра \(P_{1}\) на четириъгълника \(C M P N\) са изпълнени неравенствата \(2 . B C \leq P_{1} \leq 2 . A C\). Кога се достига равенство?

б) Да се определи положението на точката \(P\), при което лицето на четириъгълника \(C M P N\) е най-голямо.

в) Да се определи положението на точката \(P\), при което сборът от квадратите на дължините на страните на четириъгълника \(C M P N\) е най-малък.

Христо Лесов, Казанлък

Задача 3. В изпъкналия четириъгълник \(A B C D\) точката \(M\) лежи върху диагонала \(A C\) така, че \(∢ A B M=∢ B D C\), а точката \(N\) лежи върху диагонала \(B D\) така, че \(∢ B A N=∢ A C D\). Да се докаже, че една от общите точки на описаните окръжности \(c_{1}\) и \(c_{2}\) съответно за \(\triangle A D N\) и \(\triangle B C M\) лежи върху правата \(M N\).

Хаим Хаимов, Варна

Краен срок за изпращане на решения 31 януари 2018 г.

Конкурсът е традиционен и победителите ще бъдат наградени. В края на 2017 г. ще бъдат определени читателите с най-интересни решения на конкурсните задачи, а така също най-активните композитори на нови задачи, както и авторите на най-интересните статии в списанието. Първенците ще получат безплатни годишни абонаменти за 2018 г.

Решенията трябва да бъдат представени ясно, като е задължително всяка задача да е на отделен лист.

Моля, изпращайте решенията на адреса на редакцията или в електронен вид на mathinfo@azbuki.bg и vnenkov@mail.bg