Рубриката се води от доц. д-р Веселин Ненков

Задача 1. Точката \(O\) е левият долен връх на безкрайна шахматна дъска. Една муха тръгва от \(O\) и се движи само по страните на квадратчетата. Нека \(A\) е общ връх на някои квадратчета. Казваме, че мухата изминава пътя между \(O\) и \(A\), ако се движи само надясно и нагоре. Ако точките \(O\) и \(A\) са противоположни върхове на правоъгълник \(m \times n\), да се намери броят на пътищата, свързващи \(O\) и \(A\), по които мухата може да мине, когато:

а) \(m=1\) и \(n=6\); б) \(m=3\) и \(n=6\); в) \(m\) и \(n\) са произволни естествени числа.

Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм

Задача 2. Върху страните на \(A B, B C\) и \(C A\) на триъгълник \(A B C\), , външно за триъгълника, са построени съответно квадратите \(A B B_{1} A_{1}, B C C_{1} B_{2}\) и \(C A A_{2} C_{2}\). Ако лицата на шестоъгълника \(A_{1} B_{1} B_{2} C_{1} C_{2} A_{2}\) и триъгълника \(A B C\) са съответно \(S_{6}\) и \(S\), да се намери най-малката стойност на частното \(\tfrac{S_{6}}{S}\).

Христо Лесов, Казанлък

Задача 3. Мерките на ъглите при върховете \(A, B\) и \(C\) на \(\triangle A B C\) са съответно \(\alpha, \beta\) и \(\gamma\), а \(M\) и \(N\) са M и N са точки от \(∢ A C B\), за които са изпълнени равенствата \(∢ A M C=2 \beta, ∢ B M C=\alpha+\tfrac{\gamma}{2}, ∢ B N C=2 a\) и \(∢ A N C=\beta+\tfrac{\gamma}{2}\). Ако \(E\) е средата на \(A B\), а \(L\) е пресечната точка на ъглополовящата на \(∢ A C B\) и \(A B\), да се докаже, че точките \(M, N, L\) и \(E\) лежат на една окръжност.

Хаим Хаимов, Варна

Краен срок за изпращане на решения 31 май 2018 г.

В края на 2018 г. ще бъдат определени читателите с най-интересни решения на конкурсните задачи, а така също най-активните композитори на нови задачи, както и авторите на най-интересните статии. Първенците ще получат безплатни годишни абонаменти за 2019 г.

Решенията трябва да бъдат представени ясно, като е задължително всяка задача да е на отделен лист. Моля, изпращайте решенията на адреса на редакцията или в електронен вид на mathinfo@azbuki.bg и vnenkov@ mail.bg

Забележка: В задача 1 от брой 4 подточка б) трябва да се чете така: \(x^{2}+y^{4}+z^{6}=2018\).