Рубриката се води от проф. д-р Веселин Ненков

Задача 1. Равнобедреният трапец \(A B C D\) има основи с дължини \(a\) и \(b\), като е такъв, че средите на страните му са върхове на квадрат. Ако дължината на бедрото на \(A B C D\) е \(z\), а разстоянието от пресечната точка на диагоналите му до бедрата е \(x\), да се докаже, че \(a b=2 z x\).

Милен Найденов, Варна

Задача 2. Нека \(x, y\) и \(z\) са разстоянията от произволна точка \(P\) в равнината на \(\triangle A B C\) съответно до върховете \(A, B\) и \(C\). Ако \(|B C|=a,|C A|=b\) и \(|A B|=c\), да се докаже равенството \(a^{2} x^{4}+b^{2} y^{4}+c^{2} z^{4}-\left(-a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)\left(a^{2} x^{2}+y^{2} z^{2}\right)-\left(a^{2}-b^{2}+c^{2}\right)\left(b^{2} y^{2}+z^{2} x^{2}\right)-\) \(-\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)\left(c^{2} z^{2}+x^{2} y^{2}\right)+a^{2} b^{2} c^{2}=0\).

Хаим Хаимов, Варна, и Веселин Ненков, Бели Осъм

Задача 3. От всички трицифрени числа с различни цифри са избрани две по произволен начин. Каква е вероятността в записа им да има поне една еднаква цифра?

Росен Николаев и Танка Милкова, Варна

Краен срок за изпращане на решения 30 ноември 2020 г.

В края на 2020 г. ще бъдат определени читателите с най-интересни решения на конкурсните задачи, а така също най-активните композитори на нови задачи, както и авторите на най-интересните статии. Първенците ще получат безплатни годишни абонаменти за 2021 г.

Решенията трябва да бъдат представени ясно, като е задължително всяка задача да е на отделен лист. Моля, изпращайте решенията на адреса на редакцията или в електронен вид на mathinfo@azbuki.bg и vnenkov@mail.bg