Наши учители
ЕДИН КЛАСИЧЕСКИ УЧЕБНИК ПО АЛГЕБРА
Резюме. Статията представя учебник по алгебра на изтъкнатите български математици акадeмик Любомир Илиев и професор Спас Манолов, който не е загубил актуалност и днес.
Ключови думи: algebra, textbook, polynomial, function, arithmetic progression
Преди малко повече от 60 години, през септември 1953 г., се появява първото издание на „Елементарна математика. Алгебра“ с автори изтъкнатите български математици акад. Любомир Илиев и проф. Спас Манолов. Второто издание е от 1956 г. отново на издателство „Наука и изкуство“. Този учебник е втора книга от поредицата помагала по елементарна математика, в която влизат още „Аритметика“, „Планиметрия“, „Стереометрия“ и „Тригонометрия“. Те се придружават и от „Сборник от задачи по елементарна математика“, който е издаден през 1956 г. Двамата автори са известни нe само със забележителните си научни резултати, но и с дейностите си в областта на математическото образование. Тяхното умение да поднасят по неповторим начин важни факти от математиката е характерно за цялото им творчество, включително и за разглеждания учебник. По думите на проф. Иван Тонов – дългогодишен ръководител на катедрата по Методика на обучението по математика към Факултета по математика и информатика на СУ „Св. Кл. Охридски“, учебникът „Елементарна математика. Алгебра“ не е загубил своята актуалност и се ползва с успех от сегашните студенти и преподаватели.
В разглежданата книга са изложени систематично основните въпроси от елементарната алгебра: алгебрични изрази; уравнения и неравенства; системи уравнения; комбинаторика; прогресии; решаване на линейни уравнения в цели числа. Не се съдържат глави за показателна и логаритмична функция. Те са изложени в книгата „Аритметика“ от поредицата след въвеждане на ирационалните числа. При написването на книгата „Елементарна математика. Алгебра“ са използвани учебниците на Новоселов „Специален курс по елементарна алгебра“, издаден през 1951 г., и „Алгебра на елементарните функции“, издаден през 1952 г. Наред с въвеждането на алгебричните понятия, включително „пръстен“ и „поле“, се развива и понятието „функция“. Още от едночлените започва разглеждането на изразите като функции.
Учебникът се състои от въведение и 4 глави. Въведението е посветено на множествата. Разгледани са основните числови множества: естествени числа; цели числа; рационални числа; реални числа. В множеството на реалните числа са дефинирани понятията „равно“, „по-голямо“, „по-малко“, които са понятия-релации. Обърнато е внимание на свойствата „разположеност на числови полета“ и „плътност в полето на рационалните и реалните числа“. Разгледано е и съответствието между числови и точкови множества.
Част Първа – „Алгебрични изрази“, се състои от 3 глави. Глава Първа „Многочлени“ включва аналитични изрази, тъждествени преобразувания, графики на многочлени, теорема за тъждественост на многочлени, действия с многочлени. В целия учебник са следвани известни дотогава методики. В предговора авторите отбелязват, че съзнателно не е развита теорията върху полето на комплексните числа, както е при Новоселов, защото са се стремили да не се усложнява материалът. Теоремите за тъждественост на многочлени, действията с многочлени, формулите за съкратено умножение, някои основни тъждества и разлагането на многочлени на множители са изложени стегнато и коректно. Например в § 16 се систематизират различни начини за разлагане на един многочлен на множители. На практика разлагането се извършва чрез различни комбинации на тези начини. Ето кои основни начини за разлагане се предлагат: изнасяне на общ множител пред скоби; групиране на няколко члена или представянето на някои от членовете като суми; отделяне на точен квадрат; метод на неопределените коефициенти. При доказване на теоремите за тъждественост е използван методът на математическата индукция.
Глава Втора е посветена на дробни рационални изрази. Тук се включват видове рационални изрази и действия с тях. В глава Трета – „Ирационални изрази“, освен преобразуване на изрази, съдържащи радикали, е предложено и изследване на ирационални функции.
Част Втора – „Уравнения и неравенства“, започва с Глава Четвърта, която е посветена на уравненията. Разглеждат се алгебрични, дробни и ирационални уравнения. Търсят се решения в полето на реалните числа. Изследва се въпросът за еквивалентност на две уравнения. Отделено е място и на системи уравнения. При решаването на неравенства са дадени много примери, в които задачите са решени по чисто аритметичен начин. Особено внимание е обърнато на еквивалентността на неравенствата.
В глава Пета – „Уравнения и неравенства от първа степен“, при изследването на решенията на параметрични уравнения от първа степен е дадена и геометрична интерпретация. Застъпен е и въпросът за решаване на линейни уравнения в областта на целите числа. Разгледани са някои частни случаи за решаване на линейни системи уравнения. Посочен е също така и метод за решаване на системи уравнения въз основа на понятието „еквивалентност“.
Глава Шеста е озаглавена „Уравнения и неравенства от по-висока степен“. Наред с квадратните уравнения се разглеждат и уравнения, свеждащи се към квадратни. Решени са и ирационални неравенства. В \(\& 40\) са включени няколко забележителни неравенства.
Част Трета – „Комбинаторика“, включва както съединения без повторения, така и съединения с повторения. Част Четвърта – „Прогресии“, е посветена на аритметичната, геометричната и безкрайно намаляващата геометрична прогресия. Интерес представляват аритметични прогресии от произволен ред, върху които ще се спрем по-подробно.
I. Аритметични прогресии от произволен ред
Нека \(f(x)=a x+b\).
Тъй като \(f(0)=b f(1)=a+b f(2)=2 a+b \ldots\), то тази редица е аритметична прогресия с разлика \(a\), т.е. \(-f(0), f(1), f(2), \ldots\)
Като правят това наблюдение, авторите дават следната дефиниция:
Дефиниция 1. \(A \kappa o f(x)=a x+b, a \neq 0\), peduयата \(f(0), f(1), \ldots f(n-1)\) се нарича аритметична прогресия.
Нека \(f_{k}(x)=a_{0} x^{k}+a_{1} x^{k-1}+\ldots+a_{k-1} x, a_{0} \neq 0\) е произволен полином от степен \(k\).
Дефиниция 2. Редицата от числа \(f_{k}(0), f_{k}(1), \ldots, f_{k}(n-1)\) се нарича \(n\)-членна аритметична прогресия от ред \(k\).
Нека \(\mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{2}, \ldots, a_{n}\) е произволна крайна редица от числа. Образуваме:
\[ \begin{aligned} & \Delta a_{1}=a_{2}-a_{1} \\ & \Delta a_{2}=a_{3}-a_{2} \\ & \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\ & \Delta a_{n-1}=a_{n}-a_{n-1} \end{aligned} \]
Числата от редицата \(\Delta a_{1}, \Delta a_{2}, \ldots, \Delta a_{\mathrm{n}-1}\) се наричат първи разлики на редицата \(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\). Аналогично числата от вида \(\Delta^{2} a_{m}=\Delta\left(\Delta a_{m}\right)=\Delta a_{m+1}-\Delta a_{m}\) се наричат разлики от втори ред или втори разлики на редицата \(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\). По-общо, разлика от \(k\)-ти ред или \(k\)-та разлика е \(\Delta^{k} a_{m}=\Delta^{\mathrm{k}-1} a_{m+1}-\Delta^{\mathrm{k}-1} a_{m}\).
Теорема 1. Редицата от първите разлики на една аритметична прогресия от \(k\)-ти ред е аритметична прогресия от \((k-1)\) ред.
Следствие 1. \(K\)-тите разлики на една аритметична прогресия от \(k\)-ти ред са постоянни.
Следствие 2. Разликите от (\(k-1\) ) ред на една аритметична прогресия от \(k\)-ти ред представят аритметична прогресия.
Следствие 3.
(*)\[ \Delta a_{1}+\Delta a_{2}+\ldots+\Delta a_{n}=a_{n+1}-a_{1} \]
Приложения
Пример 1. Ако \(f_{k}(x)=(x+1)^{k+1}\), образуваме аритметичната прогресия от \((k+1)\)- ви ред с (\(n+1\) ) члена
\[ 1^{k+1}, 2^{k+1}, \ldots,(n+1)^{k+1} \]
Съгласно (*) имаме
\[ \sum_{m=1}^{n} \Delta m^{k+1}=(n+1)^{k+1}-1 \]
Оттук лесно може да се получи връзка между степенните сборове \(S_{k}=1^{k}+2^{k}\)
\(+\ldots+n^{k}(k=0, \ldots, n)\), умножени със съответни биномни коефициенти (Гроздев et al., 2008).
Пример 2. Нека \(\varphi(x)\) и \(f(x)\) са две функции, така че \(f(x)=\varphi(x+h)-\varphi(x)\) за фиксирано \(h\) и всяко \(x\). Разглеждаме редицата \(\varphi(x), \varphi(x+h), \ldots, \varphi(x+n h)\). Редицата
от първите ѝ разлики е \(f(x), f(x+h), \ldots, f(x+\overline{n-1} h)\). От (*) следва, че
\[ f(x)+f(x+h)+\ldots+f(x+\overline{n-1} h)=\varphi(x+n h)-\varphi(x) \]
Сега лесно можем да пресметнем сумата \(A=\sin x+\sin (x+h)+\ldots+\sin (x+\overline{n-1} h)\)
(Гроздев \& Лесов, 2012). Ако положим \(\varphi(x)=\cos \left(x-\cfrac{h}{2}\right), f(x)=-2 \sin x \sin \cfrac{h}{2}\), не посредствено се стига до формулата
\[ A=\cfrac{\sin \cfrac{n h}{2} \sin \left(x+\overline{n-1} \cfrac{h}{2}\right)}{\sin \cfrac{h}{2}}, h \neq 2 k \pi, k-\text { цяло. } \] БЛАГОДАРНОСТИ
Бих искала да изкажа своята голяма благодарност на проф. Сава Гроздев за оказаната помощ при написването на тази статия.
ЛИТЕРАТУРА
Гроздев, С., Ц. Байчева, П. Пиперков, К. Кирилова-Лупанова (2008). Зрелостен изпит. Примерни теми с решения. Математика. В. Търново: Абагар (ISBN 978-954-427-782-6), 108 страници.
Гроздев, С., Лесов, Х. (2012). Зимни математически състезания. София: ВУЗФ (ISBN 978-954-8590-17-4), 351 страници.